ch2-网内业务分析-4-一般排队系统.ppt

通信网理论 第2章 网内业务分析-4,北京邮电大学 信息与通信工程学院 刘雨 62283147-19 ,M/G/1问题,到达 服务 b() 任意 表示第i个顾客,设定两个变量 kn表示第n个顾客离去时，系统内顾客数 vn表示第n个顾客服务期间，到达的顾客数 存在下面的关系式 分两种情况 Cn离开时， Cn+1已到 Cn+1离去时人数=Cn离去时人数+Cn+1服务期到达数-1 (Cn+1离去) Cn离开时， Cn+1未到 Cn+1去时人数= Cn+1服务期到达数(Cn离去时已空, kn =0),离去时的系统顾客数,服务期内到达的顾客数,一个顾客的服务时间 内到达的顾客数为v 的条件概率应为 服务时间 的概率密度函数为b( )，所以一个服务期间到达v个顾客的概率为 系统内人数的转移概率为,系统方程,令 表示第n个顾客离去时系统内有k个顾客的概率 达到稳态后， 将与n无关，可写成,母函数,把各式两边分别各乘以zk并求和 把qk的值代入,拉氏变换,令B(s)是 的拉氏变换，即 应用概率归一性求d0,B(0),拉氏变换的性质 系统中无顾客的概率为 其中 是排队强度，当 时，系统是稳定的,离去时的队长概率,离去时的队长分布 队长的均值 队长的方差,特例,对于M/M/1 对于M/D/1,，,，,其中： 第i顾客等待时间 第i顾客服务时间 第n顾客与第n+1顾客到达间隔,M/G/1等待时间W,等待时间,M|G|1系统的等待时间w的概率分布 w是一个连续随机变量。令wn是第n个顾客的等待时间， 是第n个顾客的服务时间，tn 是第n个顾客和第n+1个顾客到达时间间隔。 进入稳态后，w的分布与n无关。可把wn和wn+1 均记为w，令其概率密度函数为p(w),等待时间的分布,w是混合分布的变量。前一项表示w0时的连续变量的概率密度，而后一项表示w0的概率。,等待时间的分布,用拉氏变换法解方程 两端进行拉氏变换 由于p(w)的归一性，G(0)=1，代入得,等待时间的均值与方差,w的概率密度的拉氏变换 平均等待时间 其中m2为的二阶矩 方差为,特例,对于M|M|1问题 对于M|D|1问题,残余寿命,当随机事件的发生和终止的过程中，该事件的寿命或持续时间是一个随机变量。 任取一时刻，该事件正在出现，并已过了 -y的时间，则y称为该事件的残余寿命，这也是一个随机变量。 当某顾客到达时，窗口正在为某一顾客服务。设服务时间为，而到达时刻已被服务了-y ，y就是新到顾客须等待的时间，也就是正在被服务过程的残余寿命。 现在来研究一下残余寿命y的分布规律。,残余寿命的概率密度,纯随机的观察时刻落在寿命为的区间内的概率应与b() 成正比，即等于 b() 。其中c是待定常量，b()是寿命为的概率密度。 由归一性，可知 同时，观察时刻在内的条件下，残余寿命为y的条件概率密度应为 ，即y是0与 之间的均匀分布。 因此残余寿命的概率密度为,平均残余寿命,平均残余寿命 负指数分布的残余寿命分布 可见此时寿命y与残余寿命有同样的分布，亦即平均残余寿命等于平均寿命。 但是，对于其它非指数分布，则不具有这种性质。,残余寿命与平均等待时间,对于M|G|1问题，从残余寿命的概念也可推导出平均等待时间。 这包括两部分，一为顾客到达时正在被服务的残余寿命 ，这不包括队长为零的情况 另一部分是其余k-1个顾客的平均服务时间m1 即,Little公式,在顾客是泊桑流时，到达时刻的队长概率rk 应与随机观察时的队长概率pk一致。 极短时间内无二人到达和无二人离开，使得离去时刻概率dk也等于rk，则前面所得的平均队长dk就是系统数。 顾客在系统内停留时间s应为等待时间和服务时间之和，由于两者之间相互独立，所以s的概率密度的拉氏变换应为,Little公式,平均系统时间为 由此可得 可得,G|M|1问题,现在来讨论服务时间为指数分布的G|M|1排队问题。 取顾客到达时刻的队长k作为系统的状态变量 kn是第n个顾客Cn到达时系统内的队长(不含Cn ) tn是Cn与Cn+1之间的时间间隔。 qn是tn内服务完毕离开的顾客数,到达时间间隔,tn 是任意分布，与n无关，设其密度函数是a(t) ；服务时间是指数分布，即 则在内有qn个顾客离开的概率为 (2-81) 其中,系统方程,设rk表示顾客到达时队长为k的概率。 达到稳态后， rk与n无关，可写出G|M|1的系统方程为 这是一个线性差分方程，可令通解为,通解,若从上式能得小于1的 ，则可用归一条件可求出 ，即 把这样算出的 代入通解，即得顾客到达时刻的队长为 的概率为,系统参量,平均队长 (2-85) 等待时间 的概率密度 (2-86) 平均等待时间 (2-87) 系统内平均停留时间,特例,对于M|