2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷十）

淮河两岸 第 1 页 共 9 页 2013 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 十 ） 第 卷 （ 选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 . 1. 复数 11i在复平面上对应的点的坐标是 A (1,1) B. ( 1,1) C. ( 1, 1) D. (1, 1) 2. 已知全集 R,U 集合 1, 2 , 3, 4 , 5A , | 2 B x x R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 0,1,2 3函数2 1( ) l o gf x x x的零点所在区间 A 1(0, )2 B. 1( ,1)2 C. (1,2) D. (2,3) 4.若直线 l 的参数方程 为 13 ()24xttyt 为参数，则直线 l 倾斜角的余弦值为 A 45 B 35 C 35 D 45 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶 图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中， 不正确 的是 A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6一个锥体的主视图和左视图如图所示 ，下面选项中， 不可能是 该锥体的俯视图的是 11主 视 图 左 视 图1111B1A1 11 1C11DBA淮河两岸 第 2 页 共 9 页 7若椭圆 1C ： 1212212 byax （ 011 ba ）和椭圆 2C ： 1222222 byax （ 022 ba ） 的焦点相同且12aa.给出如下四个结论： 椭圆 1C 和椭圆 2C 一定没有公共点； 1122ab ； 22212221 bbaa ； 1 2 1 2a a b b . 其中，所有正确结论的序号是 A B. C D. 8. 在一个正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， P 为正方形1 1 1 1ABCD四边上的动点，O 为底面正方形 ABCD 的中心， ,MN分别为 ,AB BC 中点，点 Q 为平面ABCD 内一点，线段 1DQ与 OP 互相平分，则满足 MQ MN 的实数 的值有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 . 9点 ( , )P x y 在不等式组2,2yxyxx 表示的平面区域内， 则 z x y 的最大值为 _. 10运行如图所示的程序框图，若输入 4n ，则输出 S 的值为 . 11若 4 2 3 4 51 2 3 4 5( 1 )x m x a x a x a x a x a x ， 其中 2 6a ，则实数 m 的值为 ； 1 2 3 4 5a a a a a 的值为 . 12如图，已知 O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D ，若 3AD ， 2BD ，且 D 为 OC 的中点，则 CD 的长为 . 13已知数列 na满足1 ,at，1 20nnaa ( , )tn*NN，记数列 na的前 n 项和的最大值为()ft ，则 ()ft . 14. 已知函数 sin() xfxx （ 1）判断下列三个命题的真假： ()fx 是偶函数； ( ) 1fx ；当 32x 时， ()fx 取得极小值 . 其中真命题有 _；（写出所有真命题的序号） A1D1A1C1BD CBOPNMQ开 始0, 1iSinS S i是否1iin输 入结 束S输 出A BODC淮河两岸 第 3 页 共 9 页 （ 2）满足 ( ) ( )6 6 6nnff 的正整数 n 的最小值为 _. 三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 . 15. （本小题 共 13 分） 已知函数 2( ) c o s 3 s i n c o sf x x x x ( 0) 的最小正周期为 . （）求 2()3f 的值； （）求函数 ()fx 的单调区间及其图象的对称轴方程 . 16.（本小题 共 13 分） 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、 3、 4 层停靠 .已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、 3、 4 层下电梯是等可能的 . ( ) 求这 4 位乘客中 至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率； ( ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 17.(本小题 共 14 分 ) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形， /AB CD ， AB AD ， PAB 和 PAD 是两个边长为2 的正三角形， 4DC ， O 为 BD 的中点， E 为 PA 的中点 ( )求证： PO 平面 ABCD ； ( )求证： /OE 平面 PDC ； ( )求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值 ADOCPBE淮河两岸 第 4 页 共 9 页 18. (本小题 共 14 分） 已知函数 221( ) ( ) l n2f x a x x x a x x .()aR . （）当 0a 时，求曲线 ()y f x 在 (e, (e)f 处的切线 方程（ e 2.718. ）； （）求函数 ()fx 的单调区间 . 19 (本小题 共 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 ( , ) , ( , 4 )P x y M x ，以线段 PM 为直径的圆经过原点 O . （）求动点 P 的轨迹 W 的方程； （）过点 (0, 4)E 的直线 l 与轨迹 W 交于两点 ,AB，点 A 关于 y 轴的对称点为 A ，试判断直线AB是否恒过一定点，并证明你的结论 . 20. (本小题 共 13 分） 对于数列12 nA a a a： ， ， ，若满足 0 , 1 ( 1 , 2 , 3 , , )ia i n ，则称数列 A 为“ 0-1 数列” .定义变换 T ， T 将“ 0-1 数列” A 中 原有的每个 1 都变成 0， 1，原有的每个 0 都变成 1， 0. 例如 A :1,0,1，则( ) : 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 .TA 设 0A 是“ 0-1 数列”，令 1( ),kkA T A 12k ， ， 3, 3， . ( ) 若数列 2A ： 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 . 求数列 10,AA； ( ) 若数列 0A 共有 10 项，则数列 2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； ( )若 0A 为 0， 1，记数列kA中连续两项都是 0 的数对个数为kl， 1, 2, 3,k .求kl关于 k 的表达式 . 淮河两岸 第 5 页 共 9 页 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 十 ）参考答案 一、 选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D C B C 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 . 共 30 分 .有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分） 9. 6 10. 11 11. 32 ， 116 12. 2 13. 222 , (4( 1 ) , (4tt tt t 为 偶 数 )为 奇 数 ) 14. , 9 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80 分 ) 淮河两岸 第 6 页 共 9 页 15. （ 共 13 分） 解：（ ） 13( ) ( 1 c o s 2 ) s i n 222f x x x 2 分 1 s i n ( 2 )26x , 3 分 因为 ()fx最小正周期为 ,所以 22 ，解得 1 , 4 分 所以 1( ) s i n ( 2 )62f x x , 5 分 所以 21()32f . 6 分 （）分别由 2 2 2 , ( )2 6 2k x k k Z ， 32 2 2 , ( )2 6 2k x k k Z 可得 , ( )36k x k k Z ， 2 , ( ) .63k x k k Z 8 分 所以 ,函数 ()fx的单调增区间为 , , ( )36k k k Z ； ()fx的单调减区间为 2 , , ( ) .63k k k Z 10 分 由 2 , (62 xk kZ ）得 , ( )26k x kZ . 所以， ()fx图象的对称轴方程为 ( )26k x kZ . 13 分 16.（ 共 13 分） 解： ( ) 设 4 位乘客中 至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A , 1 分 由题意可得 每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 13， 3 分 则 42 6 5( ) 1 ( ) 13 8 1P A P A . 6 分 ( ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 13，且每个人下电梯互不影响， 所以， 1(4, )3XB. 9 分 X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 11 分 14( ) 4 33EX . 13 分 17.(共 14 分 ) （ ）证明：设 F 为 DC 的中点，连接 BF ，则DF AB AB AD ， AB AD ， /AB DC ， 四边形 ABFD 为正方形， O 为 BD 的中点， ADOCPBEF 淮河两岸 第 7 页 共 9 页 O 为 ,AF BD 的交点， 2PD PB， PO BD ， 2 分 22B D A D A B22 ， 22P O P B B O2 ， 1 22A O B D， 在三角形 PAO 中， 2 2 2 4P O A O P A ， PO AO ， 4 分 AO BD O ， PO 平面 ABCD ； 5 分 ( )方法 1：连接 PF ， O 为 AF 的中点， E 为 PA 中点， /OE PF ， OE 平面 PDC ， PF 平面 PDC ， /OE 平面 PDC . 9 分 方法 2：由 ( )知 PO 平面 ABCD ，又 AB AD ，所以过 O 分别做 ,AD AB 的平行线，以它们做 ,xy轴，以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ( 1, 1, 0)A ， ( 1,1,0)B ， (1, 1,0)D (1,1,0)F ， (1,3,0)C ， (0,0, 2)P ， 1 1 2( , , )2 2 2E ， 则 1 1 2( , , )2 2 2OE ， (1,1, 2 )PF ， (1, 1, 2 )PD ，(1, 3 , 2 )PC . 12OE PF /OE PF OE 平面 PDC ， PF 平面 PDC ， /OE 平面 PDC ； 9 分 ( ) 设平面 PDC 的法向量为1 1 1( , , )n x y z，直线 CB 与平面 PDC 所成角 ， 则 00n PCn PD ，即 1 1 11 1 13 2 020x y zx y z ， 解得 11102yxz，令1 1z，则平面 PDC 的一个法向量为 ( 2 , 0,1)n ， 又 ( 2 , 2 , 0 )CB 则 2 2 3s i n c o s ,33 2 2 n C B ， 直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 33. 14 分 18. (共 14 分） 解：（ I）当 0a 时， ( ) lnf x x x x ， ( ) lnf x x ， 2 分 所以 ( ) 0fe ， ( ) 1fe ， 4 分 所以曲线 ()y f x 在 (e, (e)f 处的切线方程为 y x e . 5 分 （ II）函数 ()fx的定义域为 (0, ) ADOCPBEF xy淮河两岸 第 8 页 共 9 页 2 1 ( ) ( ) ( 2 1 ) l n 1 ( 2 1 ) l nf x a x x a x x a x a x xx ， 6 分 当 0a 时， 2 1 0ax ，在 (0,1) 上 ( ) 0fx ，在 (1, ) 上 ( ) 0fx 所以 ()fx在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上递减； 8 分 当 102a时，在 (0,1) 和 1( , )2a 上 ( ) 0fx ，在 1(1, )2a上 ( ) 0fx 所以 ()fx在 (0,1) 和 1( , )2a 上单调递增，在 1(1, )2a上递减； 10 分 当 12a时，在 (0, ) 上 ( ) 0fx 且仅有 (1) 0f ， 所以 ()fx在 (0, ) 上单调递增； 12 分 当 12a时，在 1(0, )2a和 (1, ) 上 ( ) 0fx ，在 1( ,1)2a上 ( ) 0fx 所以 ()fx在 1(0, )2a和 (1, ) 上单调递增，在 1( ,1)2a上递减 14 分 19 (共 13 分） 解：（ I）由题意可得 OP OM ， 2 分 所以 0OP OM，即 ( , ) ( , 4 ) 0x y x 4 分 即 2 40xy，即动点 P 的轨迹 W 的方程为 2 4xy 5 分 （ II）设直线 l 的方程为 4y kx,1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则11( , )A x y. 由244y kxxy消 y 整理得 2 4 1 6 0x kx ， 6 分 则 21 6 6 4 0k ，即 | | 2k . 7 分 1 2 1 24 , 1 6x x k x x . 9 分 直线212221 : ( )yyA B y y x xxx 212221222212212222 1 2 1 222 1 1 2()1()4 ( ) 414 4 4 y44yyy x x yxxxxy x x xxxx x x x xy x xx x x xx 12 分 即 21 44xxyx 所以，直线 AB恒过定点 (0,4) . 13 分 20. (共 13 分） 解： ( )由变换 T 的定义可得1 : 0,1,1, 0, 0,1A 2 分 0 :1,0,1A 4 分 ( ) 数列 0A 中连续两项相等的数对至少有 10 对 5 分 证明：对于任意一个“ 0-1 数列”0A，0A中每一个 1 在2A中对应连续四项 1,0,0,1，在0