2016年湖北省黄冈市高考文科数学模拟试卷(3月)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（文科）（ 3月份） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则复数 z=（ ） A 1 B 2 C i D 2i 2设集合 A=x|x 1， B=x|x1，则 “xA 且 xB”成立的充要条件是（ ） A 1 x1 B x1 C x 1 D 1 x 1 3下列命题中假命题的是（ ） A ， 0 B x（ ， 0）， x+1 C x 0， 5x 3x D 0， +）， 已知双曲线 =1 的渐近线方程为 y= ，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 3 D 5已知函数 y=f（ x l） + 上的奇函数，若 f（ 2） =1，则 f（ 0） =（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 6已知正项数列 ， a1=l， ， （ n2），则 ） A 16 B 4 C 2 D 45 7若点 M 是 在平面内的一点，且满足 |3 |=0，则 积之比等于（ ） A B C D 8图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的 T 是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 9已知 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ），函数 f（ x）的图象如图所示，则f 的值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 10如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 11已知不等式组 表示区域 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+ 的两条切线且切点分别为 A， B，当 小时， ） A B C D 12将向量 =（ =（ =（ 成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 n 项和 如果一个向量列从第二项起， 每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列若向量列 是等差向量列，那么下述四个向量中，与 一定平行的向量是（ ） A B C D 二、填 空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13两位女生和两位男生站成一排照相，则两位男生不相邻的概率是 14函数 f（ x） =点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 15已知抛物线 p 0）的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 60的直线与抛物线交于 A、B 两点（ A 点位于 x 轴上方），若 面积为 3 ，则 p= 16 xR 时，如果函数 f（ x） g（ x）恒成立，那么称函数 f（ x）是函数 g（ x）的 “优越函数 ”若函数 f（ x） =2x2+x+2 |2x+1|是函数 g（ x） =|x m|的 “优越函数 ”，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） =22x+ ） 2（ 0）的最小正周期为 第 3 页（共 23 页） （ ）求 f（ x）的对称中心； （ ）在 ，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c，若 锐角三角形且 f（ A） =0，求 的取值范围 18噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m 的严重问题，为了了解强度 D（单位：分贝）与声音能量 I（单位： W/间的关系，将测量得到的声音强度 i（ i=， 10）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （ ）2 （ 2 （ ）（ ） （ （ 0 11 0 21 0 11 中 Wi= = ）根据表中数据，求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D=a+ （ ）当声音强度大于 60 分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点 P 共受到两 个 声源的影响，这两个声源的声音能量分别是 2，且 已知点 P 的声音 能量等于声音能量 2 之和请根据（ I）中的回归方程，判断 P 点是否受到噪声污染的干 扰，并说明理由 附：对于一组数据（ l， 1），（ 2， 2）， （ n， n），其回归直线 =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： = ， = 19已知四棱台 上下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， 且底面 P 为 （ ）求证： 面 （ ）在 上找一点 Q，使 面 求三棱锥 Q 第 4 页（共 23 页） 20已知函数 f（ x） =mx+m （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 在 x（ 0， +）上恒成立，求实数 m 的取值范围 21已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 点均不在坐标轴上），且使得直线 存在，求此 圆的方程；若不存在，说明理由 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4面几何选讲】 22如图， O 的直径，弦 延长线相交于点 E， 直 延长线于点 F求证： （ 1） （ 2） EC 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 = （ ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）过点 P（ 0， 2）作斜率为 1 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，试求 + 的值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+1|， g（ x） =2|x|+a 第 5 页（共 23 页） （ ）当 a=0 时，解不等式 f（ x） g（ x）； （ ）若存在 xR，使得 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016年湖北省黄冈市 高考数学模拟试卷（文科）（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则复数 z=（ ） A 1 B 2 C i D 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用虚数单位 i 的运算性质化简，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案 【解答】 解：由 =（ 503 504=1 i， 得 z=（ 1 i）（ 1+i） =2 故选： B 2设集合 A=x|x 1， B=x|x1，则 “xA 且 xB”成立的充要条件是（ ） A 1 x1 B x1 C x 1 D 1 x 1 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 判断 “xA 且 xB”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性 【解答】 解： 集合 A=x|x 1， B=x|x1， 又 “xA 且 xB”， 1 x 1； 又由 1 x 1 时， 满足 xA 且 xB 故 选 D 3下列命题中假命题的是（ ） A ， 0 B x（ ， 0）， x+1 C x 0， 5x 3x D 0， +）， 考点】 全称命题；特称命题 【分析】 根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可 【解答】 解：对于 A：比如 时， 1，是真命题； 对于 B：令 f（ x） =x 1， f（ x） =1 0， f（ x）递减， f（ x） f（ 0） =0，是真命题； 对于 C：函数 y=a 1）时是增函数，是真命题， 对于 D：令 g（ x） =x g（ x） =1 ， g（ x）递增， g（ x） g（ 0） =0，是假命题； 故选： D 4已知双曲线 =1 的渐近线方程为 y= ，则此双曲线的离心率为（ ） 第 7 页（共 23 页） A B C 3 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程为 y= x，由题意可得 b= a，由 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ，即 b= a， c= = = a， 可得 e= = 故选： B 5已知函数 y=f（ x l） + 上的奇函数，若 f（ 2） =1，则 f（ 0） =（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x l） + 函数 y=f（ x l） + 上的奇函数， f（ 2） =1 g（ 1） =f（ 2） +1=1+1=2， 即 g（ 1） = g（ 1） =2，则 g（ 1） = 2， 即 g（ 1） =f（ 0） +1= 2， 则 f（ 0） = 3， 故选： A 6已知正项数列 ， a1=l， ， （ n2），则 ） A 16 B 4 C 2 D 45 【考点】 数列递推式 【分析】 由题设知 2 12，且数列 等差数列，首项为 1，公差 d=，故 +3（ n 1） =3n 2，由此能求出 【解答】 解： 正项数列 ， ， ， 22+12（ n2）， 2 12， 数列 等差数列，首项为 1，公差 d=， +3（ n 1） =3n 2， =4， 第 8 页（共 23 页） 故选： B 7若点 M 是 在平面内的一点，且满足 |3 |=0，则 积之比等于（ ） A B C D 【考点】 向量的模 【分析】 点 M 是 在平面内的一点，且满足 |3 |=0， 根据向量的概念，运算求解； 3 = ， + =2 ， 3 =2 ， ，根据 积的关系， 积之比，求出面积之比 【解答】 解：如图 G 为 中点， 点 M 是 在平面内的一点，且满足 |3 |=0， 3 = ， + =2 ， 3 =2 ， = ， 底相等， S S = ， 即 积之比： = ， 故选； C 第 9 页（共 23 页） 8图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的 T 是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 直接计算循环后的结果，当 k=6 时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可 【解答】 解：第一次循环有 a=1， T=1， K=2，第二次循环有 a=0， T=1， k=3， 第三次循环有 a=0， T=1， k=4，第四次循环有 a=1， T=2， k=5，第五次循环有 a=1， T=3，k=6， 此时不满足条件，输出 T=3， 故选 C 9已知 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ），函数 f（ x）的图象如图所示，则f 的值为（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，通过图象经过（ ， 0），求出 ，从而得到 f（ x）的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值 【解答】 解：由函数的图象可得 A=2， T= =4（ ） =4，解得 = 又图象经过（ ， 0）， 0=2 +）， 0 ， = ， 故 f（ x）的解析式为 f（ x） =2x+ ）， 所以： f=22016+ ） = 故选： A 10如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） 第 10 页（共 23 页） A 8 B 16 C 32 D 64 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球 ，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积 【解答】 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同， 如图所示： 由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面外接圆的半径为： r=2， 由棱柱高为 4，可得球心距为 2， 故外接球半径为： R= =2 ， 故外接球的表面积 S=42， 故选： C 11已知不等式组 表示区域 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+ 的两条切线且切点分别为 A， B，当 小时， ） A B C D 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当 小时点 P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论 第 11 页（共 23 页） 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域 D，如图所示， 要使 大，则 大， = ， 只要 小即可， 即点 P 到圆心 O 的距离最小即可； 由图象可知当 直于直线 3x+4y 10=0， 此时 | =2， |1， 设 ，则 ，即 = ， 此时 21 2（ ） 2=1 = ， 即 ， 0， 等边三角形，此时对应的 0为最小， 且 故选： B 12将向量 =（ =（ =（ 成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 n 项和 如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等差向量列若向量列 是等差向量列，那么下述四个向量中，与 一定平行的向量是（ ） 第 12 页（共 23 页） A B C D 【考点】 数列与向量的综合 【分析】 可设每一 项与前一项的差都等于向量 ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得， = + + =21（ +10 ） =21 ，再由向量共线定理，即可得到所求结论 【解答】 解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量 ， = + + = +（ + ） +（ +20 ） =21 + （ 1+20） 20 =21（ +10 ） =21 ， 即有与 平行的向量是 故选： B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13两位女生和两位男生站成一排照相，则两位男生不相邻的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事 件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率 【解答】 解：两位女生和两位男生站成一排照相， 基本事件总数 n= =24， 两位男生不相邻包含的基本事件个数 m= =12， 两位男生不相邻的概率 P= = = 故答案为： 14函数 f（ x） =点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 x y+1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 【解答】 解： f（ x） = f（ 0） =1， 函数的导数 f（ x） = 则 f（ 0） =1， 即函数 f（ x）在点（ 0， 1）处的切线斜率 k=f（ 0） =1， 则对应的切线方程为 y 1=x 0， 即 x y+1=0， 故答案为： x y+1=0 第 13 页（共 23 页） 15已知抛物线 p 0）的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 60的直线与抛物线交于 A、B 两点（ A 点位于 x 轴上方），若 面积为 3 ，则 p= 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 写出直线 方程，联立方程组解出 A 点坐标，根据面积列方程解出 p 【解答】 解：抛物线的焦点 F（ ， 0）， 直线 方程为 y= （ x ） 联立方程组 ，消元得： 35=0， 解得 ， A 点在 x 轴上方， A（ ， ） S =3 ，解得 p=2 故答案为： 2 16 xR 时，如果函数 f（ x） g（ x）恒成立，那么称函数 f（ x）是函数 g（ x）的 “优越函数 ”若函数 f（ x） =2x2+x+2 |2x+1|是函数 g（ x） =|x m|的 “优越函数 ”，则实数 m 的取值范围是 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据 “优越函数 ”的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：若函数 f（ x） =2x2+x+2 |2x 1|是函数 g（ x） =|x m|的 “优越函数 ”， 则等价于 2x2+x+2 |2x+1| |x m|对 xR 恒成立 f（ x） =2x2+x+2 |2x+1|= ， 分别作出函数 f（ x） =2x2+x+2 |2x 1|和 G（ x） =|x m| 当 xm 时， G（ x） =x m， 当 x m 时， G（ x） = x+m， 由图象知，当 G（ x） =x m 与 f（ x） =2x+1 相切时， 由 2x+1=x m，即 22x+1+m=0， 由判别式 =4 42（ 1+m） =4 8（ 1+m） =0 得 m= ， 当 G（ x） = x+m 与 f（ x） =2x+3 相切时， 由 2x+3= x+m，即 2x+3 m=0， 由判别式 =16 42（ 3 m） =0 得 m=1， 当 G（ x） = x+m 与 f（ x） =2x+1 相切时， 由 2x+1= x+m，即 2 m=0， 由判别式 =0 42（ 1 m） =0 得 m=1， 综上若函数 f（ x） =2x2+x+2 |2x+1|是函数 g（ x） =|x m|的 “优越函数 ”， 第 14 页（共 23 页） 则 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） =22x+ ） 2（ 0）的最小正周期为 （ ）求 f（ x）的对称中心； （ ）在 ，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c，若 锐角三角形且 f（ A） =0，求 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理 【分析】 （ ）求出 f（ x）的表达式，根据 2x+ =出 f（ x）的对称中心即可；（ ）先求出 A 的值，得到 B， C 的范围，由正弦定理得到 = （ 1+ ），从而求出其范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =22x+ ） 2 =2（ 2 =2 = 2（ +1 = 22x+ ） +1， T= =，故 =1， f（ x） = 22x+ ） +1， 由 2x+ =得 x= ， 第 15 页（共 23 页） 故 f（ x）的对称中心是（ ， 1）； （ ） f（ A） =0， 22A+ ） +1=0，解得 A= ， B+C= ，而 锐角三角形， 45 C 90， 1， = = = = （ 1+ ）， 1， （ ， ） 18噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m 的严重问题，为了了解强度 D（单位：分贝）与声音能量 I（单位： W/间的关系，将测量得到的声音强度 i（ i=， 10）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的 值 （ ）2 （ 2 （ ）（ ） （ （ 0 11 0 21 0 11 中 Wi= = ）根据表中数据，求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D=a+ （ ）当声音强度大于 60 分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点 P 共受到两个 声源的影响，这两个声源的声音能量分别是 2，且 已知点 P 的声音 能量等于声音能量 2 之和请根据（ I）中的回归方程，判断 P 点是否受到噪声污染的干 扰，并说明理由 附：对于一组数据（ l， 1），（ 2， 2）， （ n， n），其回归直线 =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： = ， = 第 16 页（共 23 页） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ I）根据回归系数公式得出 D 关于 w 的线性回归方程，再得出 D 关于 I 的回归方程； （ 适用基本不等式求出 2 的范围，利用回归方程计算噪音强度 【解答】 解：（ I） = = ， = = 求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程是 =10 （ P 点的声音能量 I=2=10 10（ ）（ 2） =10 10（ 2+ ） 410 10 P 点的声音强度 D=10410 10） +060 点 P 会受到噪声污染的干扰 19已知四棱台 上下底面分别是 边长为 2 和 4 的正方形， 且底面 P 为 （ ）求证： 面 （ ）在 上找一点 Q，使 面 求三棱锥 Q 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （ 1）取 点 M，连结 是 面 面 是 平面 M 以 面 （ 2）由 可知当 时，四边形 平行四边形，故 是 平面 锥 底面 直角三角形高为 【解答】 解（ 1）取 ，连结 在 面 面 正方形， 又 面 面 ， 平面 面 ， 0， 1， 0， 0， 面 面 C=B， 面 （ 2）在 上取一点 Q，使 ， 梯形 中位线， ， ， ， Q， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 平面 面 ， 1， ， 设 M=N，则 = V = S 1N= =6 20已知函数 f（ x） =mx+m （ ）求函数 f（ x）的单调区间； 第 18 页（共 23 页） （ ）若 f（ x） 0 在 x（ 0， +）上恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上 某点切线方程 【分析】 （ ）对 f（ x）求导，对导函数中 m 进行分类讨论，由此得到单调区间 （ ）借助（ ），对 m 进行分类讨论，由最大值小于等于 0，构造新函数，转化为最值问题 【解答】 解：（ ） ， 当 m0 时， f（ x） 0 恒成立，则函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增， 此时函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， +），无单调递减区间； 当 m 0 时，由 ，得 ， 由 ，得 ， 此时 f（ x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （ ）由（ ）知：当 m0 时， f（ x）在（ 0， +）上递增， f（ 1） =0，显然不成立； 当 m 0 时， 只需 m 10 即可，令 g（ x） =x 1， 则 ， x（ 0， +） 得函数 g（ x）在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增 g（ x） g（ 1） =0， g（ x） 0 对 x（ 0， +）恒成立， 也就是 m 10 对 m（ 0， +）恒成立， m 1=0，解得 m=1 21已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 点均不在坐标轴上），且使得直线 存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 【考点】 圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出 a， b 然后求出椭圆的方程 （ ）当直线 l 的斜率不存在时，验证直线 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m 与椭圆联立 ，利用直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，推出 ，通过直线与圆的方程的方程组，设 结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出 k1 【解答】 （本小题满分 14 分） （ ）解：由题意，得 ， a2=b2+ 第 19 页（共 23 页） 又因为点 在椭圆 C 上， 所以 ， 解得 a=2， b=1， ， 所以椭圆 C 的方程为 （ ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x2+ 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x2+y2=r 0） 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m 由方程组 得（ 4） 4=0， 因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点， 所以 ，即 由方程组 得（ ） ， 则 设 则 ， ， 设直线 所以 = ， 将 代入上式，得 要使得 定值，则 ，即 ，验证符合题意 所以当圆的方程为 x2+ 时，圆与 l 的交点 足 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的方程为 x=2， 第 20 页（共 23 页） 此时，圆 x2+ 与 l 的交点 综上，当圆的方程为 x2+ 时，圆与 l 的交点 定值 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4面几何选讲】 22如图， O 的直径，弦 延长线相交于点 E， 直