zdx-三角形的证明(培优)

高效学习 全人发展三角形的证明(培优)出题人：张丹霞 姓名： 题型一 全等三角形例1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1） 当旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ；（2）当DEF 继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图中，连接BO、AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明.变式1: 如图,已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA（1） 求证：DE平分BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD变式2: 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)求证：DCBE变式3: 在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明题型二 等腰三角形的性质例2. 如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.变式1: 如图，已知ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论变式2: 已知：如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OCAC，C120现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图，现有MCN60，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M、N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由题型三 等腰三角形的判定例3. 如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F.（1）求证：CE=CF；（2）将图中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论. 变式1: 已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF变式2: 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10（1）求直线l的解析式；（2）求证：ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A、B，在直线CD上存在点P，使得ABP是等腰直角三角形请直接写出所有符合条件的点P的坐标题型四 等边三角形例4. (1) 如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC求AEB的大小；(2) 如图2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小变式1: 如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F（1）如图2，当BP=BA时，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式.题型五 直角三角形例5. 已知中，.(1) 如图，当、在上时，求证：；(2)