中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)_2735

1、学习好资料欢迎下载2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析( 二 )例 3 如图，在边长为6 的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形 DMNK ，恰好使得N、 A、F 三点在一直线上，连接MF 交线段 AD 于点 P，连接为 x，正方形 DMNK 的边长为 y（1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当 NPF 的面积为32 时，求 x 的值；（3）以 P 为圆心， AP 为半径的圆能否与以G 为圆心， GF 为半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值， 如果不能， 请说明理由解析 ：（ 1）正方形 BEFG 、正方形 DMNK 、正方形 ABCD E F

2、90O ， AE MC， MC NKAE NK， KNA EAF KNA EAF ，NKKA，即yy 6EAEFxx 6y x 6（ 0 x 6）（2）由（ 1）知 NK AE， AN AFNP，设正方形BEFG 的边长NKABEGFPMDC正方形 DMNK ， APNM ， PMFP ANAF 1 FP PM ， SMNP SNPF 32S 正方形 DMNK 2S MNP 64y8， x 2（ 3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GH AD易知： AP yyyx2 ，AH x， PH 2x， HG 6； PG AP GF 2当两圆外切时222222在 Rt GHP 中， PH

3、 HG PG，即 ( 2yx) 6 ( 2yx )解得： x333（舍去）或 x333 当两圆内切时222y22y2在 Rt GHP 中， PH HG PG，即 (2 x) 6 (2 x )方程无解所以，当 x33 3 时，两圆相切例 4 已知：正方形 ABCD 的边长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交于点 F， EAF 45°，连接 EF（ 1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、 BE、 DF 有怎样的数量关系？并证明 你的猜想；（2）设 BE x，DF y，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点B、C），求 y

4、关于 x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点B），点 F 在射线 CD 上运动试判断以E 为圆心，以 BE 为半径的 E 和以 F 为圆心，以FD 为半径的 F 之间的位置关系；学习好资料欢迎下载（ 4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时，设 AE 与 CD 交于点 G问： EGF 与 EFA 能否相似？若能相似，求出 BE 的长，若不可能相似，请说明理由FADAFBECBDGCE解析：图 1图 2（ 1）猜想： EFBE DF证明：将 ADF 绕点 A 顺时针旋转90°，得 ABF ，易知点图 1） AF AF FAE 1

5、3 2 3 90° 45° 45° EAF又 AEAE ， AF E AFE EF FE BE BF BEDF（ 2）在 RtEFC 中， EC 2FC 2 EF 2EC 1 x，FC 1 y，EF x y222( 1 x) ( 1y) ( xy )1 xy（ 0 x 1）F 、B、E 在同一直线上（如.AD21FFBEC图 1（ 3）当点 E 在点 B、C 之间时，由（ 1）知 EF BE DF ，故此时 E 与 F 外切；当点 E 在点 C 时， DF0， F 不存在 .当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕点 A 顺时针旋转90°，得 ABF

6、 （如图 2）则 AF AF， 1 2，BF DF ， FAF 90° FAE EAF 45°又 AEAE ， AF E AFE EF EF BE BF BE DF此时 E 与 F 内切综上所述，当点 E 在线段 BC 上时， E 与 F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时， E 与 F 内切（ 4） EGF 与 EFA 能够相似，只要当此时 CE CF设 BEx， DF y，由（ 3）知 EF xy在 Rt CFE 中， CE 2 CF 2 EF 2( x 1)222 ( 1y) ( xy )x 1y（ x 1）EFG EAF 45°即可FA2D1G由 CE

7、CF ，得 x1 1y，即 x 1 1 x 1BFCE2x 1化简得 x2x1 0，解得 x1 12（舍去）， x2 12图 2学习好资料欢迎下载 EGF 与 EFA 能够相似，此时BE 的长为 12例 5 已知：如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC， B 90°，AD 2，BC 6，AB3E为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG ，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长；（2）将（ 1）问中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B EFG，的边

8、EF 与 AC 交于点 M，当点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为 t，正方形 B EFG是直角三角形？若存在，求出t 的值；连接 BD， B M， DM 是否存在这样的t，使 B DM若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形B EFG 与 ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围ADADBCB解析：（ 1）如图，设正方形BEFG 的边长为x则 BEFG BG xAB 3， BC 6， AG AB BG 3 x GF BE， AGF ABC AGGF3xxAB BC，即3 6备用图ADGFC解得 x 2，即

9、 BE 2（ 2）存在满足条件的 t ，理由如下：如图，过 D 作 DH BC 于点 H则 BH AD 2，DH AB 3由题意得： BB HE t， HB | t 2| ， EC 4t在 Rt BME 中， BM 2 BE 2 ME 2 2 2( 2 1 t ) 2 1 t24 EF AB， MEC ABC2 2t 8BE图ADCMEECME4 t1AB BC，即3 6， ME 22 t22 2222在 Rt DHB DH2 ) t4t13BH 3( t中，BD过M作MNDH于点 N则 MN HEt ，NH ME 2 1 t 2DN DH NH 3( 2 1 t ) 1 t 122GNBHB

10、图FMEC学习好资料欢迎下载22252在 Rt DMN 中， DM DN MN4 t t 122 2（）若 DB M 90°，则 DM B MB D5212220即 4 t t 1 (4 t 2t 8 ) ( t 4t13 ) ，解得 t722DM2（）若 B MD 90°，则 B D B M21252即 t4t 13 (4 t 2t8 ) (4 t t1 ) ，解得 t1 30 t 4， t 317222DM（）若 B DM 90°，则 B MB D12252即 4 t 2t8 ( t 4t13 ) (4 tt1 ) ，此方程无解综上所述，当t 20 17是直角

11、三角形7 或3时， B DM（3）当 0 t 4123 时， S 4 t17， t2 317ADGF4122当 3 t 2 时， S 8 t t 3当 2 t 1032 2t5BBHEC3 时， S 8 t3图10 15AD当 3 t 4 时， S2 t 2提示：GF当点 F 落在 CD 上时，如图FE 2， EC 4 t， DH 3， HC4由 FEC DHC ，得 FEDHEC HCBHBE C23， t4图即 t434当点 G 落在 AC 上时，点G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点）t 2当点 G 落在 CD 上时，如图GB 2，BC 6tGBDH由 GBC DHC ，得3

12、10即 6 t 4 ， t 32当点 E 与点 C 重合时， t 44当 0 t 3 时，如图MF t， FN12 tS SFMN 1·t· 1t1t2224ADGMFNBBEC图ADGP FQMNBBEC图学习好资料欢迎下载当 43 t 2 时，如图 PF t 43 ， FQ 34 PF 34 t1143322S FPQ 2( t3)(4 t 1 ) 8 t t3t t 2S SFMN SFPQ 1t ( 3tt2)12224838310当 2 t 3 时，如图111B M( 6t2B Ct) 322GM 112 ( 32 t ) 2 t 1111S 梯形 GMNF 2(2 t 1 2 t ) × 2 t1S S FPQ ( t1)(3t22) 3t25