2022年习题1-3行列式的性质

1、1、用行列式的性质运算以下行列式1,2 两列元素大部分数字是相等的,列差同为1000,易于化为下三2809229092【分析】可见行列式中角行列式,于是,【解法一】3421535215c 2c 1342151000r 1r 2c 161230下三角6123000；2809229092280921000280921000【解法二】3421535215r 1r 261236123c 2612302809229092280922909228092 1000下三角6123000；2abacae；bdcddebfcfef【分析】各行、列都有公因,抽出后再行运算；【1acae1a

2、r1b1解e23rbc1adfbce1111】abcbdcddeadfbce111ccdr22bfcfeffbceec3111r31111r 2r 1311；adfbce002r 2abcdef020r 3r 1020002abcdef上三角 124abcdef ；111111111111【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式,【解】1111r2r 111113 上三角 1 28 ；111102221111r3r 10022rr 1111 1400022、把以下行列式化为上三角形行列式,并运算其值：22240403c 2c 1r 27r 322440143514 3135 3；1220

3、5124【解法一】41351435 3r 2r 12240321231321323205102510251511351435r 2r1062100118r37r2011807120712r42r 200858r 3r 1r 3r 402351r 4r 30251007171451435上三角 121 27001180118001410014100717000270270；【解法二】224011r420c 111204135 2r 124135 3c 221 1435312331232320512051202511120110r2r 120315r 2r320 0118r3r 104034030

4、2510251112021120r34r220118r42r 30118r42r200429004290071720014111201120r 34r420118r 301180001350014100141000135上三角2 1 12 135270；21234；234134124123【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型,应将2,3,4 列加到第 1 列：12341023410234【解】2341c 1 c 2c c 3 4 10341r2r10113341210412r3r 10222rr141231012340111102342160 ；r32r 20113上三角10 1 4r4

5、r200440004aij进行变换后,求其结果：3、设行列式a ijm , i j1,2,L,5,依以下次序对交换第一行与第五行,再转置,用2 乘全部元素,再用-3乘以其次列加到第四列,最终用4 除其次行各元素；【解】 1 交换第一行与第五行,行列式变号,结果为 m ；2 再转置,行列式的值不变,m ；53 用 2 乘全部元素,即 5 行里每行都有公因 2,这等于用 2 乘以行列式,结果为5m 2 32m ；4 再用 -3乘以其次列加到第四列,这是倍加,行列式的值不变,结果仍为 32m ；5 最终用 4 除其次行各元素, 即其次行有公因 1,这等于用1 乘以行列式, 结果为4 432 m 1

6、8m ；44、用行列式的性质证明以下等式：1a 1kb 1b 1c 1c 1a 1b 1c 1；a 2kb 2b 2c2c2a2b 2c2a 3kb 3b 3c3c3a3b 3c3【证法一】左边a 1kb 1b 1c 1c1a 1kb 1b 1c 1c 1=a2kb 2b 2c2c2c2c3a 2kb 2b 2c2【证法二】右边a3kb 3b 3c3c3a 3kb 3b 3c3a 1b 1c1c 1kc2a2b 2c2=右边,证毕；a3b 3c3a 1b 1c 1a1kb 1b 1c 1=a2b 2c2c1kc2a2kb2b2c 2a3b 3c 3a3kb3b 3c 3a 1kb 1b 1c

7、1c 1c2c3a2kb2b2c 2c2=左边,证毕；a3kb3b 3c 3c3a 1kb 1b 1c 1c1a 1b 1c 1c 1kb 1b 1c 1【证法三】左边=a2kb 2b 2c2c2分拆1ca2b 2c2c2+kb2b 2c 2c2a3kb 3b 3c3c3a3b 3c 3c3kb3b 3c 3c3a 1b 1c 1a 1c1c1kb 1b 1c 1kb 1c 1c1都分拆c2a2b 2c2+a2c2c2+kb 2b 2c2+kb2c2c2a3b 3c3a 3c3c3kb 3b 3c 3kb 3c 3c3第 2, 4行列式:c2c3a 1b 1c 1a 1b 1c 1a 2b 2

8、c 2+0+0+0=a 2b 2c2=右边,证毕；第 3行列式c 1c= :1 yzz2a 3b 3c 3a 3b 3c3xxyxyz2xyyzzx2zxy；2xyzzxxyzxxyyzyzxyzzxxy【证法一】左边=xyyzzxc 1 c 2c 3 2xyzyzzx2xyzxyyzzxxyyz2xyzzxxyr 2r 10yxzyr 3r 10yzzx 2xyz c 121zxxyxyz 0yxzy0yzzx右边 =2xc 2 zx c 12xy1y0 xz0yzzxxxyyz 0c 3xy c 10yzzzxyzxyzyzzxyc 1 c c 2 3 2xyzxyyzxxyzzx1yz

9、xyz c 12xyz 1xy1zx1yzr2r 12xyz 0 xyyzrr 130zyxz对比即得100 xc2yc 12xyz 0 xyyzczc 130zyxz100r22xyz 0yxzy,r30yzzx左边 =右边,证毕；yzzxxyyzxxy【证法二】左边=xyyzzx分拆1cxyzzx+yyzzxzxxyyzzxyyzxxyyzyzxx+zxxy前c2-c3yz前c3-c1+xyzzyzzxxyzyzx后c2-c1后c-cr1zxyyxyyz32zxzyxxyyzzxyzxyzxy前r2yzxyzx都r3r2zxy+zxy后r 3r 1zxyzxyyzxyzxxyz2zxy=右

10、边,证毕；yzx5、运算以下行列式：x a L aa x L a1；L L L La a L x【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型,应将 2 列以后各列加到第 1 列：x a L aa x L a【解】设 为 n 阶行列式,就每行中有 1 个 x,n-1 个 a,于是L L L La a L xx a a L a ax a L a a x a L a aa x L a a a x L a a=L L L L L L L L L La a L x a a a L x aa a a L a xx n 1 a a a L a ax n 1 a x a L a ax n 1 a a x L a

11、 ac 1 c 2 c 3 L c n L L L L L Lx n 1 a a a L x ax n 1 a a a L a xx n 1 a a a L a a0 x a 0 L 0 0c 2 c 1 0 0 x a L 0 0L L L L L L L Lc n c 10 0 0 L x a 00 0 0 L 0 x an 1上三角 x n 1 x a ；1 2 3 L n 1 n1 0 3 L n 1 n1 2 0 L n 1 n2；L L L L L L1 2 3 L 0 n1 2 3 L n 1 0【分析】 该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数,将化为上三角行列式；因此,

12、将首行加到以下各行,【解】123LLn1n123 nLn1n103Ln1n026L2n12n120Ln1nc 2c 1003L2n12nL LLLLLLLLLLLLLc nc 11123L0n000Ln12n123Ln10000L0n上三角1 2 3L1 n.n ；a 1a 2a n1a 1b 1a 2b 2La nb n；31a 1a2La nLLLLL1a 1a 2Lan【分析】 这是为 n+1 阶行列式；该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等,因此,将首行的 -1 倍加到以下各行,将化为上三角行列式；1 a 1 a 2 L a n 1 a 1 a 2 L a n1 a 1 b 1 a

13、 2 L a n c c 2 1 0 b 1 0 L 0【解】1 a 1 a 2 b 2 L a n LL 0 0 b 2 L 0 上三角 1 2 bb L b n；L L L L L c n c 1 L L L L L1 a 1 a 2 L a n b n 0 0 0 L b na 0 1 1 L 11 a 1 0 L 04 1 0 a 2 L 0,其中 ia 0；L L L L L1 0 0 L a n【分析】为化成上三角行列式,须将 0a 下方元素全化为 0,这样就需要次第地（以肯定次序,一个接一个地 ）,将 0a 化为 -1 后加到第 1 列,将 1a化为 -1 后加到第 2 列,.,

14、将 na 化为 -1 后加到第 1 列；【解】a 011L1c 11c 2a00111L1a 11a 10L0a 10L010a2L0a 110a2L0LLLLLLLLLL100La n100Lana01111L1111L1a 1a2c 11c 30a 10L0a 200a2L0LLLLL100La na011.a 1a2a n.c 110a10L0c n10a n0a2L0a0in1LLLLL000Lan111L1ai=0 0a 10L00a2L0LLLLL000La n上三角aa 1 2La a 0in11a i上述的 n 次列倍加运算也可以叠加进行：a 011L1c 11c 2a 0n1

15、i11L1i1a i1a 10L01a 10L0010a 2L0a 1LL00a 2L01c nLLLLLc 1a nLLLLL100La n上三角aa 1 2L000Lann1a a 01a i6、解以下方程：11212293x20；1x232315231【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式,留意到 相同元素,得：1,2 两行及 3,4 两行有较多的2111213112342x2,左边 =1 22x223r 2r 101x2003155r 4r 32312319x20004x235231x2c 12 c 30 x200上三角3原方程为c 23 c 30015004x201,x；1x2

16、4x20,即得 4 个根为x11L1111x1L11；112xL110LLLLLL111Ln2x1111L1n1x【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式,将第一行的 上三角行列式；左边 =11x1Ln1xn1x111L11112xL11LLLLLL111L21111L11r 2r 1111Ln1x10 x0L00001xL00L LLLLLLLr nr 1000L30-1 倍加到以下各行即成为000L0 xn2x0,上三角x1x2xLn3n2x,原方程为x1x2xLn3Lxn2x即得 n-1 个根为 xk ,k0,1,2,n1,n2； 7、设 n 阶行列式Ddetaij,把 D 上下翻转

17、,或逆时针旋转90o,或依副对角线翻转,依次得a n 1 L a nn a 1 n L a nn a nn L a 1 nD 1 L L L,D 2 L L L,D 3 L L L,a 11 L a 1 n a 11 L a n 1 a n 1 L a 11n n 1/2证明 D 1 D 2 1 D ,D 3 D ；【证明】1 D 1 1 n n 1/2D ,a 11 L a 1 n a n 1 L a nn这就是将 D 变换成 D ：L L L L L L,由于把 D 上下翻a n 1 L a nn a 11 L a 1 n转得到 D ,翻转变换中,元素 a 的列码仍为列码,次序没变,行码就

18、由次序 123 L n 变成了逆序 nL 321；由于排列 123 L n 变成 nL 321 要经过 n 1 n 2 L 2 1n n 1次对换,2可 知 把 D 上 下 翻 转 得 到 D 1, 须 经 过 n n 1 次 行 对 换 , 从 而2n n 1/2D 1 1 D ；证毕；n n 1/22 D 2 1 D ,a 11 L a 1 n a nn L a 1 n这就是将 D 变换成 D ：L L L L L L,由于把 D 逆时针a n 1 L a nn a n 1 L a 11旋转 90o得到 D ：a 11 a 12 L a 1, n 1 a 1 n a 1 n a 2 n L

19、 a n 1,n a nna 21 a 22 L a 2, n 1 a 2 n a 1, n 1 a 2, n 1 L a n 1, n 1 a n n 1L L L L L L L L L La n 1,1 a n 1,2 L a n 1, n 1 a n 1,n a 12 a 22 L a n 1,2 a n 2a n 1 a n 2 L a n n 1 a nn a 11 a 21 L a n 1,1 a n 1旋转变换中,元素 ija 的第一码 i 变成了其次码 j ,都作为行码看待时,由次序123 L n 变成为逆序 nL 321；而其次码 j 变成了第一码 i ,都作为列码看待时,

20、次序不变,由于排列 123 Ln变成nL321 要经过 n1n2L2211/2D ；1次对换,从而Dn n 1n n1次对换,D ,须经过n n 22可知把 D 旋转 90o得到证毕；3 D 3 D ；a 11 L a 1 n a n 1 L a nn这就是将 D 变换成 D ：L L L L L L,由于把 D 依副对a n 1 L a nn a 11 L a 1 n角线翻转得到 D ：a 11 a 12 L a 1, n 1 a 1 n a nn a n 1, n L a 2,n a 1 na 21 a 22 L a 2, n 1 a 2 n a n n 1 a n 1, n 1 L a 2, n 1 a 1, n 1L L L L L L L L L La n 1,1 a n 1