电磁场与电磁波课件-第4章

1、第4章 时变电磁场李婷主要内容波动方程矢量位和标量位能流密度矢量时谐电磁场波动方程 wave equation 时谐场 time-harmonic field周期函数 cycle/period function能流密度矢量（坡印廷矢量） energy flow density vector (Poynting vector)两边取旋度4.1 波动方程得电场E的波动方程同理磁场H的波动方程得考虑均匀无耗媒质的无源区域（）的麦克斯韦方程为式中为拉普拉斯算子，在直角坐标系中而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播问题归结为在给定边界条

2、件和初始条件下求解波动方程。 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。由麦克斯韦第二方程于是由麦氏第三方程，可令4.2 电磁场的位函数 4.2.1 矢量位与标量位即式中A称为动态矢量位，简称矢量位（Wb/m)。称为动态标量位，简称标量位（V)。 已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。 注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。 当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位。 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。由麦克斯韦第四方程由麦

3、克斯韦第二方程将将矢量恒等式得即 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 前面定义A的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A，还需规定其散度。 令 （洛仑兹条件)所以同理这两个方程称为达朗贝尔方程。由上可见，按照洛伦兹条件规定A的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位A仅与电流J有关，标量位 仅与电荷 有关。此方程表明矢位A的源是J，而标位 的源是 。时变场中J和是相互联系的。 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位 。求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。 这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。4.3 电磁能量守恒定

4、律电磁场具有能量。 静电场的能量密度 恒定磁场的能量密度因此，时变电磁场的能量密度为 在时变场中，由于电场能量密度随电场强度变化，磁场能量密度随磁场强度变化，空间各点能量密度的改变引起能量的流动。 为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量，又称为坡印廷矢量。 能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以 S 表示， 单位为W/m2。能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系如何？ 设无外源 (J = 0, = 0) 的区域 V 中

5、，媒质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理后求得将上式两边对区域 V 求积分，得 , , E, HV考虑到 ，那么根据能量密度的定义，上式又可表示为 上式称为时变电磁场的能量守恒定律，也称坡印廷定理。任何满足上述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。 矢量（ ）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S ， 即, , E, HS 此式表明，S 与 E 及 H 垂直。又知 ，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系，如图示。单位是W/m2。SEH例：已知电磁波的电场 ，求此电磁波的磁场

6、、能流密度矢量。解：通过 求H。4.5 时谐电磁场4.5.1 时谐电磁场的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示式中称为时谐电场的复振幅根据欧拉公式所以，可用复数的实部表示三个分量故式中称为时谐电场的复矢量在复数运算中， 的微积分运算即是对空间坐标的微分运算，是空间的概念例：将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式。解：所以例：写出电场强度的瞬时值形式。解： 时谐场对时间的导数4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程由麦克斯韦第一方程设为时谐场将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦克斯韦方程的复数形式同理其它三个麦克斯韦方程复数形式的波动方程亥姆霍兹方程波动方程设为时谐场得同理亥姆霍兹方程式中4.5.6 平均能流密度和平均能流密度矢量 坡印廷矢量 表示瞬时功率流密