初等数学116-极坐标与参数方程课件

§11.6极坐标与参数方程§11.6极坐标与参数方程从这向东2000米。请问：去宝鸡职院怎么走？一、极坐标的概念第一节极坐标与极坐标方程从这向东请问：去宝鸡职院一、极坐标的概念第一节极坐标与极请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射2、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。2、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点题组一：说出下图中各点的极坐标题组一：说出下图中各点的极坐标①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？①平面上一点的极坐标是否唯一？特别规定：当M在极点时，它的3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOXABCDEFGOX4、1)、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM4、1)、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些OXP=/4M4.2负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3OXP=/4M4.2负极径的实例在极坐标系中画出点[1说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：4.3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？4.3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？4.4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M4.4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射4.5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。4.5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点5、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：5、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的[16、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…6、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-7例5题图形图10-7例5题图形

2.极坐标方程的作图极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法.2.极坐标方程的作图极坐标方程的作初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-10极坐标系中的对称关系图10-10极坐标系中的对称关系初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-11心形线图10-11心形线3.极坐标方程的建立图10-12例8图形3.极坐标方程的建立图10-12例8图形图10-13例9图形图10-13例9图形*4.等速螺线及其方程当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.图10-14等速螺线的极坐标系*4.等速螺线及其方程当一个动点沿着一条射线做等速初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-15等速螺线图10-15等速螺线图10-16例10图形图10-16例10图形初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件习题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什么叫极坐标方程？2.平面上的点极坐标如何表示？极角取值范围？答案答案答案答案答案习题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什第二节参数方程一、参数方程的概念先来看下面的一个例子.第二节参数方程一、参数方程的概念先来看下面的一个例初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-17炮弹运动规律的轨迹图10-17炮弹运动规律的轨迹初等数学116-极坐标与参数方程课件方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数.在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定.为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲二、参数方程的作图二、参数方程的作图初等数学116-极坐标与参数方程课件三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20辅助圆作法示意四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20辅助这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：2.圆的渐开线的参数方程图10-22圆的渐开线2.圆的渐开线的参数方程图10-22圆的渐开线下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.图10-23极坐标系中圆的渐开线图10-23极坐标系中圆的渐开线3.摆线的参数方程3.摆线的参数方程这就是摆线的参数方程,图10-24摆线这就是摆线的参数方程,图10-24摆线习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答*第三节数学实验二利用Mathematica绘制一元函数图形一元函数图形的绘制1.学会Mathematica命令（1）Mathematica的绘图命令调用格式为Plot[表达式，{自变量，下限，上限}，可选项]，其中表达式是需要绘制其图形的函数的表达式，下限和上限表示自变量的取值范围.Plot[{表达式1，表达式2,…}，{自变量，下限，上限}，可选项]，在一个坐标系中绘制由表达式1、表达式2等表示的若干个函数的图形.可选项可以有也可以没有，没有可选项时系统按默认值处理.它的表示方法是：*第三节数学实验二利用Mathematica绘制一元可选项名——＞可选项的值比如可选项PlotRange,它表示坐标轴的显示范围，系统默认值是Automatic．可以指定坐标轴的显示范围：可选顶AspectRatio表示坐标轴的纵横比例，即纵坐标轴长度单位，横坐标轴长度单位．可选项名——＞可选项的值比如可选项PlotRange,它2.绘制一元函数图形图10-26例1示意2.绘制一元函数图形图10-26例1示意图10-27例2示意图10-27例2示意图10-28例3示意图10-28例3示意图10-29例4示意图10-29例4示意图10-30例4示意图10-30例4示意3.绘制参数方程所确定函数的图形图10-31例5示意图10-32例5示意3.绘制参数方程所确定函数的图形图10-31例5示意图10习题思考题：课堂练习题：利用Mathematica软件绘图命令调用格式是什么：下限、上限是什么意思.Plot表达是数学意义的函数吗？在计算机操作学会Mathematica命令.答案习题思考题：课堂练习题：利用Mathemat答案部分答案部分思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结极点；极轴；长度单位作业优化设计P131,2,3,4预习：极坐标与直角坐标的互化作业优化设计ENDEND84§11.6极坐标与参数方程§11.6极坐标与参数方程从这向东2000米。请问：去宝鸡职院怎么走？一、极坐标的概念第一节极坐标与极坐标方程从这向东请问：去宝鸡职院一、极坐标的概念第一节极坐标与极请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射2、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。2、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点题组一：说出下图中各点的极坐标题组一：说出下图中各点的极坐标①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？①平面上一点的极坐标是否唯一？特别规定：当M在极点时，它的3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOXABCDEFGOX4、1)、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM4、1)、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些OXP=/4M4.2负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3OXP=/4M4.2负极径的实例在极坐标系中画出点[1说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：4.3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？4.3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？4.4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M4.4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射4.5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。4.5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点5、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：5、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的[16、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…6、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-7例5题图形图10-7例5题图形

2.极坐标方程的作图极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法.2.极坐标方程的作图极坐标方程的作初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-10极坐标系中的对称关系图10-10极坐标系中的对称关系初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-11心形线图10-11心形线3.极坐标方程的建立图10-12例8图形3.极坐标方程的建立图10-12例8图形图10-13例9图形图10-13例9图形*4.等速螺线及其方程当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.图10-14等速螺线的极坐标系*4.等速螺线及其方程当一个动点沿着一条射线做等速初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-15等速螺线图10-15等速螺线图10-16例10图形图10-16例10图形初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件习题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什么叫极坐标方程？2.平面上的点极坐标如何表示？极角取值范围？答案答案答案答案答案习题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什第二节参数方程一、参数方程的概念先来看下面的一个例子.第二节参数方程一、参数方程的概念先来看下面的一个例初等数学116-极坐标与参数方程课件图10-17炮弹运动规律的轨迹图10-17炮弹运动规律的轨迹初等数学116-极坐标与参数方程课件方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数.在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定.为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲二、参数方程的作图二、参数方程的作图初等数学116-极坐标与参数方程课件三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件初等数学116-极坐标与参数方程课件四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20辅助圆作法示意四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20辅助这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：2.圆的渐开线的参数方程图10-22圆的渐开线2.圆的渐开线的参数方程图10-22圆的渐开线下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.图10-23极坐标系中圆的渐开线图10-23极坐标系中圆的渐开线3.摆线的参数方程3.摆线的参数方程这就是摆线的参数方程,图10-24摆线这就是摆线的参数方程,图10-24摆线习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答*第三节数学实验二利用Mathematica绘制一元函数图形一元函数图形的绘制1.学会Mathematica命令（1）Mathematica的绘图命令调用格式为Plot[表达式，{自变量，