重点梳理北师大数学分式方程与二次根式方程

分式方程与二次根式方程

第8课分式方程与二次根式方程

K知识点』

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、噌根

k大纲要求』

了解分式方程、二次根式方程的概念.掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化

为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检喊.

内容分析

1.分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

(i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

(五)解这个整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根

是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.

在上述步骤中，去分母是关键，喊根只需代入员蔺公分母.

⑵换元法

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求

出原来的未知数.

2.二次根式方程的解法

(1)两边平方法

用两边平方法解无理方程的一般步骤是：

0)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；

(ii)解这个有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程进行检猿，加果适合，就是原方程的根，如果不适

合，就是噌根，必须舍去.

在上述步骤中，两边平方是关健，验根必须代入原方程进行.

⑵换元法

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求

出新的未知数后再求原来的未知数.

口考查重点与常见题型］1

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在

选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中.

考题类型

1.(1)用换元法解分式方程其7+工三=3时，设？7=y，原方程变形为()

x-13xx-1

(A)y*—3y+l=0(B)y*+3y+l=0(C)y*4~3y—1=0(D)y*—y+3=0

2.用换元法解方程=23,若设y=Mx；+8x-ll,则原方程可化

为()

(A)y*+y+12=0(B)y*+y~23=0(C)y:+y_12=0(D)y*+y—34=0

3.若解分式方程々一*=—产生噌根，则m的值是()

X—1X十XX

(A)—1或一2(B)—1或2(C)1或2(D)1或一2

4.解方程刍一一二=1时，需将方程两边都乘以同一个整式(各分母的最简公分母)，

约去分母，所乘的这个整式为()

(A)X—1(B)x(X—1)(C)x(D)x+1

5.先阅读下面解方程x+而行=2的过程，然后填空.

解：(第一步')将方程整理为x—2+#x—2=0；(第二步")设y=4x—2，原方程可化

为y：+y=0；(第三步')解这个方程的y；=0»y：=—1(第四步')当y=0时，y/x-2=

0；解得x=2,当y=-1时，y/x—2=—1,方程无解；(第五步)所以x=2是原方程

的根以上解题过程中，第二步用的方法是_____，第四步中，能够判定方程五与=~

1无解原根据是__-上述解题过程不完整，缺少的一步是______0

考点训练：

1.给出下列六个方程：1)X；—2x+2=O2)@-2=1—x3)也一3+心一2=

04)也+1+2=05)-H■•---=06)——-+1=---具中有实数解的方程有

()

(A)。个(B)1个(C)2个(D)多于2个

2.方程2x一1=±1的解是()

x—4x+2

(A)—1(B)2或一1(C)—2或3(D)3

3.当分母解x的方程==』7时产生增根，则m的值等于()

X-1X-1

(A)-2(B)-1(C)1.(D)2

4.方程)2^-3-也+1=0的解是。

5.能使(x—5)/一7=0成立的x是.

6.关于x的方程《(m—l)x+3=2x--15是根式方程，则m的取值范围是_________.

7.解下列方程：

12x+l______3__4,、3x.x*-15

(2)—r—+——=—

2x*—7x+51-x2x-5x—13x2

,、117,1x1

(3)x1；八(x)+1—0

x2x

解题指导：

1.解下列方程:

2x-2=_

(1)出+2=x(2

'x:—9x(x-3)x:+3x

(3)x+2x+2/八；(4)#3x+2—A/X—8=33

(X十1)

独立训练

1.方程4x(x'+l)=0的解是_______・方程“2X+3=_x的解是______,方程

X、X，的解是------------

2.设丫=—时，分式方程(一)；+5(+)+6=0可转化为__________.

X-1X-1

3.用换兀法解方程2x—3/+443——2x+5+1=0可设y=________.从而把方程化

为_____________.

4.下列方程有实数解的是()

(A)/+2+5=4(B)^3—x+A/X—3=0

,\2।36

(C)X：—2x+4=0(D)4■*------7—：1

X-T1X-1X—1

5.解下列方程.

,\1x+2,、x+411.

(1)x-2-x:-4(2)：,।,—+1

x+2xx+2x

(3)号=5-9且2_坛+曲)(4)-2—x+.5-4x=2

b十xa-x

:

(5)2x*—4x—3A/X:—2x—4=101：6)4(x+A)~5(x--)-14=0

XX

(7)3x:+15x+2^3x:+15x+l=2(8)

6.若关于x的方程吃~^=—+1产生增根，求m的值.

x-2x+2x

m为何值时，关于x的方程二-枭=三会产生增根.

x-2x-4x+2

7.当a为何值时，方程己-产、+-7=0只有一个实数根.

x2x(x-ljx-l

方程去+—=-年会只有一个实数根，求a的值

x+1XX(x+lj

8.当m为何值时，方程三+三-干"=。有解

xx_lX(X_1J

分式的重要性质新课知识讲解

第5课分式

知识点：

''舞式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指

数幕的运算

大纲要求：

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围.掌握分式的基本

性质，会约分，通分.会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算.掌握指数指数嘉的运

算.

考查重点与常见题型：

1.将查懑数指数零的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确

的是()

(A)-4C=1(B)(~2)*;=|(0(-3,r)：=9E⑻(a+b)-4-：+『

2.考查分式的化简求值.在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多

为中档的解答题.注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认

真仔细，如：

化简并求值：

VV'-v*2x+2

7---77•：；+(-—-2),其中x=cos30°,y=sin90

gy)x+xy+yx-y

知识要点

1.分式的有关概念

设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子4A就叫做分式.注意分母B的值不

B

能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最着分式.如果分子分母有公因式，要进行约分

化简

2、分式的基本性质

A_AxM巴A=±A-2M巴⑷为不等于零的整式)

B~BxMB

3.分式的运算

(分式的运算法则与分数的运售法则类似).

,,,££_竺・

3±£=史二止(异分母相加，先通分)；bd~bd'

bdbda.cd_ad

bdbcbe

4.零指数a°=l(«H0)

5.负整数指数=；（aw0,p为正整数）.

注意正整数幕的运算性质af=a-'（a#。），

（a）=a\

（ab）=ab

可以推广到整数指数察，也就是上述等式中的m、n可以是。或负整数.

考查题型：

1.下列运算正确的是（）

(A)-4a=l(B)(-2)*1=1(C)(-3*^):=9"(D)(a+b)'l=a-：+b*1

2.化蔺并求值:

xx3-y3(2x+2

-2),其中x=cos30°y=sin90

(x-y)*,x*+xy+y*x-y9

ax-4x-y1P33ab:c3

3.a+b、中分式有_

G、、丁、rji+T、25

当x=-------时，分式(XLJQ+I)

4.的值为零;

5.当x取------值时，分式《鼻有意义

6.已知心=々+47是恒等式，则4=____，B=________

x-1x-1x-rl

化蔺（券

7.

x-2x

8.先化蔺后再求值：^7告，其中x=T—

X-1X+2x+lx+1yj2-1

n/rnaa3—4a*b—5aba

9.已知一=2,求工厂—i；的值

a-ba-6ab+5ab

考点训练：

1,分式二当区=------时有意义，当*=-------时值为正.

2,分式中的取值范围是()

l-x

(A)xWl(B)xWT(C)xWO(D)xW±l且xWO

3.当乂=-----------时，分式/匕的值为零？

x+4x+12

4,化简

..12,、a:+?a+10a3+l.a+1

⑴1一不百⑵■7^~a+2

1O—o—o*

(3)[a+(a-;-)■—~~—]+(a-2)(a+1)

l-aa-a+l

a'+b：

(4)o已知b(b—1)—a(2b—a)=—b+6»求一-—-ab的值

*(5).[(l-»~)(x—4+^)-3]-r(--1)

x-2xx

*(6).已知xJ=3,求小二的值

XX-x+1

2(b-a)

火(?)若a+b=l,求证:

a：b：+3

解题指导，

1.当a=---时,分式言三无意义，当a.=------时,这个分式的值为零.

a-2a~3

2.写出下列各式中未知的分子或分母，

口=(y-x)；3J__；__I

5y()l-2x2x*-x

4

3b+2

3.不改变分式的值，把分式^一的分子，分母各项的系数化为整数，且最高次项的系数

53

O•—[

均为正整数，得--------------.分式约分的结果为________.

—■a:—，a上十。/

4.把分式笠中的x,y都扩大两倍,那么分式的值()

温故知新：一元二次方程复习与测试

主讲教师：谢潮(苏州立达中学)

一、本讲内容

复习与测试(第22章一元二次方程)

二、重点讲解

知识点回糜：

1.一元二次方程的四种解法：

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

2.根的判别式：

关于x的一元二次方程a/+8x+c=0(ar0)

A=2>2—Aac

当A>0时，方程有两个不相等的实根

当△=()时，方程有两个相等的实根

当△<◊时，方程无实根

3.根与系数关系

关于x的一元二次方程a，+於+c=0(ar0)

△N0时，有4+叼=_2,xxx2=—

当aa

三、典型例题

例1.用适当的方法解下列一元二次方程。

(1)3+1)2=(>2X)2

解.x+1=1-2彳或工4-1=-(1-2%)

x=0或x=2

(2)("1)2=2(1-X)

解：1)2+2(x-1)=0

(x-l)(x+l)=0

.0.x-1=。或x+1=0

••Xj=1,工义=-1

(3)6x2-7x-3=0

解：(3x+1)(2%-3)=0

，3x+l=0或2x-3=0

.__1_3

fg，"5

(4)3x2=4x+l

解：3x2-4x-1=0

△=(_49-4X3X(-1)=28>0

.-(-4)±7282+77

■•X-=

2X33

._2+/_2--/7

'=-，X2=Z；

(5)2X3-A/2X-30=0(注:用配方法)

x2—邑=15

2

2、泛.V2.J.V2.

X2-----x+(—)2=115c+(—)2

244

(V2.2121

.*1±U也

44

：.X1=3也,4=一1■'/

注：用配方法解一元二次方程的步骤为:

(1)化二次项系数为1

⑵移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方

原方程变为5+㈤2="的形式

(4)

(5)如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

例2.已知方程/+(2{+1)入+/-2=°的两根的平方和为11,求卜的值.

解：设方程的两根为勺，町

则有工1+忠2=_(2上+1),不叼=上2_2

2

.二SV-叁且移-3

，-(左+1»+工/+1=0

例4.已知关于x的一元二次方程4

(1)k取什么值时，方程有两个实数根.

(2)如果方程的两个实数根々，町满足氏|=町，求k的值.

A=[-(jt+l)]2-4(-)t2+l)=2jt-3>0

解：(1)4

k>~,上当上之2

解得22时，方程有两个实数根

(2)•••|々|=町，分两种情况

①当勺2°时，得。=叼，.•.方程有两个相等的实数根.

3

・・A=0,・,k=一

2

②当X<0时，在=—X],・・工]+X?=0

由根与系数关系，得上+1=0

化=一1,由⑴知上之二，矛盾

/.2

k=-1舍去

•73

..K=—

2

例5.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg,出油率为50%(即每100kg

花生可加工成花生油50kg),现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油

2

132kg,其中花生出油率的增长率是亩产量的噌长率的万，求：新品种花生亩产量的噌长

率.

解：设新品种花生亩产壁的噌长率为X,

200(1+x)•50%•(l+-x)=132

则有

解得勺=0.2,x3=-3.2(不合题意，舍去)

答：新品种花生亩产量的噌长率是20%.

注：对于增长率问题，解这类问题的公式是或1+*尸=&，其中，a是原来的壁，x

是平均增长率，n是噌长的次数，b为噌长的量.

例6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件菽利40元，为了扩大

销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每

件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

求：

(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

解：(1)设每件衬衫应降价x元，则有

(40-x)(20+2x)=1200

x2-30x4-200=0

解得=1°，叼=20

根据题意，取x=20,

,每件衬衫应降低20元.

(2)商场每天赢利

(40-x)(20+2x)

=800+60x-2x2

=-2(X-15)2+1250

当x=15时，商场赢利最多，共1250元

,每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多.

例7.在△ABC中，a^b、c分别是NA、NB、NC的对边，且c=5、8，若关于x的

方程(5/+»/+2ax+(5E-»=°有两个相等的实数根，方程

2’-(10sin")x+5sinN=0的两实数根的平方和为印求：^ABC的面积.

分析：这是一个一元二次方程和解直角三角形的综合题，由方程

(5月+»/+2ax+(5力一与=0有两个相等的实根及c=5、回，易证AABC为直角三

角形，在方程2--(10sinH"+5sin/=°中，由根与系数关系和已知的两实根平方

c1»

ab

和为6,可求sinA的值，再由三角函数定义和勾股定理可求出a,b,则皿2.

解：•.•方程(5/+3)/+2ax+(5/—»=0有两个相等实数根

「.△=(2a)2-4(5的+8)(50-6)=0

S.a1+b2=75

V?=（5^）2=75,：.a2+b2=c2

:•△」45C是直角三角形，且NC=90。。

设Xi，叼是方程2-—（10sinR）x+5sinH=0的两实数根，

X]+叼=5sin4勺町=-sinA

则2

'.'%1+%2=6,而X；+君=+的）2-2勺勺

/.（5sin、）2-5sinR-6=0

sin幺=2或sin/=-2（舍去）

解得55

在RtZ\ABC中=5、回，a-c*sinA=3^/3,b--Jc2-a2=4、回

.SIABC=5a5=18

例8.已知关于x的一元二次方程。/+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m

（1）试分别判断当a=L。=_3与&=2,c=、修时，加工4是否成立，并说明

理由；

（2）若时于任意