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文档简介

一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数第二节偏导数第1页定义1.在点存在,偏导数，记为某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:一、偏导数定义及其计算法第2页一样可定义对y

偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或

y

偏导数存在,第3页比如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x偏导数概念能够推广到二元以上函数.偏导数定义为第4页二元函数偏导数几何意义:是曲线在点M0处切线对x

轴斜率.在点M0处切线斜率.是曲线对y轴第5页例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处偏导数.第6页例2.设证:例3.求偏导数.解:求证第7页偏导数记号是一个例4.已知理想气体状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母商!此例表明,整体记号,第8页例5.求在点(0,0)处偏导数.例6.求在点(0,0)处偏导数.例7.求在点(0,0)处偏导数.第9页函数在某点各偏导数都存在,显然比如注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!第10页二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)二阶偏导数

.按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导数:第11页类似能够定义更高阶偏导数.比如，z=f(x,y)关于x三阶偏导数为z=f(x,y)关于x

n–1阶偏导数,再关于y

一阶偏导数为第12页例8.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.二阶偏导数及第13页例9二者不等第14页则定理.比如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续,故求初等函数高阶导数能够选择方便求导次序.因为初等函数偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证实略)第15页证:令则则定理.令第16页一样在点连续,得第17页例10.

证实函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程第18页内容小结1.偏导数概念及相关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导次序无关2.偏导数计算方法

求一点处偏导数方法

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