第5节利用导数研究不等式恒成立问题讲义

第五节利用导数研究函数不等式恒成立问题考点梳理至少含有一个参变量的函数不等式恒（能）成立，求参数范围问题，一直以来是高考的热点和难点.该题型灵活多变,综合性强，常作为压轴题显现.其常见解法主要有：分类讨论法（或直接求最值法）、分离参数法和构造函数法(作差法构造或同构法构造）.例题分析方法一、分类讨论法（或直接求最值法）：在函数不等式恒（能）成立问题中，有些是不能分离参数的.有些虽能分离参数，但分离后的函数不存在最值或端点值.这时我们只能放弃分离参数，采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解.例1、若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．【答案】【分析】本题看上去可以分离参数，但分离参数后的函数在区间上无最值，也无端点值，故只能用分类讨论法求解.【解析】令，得，.（1）当时，，在上单调递减，故，不符合题意；（2）当时，令，可得，若，则，单调递减；若，则，单调递增；又由，所以存在，使得，不符合题意；（3）当时，对于，恒成立，且只有当时导数为零，故在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意，所以实数的取值范围为．点睛：大多数恒成立问题，分离后的函数不存在最值或端点值.这时我们采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解.例2、（2023·黑龙江大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】C【分析】根据题中不等式恒成立先得到，的关系式，转化为，构造函数，求出其最小值即为的最小值.【详解】设，，由题，.（1）当时，，函数在上单调递增，且当时，，故此时，在不能恒成立.（2）当时，若，，函数在上单调递增，若，，函数在上单调递减，所以在时取得最大值，由题意不等式在恒成立，只需恒成立，即，所以，（该不等式左右两边都含有，可以同时变化，不能理解为恒成立），设，则只需，因为当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以，所以的最小值为，故选：C点睛：尝试在中直接分类讨论，分理出能否求解？可以发现，此路不通.可见函数与导数综合问题的复杂性和解法的多样性.我们在平时的训练中，一定要放开思路，勇于探索，才能取得较好的效果.例3、（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数，.（1）若，求的最值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）的定义域为，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增又，.所以，（2）由题意知：只需，，由（1）知在单调递减，单调递增，①若，则在单减，则只需，即，记，，因为，所以在减，增，而，，所以在恒成立，又因为，所以对任意恒成立.②若，，只需，即，解得，综上，.例4、（2023秋·宁夏银川一中高三校考）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【详解】（1）当时，，，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，，所以，而，所以.（2）令.则.当时，因为，所以，所以在上单调递增，又因为.所以关于的不等式不能恒成立；当时，.令，得，所以当时，；当时，.因此函数在上单调递增，在上单调递减.故函数的最大值为.令，因为，又因为在上单调递减，所以当时，.所以整数的最小值为3.例5、（2020年全国新高考Ⅰ卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在隐零点，使得，得到，利用隐零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）方法一：（分类讨论法）,（），设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,故时，；时，∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，，，且当时，当时，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).方法二：（同构法）由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，则，即．所以a的取值范围为．点睛：本题第（2）问的方法一是分类讨论法，利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但这是解决此类问题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求解，是本题的最优解法.方法二、分离参数法：先通过分离参数，将问题转化为：（或）在上恒成立，若函数在区间上有最值（无最值时考虑端点值），则（1）恒成立问题：，；，；（2）恒成立问题：；；（3）能成立问题：，；，.（4）能成立问题：；.例6、已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可将不等式化为．构造函数，，则．由题意可知，在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需满足即可．令，则．由可得，．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以在处取得唯一极小值，也是最小值，所以．故选A．例7、（2023深圳宝安第一外国语学校校考模拟）已知函数.（1）若函数在处存在极值，求的值，并求出此时函数在处的切线方程；（2）当时，若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为，所以，.函数在处存在极值，则，故，，则，故所求切线方程为，即；（2）由已知，令，由有两个极值点，得有两个不等的正实数根，所以，且，从而，由不等式恒成立，得恒成立，又，令，所以，当时恒成立，所以函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是.点睛：本题利用，将另一参数转化为了，这种逆向思维很关键啊!例8、（2023·云南红河·统考二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意可知的定义域为，令，则，①当时，，在上恒成立，在上单调递减．②当时，，时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．③当时，，时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．（2）当时，恒成立，故，所以，即，由得，令（），则，令，则，在单调递增，则，即在恒成立，故在单调递增．所以，故在恒成立．由在单调递增，而，，故．方法三、构造函数法：1、同构法构造：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解（主要是“指数”“对数”同构型函数问题），其常见形式有：（1）积型：的三种构造形式：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.（2）商型：的三种构造形式为：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.2、作差法构造：（1）对于含参数的不等式恒成立问题，构造函数，则只需.（2）对于含参数的不等式恒成立问题，构造函数，则只需.例9、（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知，由知.故排除BD.由得，，构造函数，是上的增函数，则由得，即，令，，由得，当，则单调递减，当，则单调递增，，则，又，则.故选：C.例10、（2023秋·广东中山·高三校考）对任意，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，由得：，，令，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，由得：，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，当时，恒成立，则，实数的可能取值为，ABC错误，D正确.故选：D.例11、（2023·河南·统考三模）已知函数，若恒成立，则的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【详解】因为函数，当时，函数为单调递减函数，为单调递增函数，显然不能恒成立，所以，由恒成立，即恒成立，即恒成立，令，可得，令，即，可得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，函数取得最大值，最大值为，所以，即的最大值为.故选：B.例12、（2023秋·河北张家口·高三统考开学统考