高中数学选择性必修二：4-2-1-1等差数列的概念（课堂练习）

4.2.1.1等差数列的概念

一、单选题

I.下列数列中，不成等差数列的是（）.

A.2,5,8,IlB.1.1,1.01,1.001,1.0001

C.a,a,a,aD.Ig2,Ig20,Ig200,Ig2000

【答案】B

【分析】根据等差数列的定义逐个分析判断即可.

【解析】对于A,因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3,所以此数列是等差数列，所以A

不合题意，

对于B,因为LOl-LI=-0.09,IWl-LOl=-0.009,即LOl-LIHL001-1.01,所以此数列不是等差数，

所以B符合题意，

对于C,因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0,所以此数列是等差数列，所以C不合题意,

对于D,数列lg2,Ig20,lg200,lg2000可表示为lg2,l+lg2,2+lg2,3+lg2,因为第2项起，后

一项与前一项的差是同一个常数1,所以此数列是等差数列，所以D不合题意，

故选：B

2.“a,b,C成等差数歹（'是"6-a=c—6"的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可.

【解析】若"a,b,C成等差数列”，则“6-α=c∙-6”,即％,b,C成等差数列”是“6-a=c—b”的充分条件;

若“b-a=c-b”,则2,b,C成等差数列”，即“a,b,C成等差数列”是“6-a=c—L的必要条件，

综上可得：“a,b,C成等差数列”是"-α=c"”的充要条件，

故选：C.

3.现有下列命题：①若α,,=α,ι+π（"≥2）,则数列｛%｝是等差数列；

②若%-4=〃，则数列｛q｝是等差数列；

③若q=H+C（氏C是常量），则数列｛《,｝是等差数列.

其中真命题有（）.

A.O个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】由等差数列的定义即可得出结论.

【解析】由q=%+M"N2),得α,,-j=π,满足等差数列的定义，故①正确；

a^-an=n,〃不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；

an=bn+c,an,l=b(n-l)+c=bn+c-b,an-an,l=b,满足等差数列的定义，故③正确.

故选：C

4.已知数列｛q｝,他,｝为等差数列，且公差分别为4=2,4=1,则数列｛24-3〃｝的公差为()

A.7B.5C.3D.1

【答案】D

【分析】利用¼,+l-3⅛+1-2¾+3⅛,l即可整理求得公差.

【解析】｛叫，也｝为等差数列，；.｛4-屹J为等差，设其公差为d,

则d=2a,,+l-3∕j,,+1-2an+32=2(¾+l-αn)-3(⅛+l-&„)=2√1-3d2=1.

故选：D.

5.已知加和2"的等差中项是4,2帆和〃的等差中项是5,则加和”的等差中项是()

A.8B.6C.4.5D.3

【答案】D

【分析】利用等差中项的定义即求.

【解析】,•*m+2n=S,2∕Π+M=10,

：•3m+3n=18,

.*.∕n+n=6,

...用和H的等差中项是空=3.

故选：D.

6.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是().

Q58

A.d>—B.d<3C.—≤d<3D.一<d≤3

333

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.

【解析】依题意，令该等差数列为｛%｝,贝IJ有4=-24+5-1)«/,

,„/%≤0f8d-24≤08

因数列｛4｝从第10项开始为正数，因此八，即皿M八，解得：-<t∕≤3,

[a10>0[9J-24>03

Q

所以公差”的取值范围是3<d≤3.

故选：D

7.已知数列｛4｝满足4=3，^ɪɪ,则%>22=()

A.---B.——C.---D.---

2020202120222023

【答案】D

【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可.

a11

【解析】因为。N=U7,所以-------二1.

%+l⅛÷14

又4=1，故，=2,

2%

所以数列是首项为2,公差为1的等差数列，所以，=〃+1，所以4,=一1，则％。2，=品「=』.

/7,Ja,,〃+1M-2022+12023

故选：D.

8.已知数列｛4｝满足2。,用=a“+a“+2(”eN*),且％+4+《3=2兀，则cos(%+09)=()

A.--B.--C.ɪD.B

2222

【答案】B

【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列｛4｝为等差数列，进而可得24=%+佝=4半万，结合诱导公式

计算即可.

【解析】由题意知，2απ+1=an+an+2,

由等差数列的等差中项，得数列｛%｝为等差数列,

2〃"

又%+%+43=2)，所以《=《-，

则07+%=26⅛=，

所以CoS(O7÷¾)=COS-^-=-COSy=--^.

故选：B

9.若《，出,%，…，小为各项都大于O的等差数列，公差dwθ,则().

aa

A.cι4a5B.<4s

C.6+〃8>4+。5D.a1+¾<a4+a5

【答案】B

【分析】根据等差中项的推论，以及结合通项公式进行作差法，可得答案.

【解析】由题意，可知1+8=4+5,.αl+α8=a4+a5,故选项C、D错误；

由4=G+7d,%=4+3d,%=4+4d,

22

则Λl¾-a4a5=Ol(Ol+7d)-(a1+34)(q+4J)=6Z1+7ald-tz1

=-12rf2<0,即q%<α√⅞,

故选：B.

10.已知数列｛α,,｝是首项为。，公差为1的等差数列，数列｛〃｝满足b,,="-若对任意的"CN*,都有

an

成立，则实数〃的取值范围是()

A.[-6,-5]B.(-6,-5)C.[-5,T]D.(-5,-4)

【答案】B

【分析】依题意，对任意的〃wN*,都有"士"成立，即,≥',利用数列｛。”｝的单调性可得4<0,%>0,

ana6

即可求解.

【解析】由已知2=匕％='+ι,

anan

对任意的〃∈N',都有"≥4成立，即,+1≥,+1,即'≥’,

an。6ana6

又数列｛4｝是首项为。，公差为1的等差数列，

/.an=a+n-∖,且｛。〃｝是单调递增数列，当〃→⅛∞时，^~→θ,

n

fα+5<0

.∙.¾<0,α>0,即｛,解得-6<α<-5.

7[a+6>0

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性

结合已知条件得到&<o,%>o.

1i2

若三个非零且互不相等的实数占，入2，不成等差数列且满足一+==一，则称王，々，W成一个“夕等差数

11.x∖X2x3

列已知集合M=HlXI≤200,x∈z｝,则由M中的三个元素组成的所有数列中，“尸等差数列”的个数为()

A.101B.100C.50D.51

【答案】B

【分析】确定构成“夕等差数列”的三个数的内在关系，七=-2Z和x2=-gx∣,结合所给集合找出符合条件

的数组个数即可得解.

【解析】由三个非零且互不相等的实数不当,W成等差数列且满足一+L=K,

ʌɪʌɔ-Vj

2X2=Xl+玉

可得，112

—i—=—

%X2A3

消去々，并整理得，(2X,÷X3)U,-⅞)=0

所以Xl=X3(舍去)，刍=-2不，于是有*2=-gx∣.

在集合M=卜忖≤200,x∈z｝中，三个元素组成的所有数列必为整数列,

所以玉必为2的倍数，且XIG[TOO,100],xl≠0,

故这样的数组共100组.

故选：B.

12.已知数列｛4｝满足4=2,/=6,且4+2-2”,川+q=2,若卜]表示不超过X的最大整数(例如[1.6]=1,

72~1Γ^l「ɔnɔi2

[—1.6]=—2)则—+—+…+=()

LflIJLa2」Lfl2020.

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】D

【分析】由题设得｛〃”,「4｝是首项为4,公差为2的等差数列，可得“向-。“=2〃+2,再应用累加法求｛”,,｝

的通项公式，最后求处ɪ匚结合函数新定义得["ɪ匚]=1,即可求目标式结果.

%a〃

【解析】由题设，(¾+2-¾+∣)-(¾+∣-an)=2,O2-O1=4,

故｛an+i-%｝是首项为4,公差为2的等差数列，则an+l-an=2n+2,

则4,L%τ+4ι-4itl_2+...+a2-cιx-an-al=2[(〃-1)+...+1]+2(〃-1)=(ΛZ÷2)(∕I-1),

所以4="5+i),故^±I21=ι+1,XΠ∈N∙,

ann

当”=1时fɪ]=2,当“≥2时[<"+D]=1,

44

223220212

所以一++∙∙∙÷=2021.

。2020

故选：D

【点睛】关键点点睛:构造数列｛。向一凡｝并求通项公式，再由累加法求｛α,,｝的通项公式，结合函数新定义

求目标式的值.

二、多选题

13.（多选）已知数列｛%｝的通项公式为〃”=。+加（小6为常数），则下列说法正确的是（）

A.若a2>%,则%>4

B.若%>4,则生>a2

C.若%>4，则/>4

D.若%>4,则4+%>a∖

【答案】ABC

【分析】根据等差数列的通项性质可判断｛4,,｝是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.

【解析】由%=。+加,知4出=α+b（"+l）,.∙.α,,+∣-ɑ,,=b,故数列｛4“｝是等差数列，且公差为匕.

由等差数列的单调性可得，若%>4,则公差d>0,所以数列｛《,｝是递增数列，故A,B一定成立；

若为>q,则4-q=2d>0,所以数列｛4,,｝是递增数列，所以%>4,故C一定成立；当/<0时，q+生>“

不成立，故D不一定成立.

故选：ABC.

14.在数列｛/｝中，q=3,且对任意大于1的正整数〃，点（、Z，E）在直线X-N-K=O上，则（）

A.数列｛α,,｝是等差数列

B.数列｛向｝是等差数列

C.数列｛4｝的通项公式为凡=3〃

D.数列｛夜二｝的通项公式为百=73«

【答案】BD

【分析】由点在直线上可知数列｛m｝是等差数列，由等差数列通项公式可求得向，推导可得见,从而可

得各个选项的正误.

【解析】点(用\向?)在直线x-y-√5=0上，.，.阮一向7=6,

二数列｛五｝是以Ji=6为首项，石为公差的等差数列，B正确；

∙'∙>∕¾=λ∕3+λ∕3(n-l)=>∕3n,D正确；3,/,C错误；

∙∙q-α,ι=3∕-3("-1)2=6,L3,••・｛4｝不是等差数列，A错误.

故选：BD.

15.(多选)在等差数列｛6,｝中，首项4=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列出｝,

则()

=

A.⅛ι=-7B.⅛227

C.¾=8-5∕7D.也｝中的第506项是｛4｝中的第2022项

【答案】AC

【分析】根据等差数列的首项和公差可判断C,根据｛%｝,也｝的关系可判断A,B,D.

【解析】因为4=3,d=-5,所以4=3+("-l)x(-5)=8-5”,故C正确；

数列｛4｝中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项....所以々=%=-7,a=%=-27,

故A正确，B错误；

对于D,设数列也｝中的第上项是数列｛4｝中的第项，贝Hm=3+4("l)=4"l,所以当女=506时，

"7=4x506-1=2023,即数列出｝中的第506项是｛4｝中的第2023项，故D错误.

故选：AC

16.在数列｛q｝中，若弋-a"=P5≥2/wN".p为常数),则称｛4,,｝为“等方差数列”•下列对“等方差数列”

的判断正确的是()

A.若｛/｝是等差数列，则｛q,｝是等方差数列

B.｛(-l)”｝是等方差数列

C.若｛叫是等方差数列，则｛%｝(%eN*),%为常数)也是等方差数列

D.若｛4｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】BCD

【解析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.

【解析】对于A,若｛4｝是等差数列，如4,=",

则片-03=〃2-("-1)2=2〃-1不是常数，故｛”"｝不是等方差数列，故A错误；

对于B,数列[(-l)"｝中，%-。3=[(-1)叩-[(-1尸]2=0是常数，

・•・｛(一)"｝是等方差数列，故B正确；

对于C,数列｛4｝中的项列举出来是，αl,牝，L,ak,L,a2k,L

数列｛为｝中的项列举出来是，4，a2k,aik,L,

(d+∣-d)=(d+2-¾÷∣)=(<3-⅛+2)==(⅛-⅛-∣)=P>将这4个式子累加得

a+flfa+-a++-aakaak

(¾1~k)(*+2-k+t)(¾÷3k+2)(⅛⅛-l)=^P'∙'∙2k-k-P<∙'∙k(n+l)~kn=P>

.∙.｛%,｝(ZeMM为常数)是等方差数列，故C正确；

对于D,｛%｝是等差数列，∙∙∙α,,-%=d,则设q=加+，〃

｛《J是等方差数列，：.可—ɑj-ɪ=(。“+4ι)d=("〃+"?+出+"+wαz)d=2<∕-"+(2"z+t∕)d是常数，故

2/=0,故&=0,所以(2m+d)d=0,个-。3=0是常数，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.

三、填空题

17.设等差数列｛%｝满足%+%+为>0,α7+α10<O,若。“>0,则项数"的最大值是.

【答案】8

【分析】利用等差中项的性质有2%+q°=3%>0'%+40=4+为<0,即可判断数列的正负边界位置,

即可得结果.

【解析】由%+4+%=2%+4()=3%>0,而%+4o=%+为<O,

所以外>0,%>0,%<O,q。<O,故等差数列｛4｝递减，

所以，对于等差数列｛4｝,要使%>O最大〃值为8.

故答案为：8

18.在数列｛%｝中，q=2,√ξ7=√¾+√2,则数列｛可｝的通项公式为

2

【答案】an=2n

【分析】根据给定条件可得数列｛向｝是等差数列，求出其通项即可计算作答.

【解析】由屈二=J7+也得：疯:一施'=&，而J7=3,

于是得数列｛血｝是以0为首项，J=√2为公差的等差数列，

则有M=瓜+(n-l)d=0+6(n-l)=后n,

所以数列｛4｝的通项公式为：¾=2√.

故答案为：⅛=2n2

19.己知数列｛%｝,但｝满足4=：,an+bn=∖,⅛ntl=τy⅛(∏∈N∙),贝屹侬=_________.

2ɪQn

—,2022

【答案】酝

【分析】根据已知条件转化式子得出J-J=1,进而求出数列的通项公式即得数列｛4｝的通项公式,

再求出数列｛d｝的通项公式，进一步求出答案即可.

【解析】an+bn=∖,.∙.hn=∖-an,¾+l+⅛n+,=l,--bn+l=∖-an+l,

lj1,

•b="=--------j------=—!—=i-a

•向1-力(1+%)(F)1+4

为一%+1-4四川=°，即：^--7"

a

〃”+1,l

是以首项为2,公差为1的等差数列,

—=2+(/?—1)×1=∕7+11a“=—!—

a,,"n+i

,<“1n

hn=\—an=1---------=-------

"〃〃+1/2+1

.h_2022

••2022—2023，

2022

故答案为：2023-

、T.

20.已知数列｛q,｝满足4=1,%=2吗=3，%+3一∕∈N,下列说法正确的是.

4

①q=9；

②力J∈N*M"都是整数;

③a2k-∖`¾>a24+l成等差数列；

④37:eN*,eN,,a,,+an+2=latn+t.

【答案】②③

/3=4±必必+7得

【分析】根据％=1,%=2,a3=3,an+i=4"%理—直接求得4，由递推公式6

(““+","2)①心+”“"令23

-)则有2=4+2,

4+14+3〃〃+1

从而的出数列｛2｝的通项，从而可判断②③④的对错.

【解析】解：%=至9

=13,故①错误;

4

E∖∕1-"〃+l"〃+2+7

因为4+3-------------，即―4∙+4+2=7

则⅛+4¾÷l-⅛+2¾÷3=7,

两式相减得：¾+3(¾+%+2)=%+1(4+2+%+4)，

所以(4+%+2)(4+2+为+4)

β

,,+l%+3

令〃=j

%

则有a=。,会，

又A=£L1£I=2,b2=^^-=5,

2,n=2k-l,kwN.

所以2=

5,n=2k,keN+

所以4,+2=",凡+「为，

又因4=1,生=2,%=3均为整数，

所以bneN*,α“都是整数，故②正确；

当〃为奇数时，则"+1为偶数，〃+2为奇数，

岁性=2,即%+*=2〜,

%+1

即<⅛τ+%τ=2%l,所以Gz，%M成等差数列，故③正确;

[2,n=2k-↑,k≡N

因为4=hMz+，

[5,n=2k,kQN+

所以当"为奇数时，%+见+2=2。向，

所以当〃为偶数时，an+all+2=5¾+∣,

故④错误.

故答案为：②③.

四、解答题

21.在等差数列｛4｝中，cι1+«5=24,<7=66.

⑴求由冈的值；

(2)2022是否为数列｛%｝中的项？若是，则为第几项？

【答案】⑴8082

(2)2022是数列｛4｝中的第506项

【分析】(1)根据条件求出数列｛““｝的通项公式即可求解;

(2)令4=4"-2=2022可求解.

(I)

由题意，设等差数列｛4｝的首项为4,公差为d.

f0+J+a+4d=24,[a=2,

⅛a+¾=24,α=66,BPf1J解得二x

217[6+16d=66,[d=4.

所以，数列｛4｝的通项公式为％=2+4(〃-1)=4〃-2.

所以为π∣=4x2021-2=8082.

(2)

令为=4〃-2=2022,解得”=506,所以，2022是数列｛q｝中的第506项.

22.在等差数列｛4｝中，

(1)已知々3=31,%=76,求%和公差4；

(2)已知/=4,¾=-4,求《2；

(3)已知%=7,a6=16,求%;

(4)已知4+4=12,a4=79求为.

【答案】(1)4=掾17，1=三45；

⑵-12

(3)28

(4)17.

【分析】利用等差数列的定义即可.

(1)

454517

%-q=4d=45,J=—,6zl=a3-2d=3∖-2×-=-

(2)

¾-a4=4d=-8,d=—2,cιn=4+4d=-12；

⑶

a

(,-a3=3d=9,d=3,«]0=⅝+4t∕=28；

(4)

al+a6=2al+5√=12,ali=at+3d=1,上两式联立：d=2,4∣=1,a9=al+8<∕=17；

1745

故答案为：fl∣=—■>d=—>-12,28»17.

23.已知b是4,c的等差中项，且lg(α+l),Ige-I),lg(c7)成等差数列，同时Z+%+c=15,求C的值.

【答案】1,5,9或7,5,3

【分析】先由人是a,c的等差中项，且α+6+c=15可求出8和α+c,设a,h,C的公差为d,则

a=b-d,c=b+d,再由lg(α+l),IgR—l),Ig(CT)成等差数列可得21g伍—1)=Ig(CT)+lg(α+l),将

。冲一^工二人+”代入可以求出入即可以求出α,6,c三个数.

【解析】b是a，。的等差中项.∙.2⅛=α+cα+b+c=15.∙.3b=15.∙.b=5

设等差数列4,b,C的公差为"，则α=5-d,c=5+d,lg(α+l),Ige-D,lg(c-1)成等差数列

/.21g(Z>-l)=lg(α÷l)+lg(c-l).-.21g(5-l)=lg(5-J+l)+lg(5+J-l)=21g4=lg(6-d)+lg(4+d)

.∙.lg42=lg[(6-<√)∙(4+J)].∙.42=(6-√)-(4+rf)d2-2d-8=0:.4=4或1=-2

当d=4时,α,6,c三个数分别为1,5,9；当"=—2时，。力,c三个数分别为7,5,3

所以","c三个数分别为1,5,9或7,5,3

24.无穷数列｛《,｝满足：4川4,+34川+勺+4=0且4#-2.

(1)求证：为等差数列；

l¾+2J

(2)若见⑼为数列｛4｝中的最小项，求q的取值范围.

、

【答案】(1)证明见解析；(2)卜(4病041,一4赤043

【分析】(1)利用递推公式证得一三--三=1，根据等差数列的定义即可得出结论;

⅛÷ι+2aιl+2

(2)由于数列是以1为公差的等差数列，所以若一二>0,则数列是递增数列，所以数

l¾+2j4+2[α,,+2j

,、+2020<0

1ʌ1〃[+2

列一^无最大项，因此｛(%｝中无最小项，故一二<0,然后结合题意即可得到｛1,解不

IeJ4+2，+2021>0

4+2

等式组即可求出结果.

【解析】(1)因为4+14+3。川+4+4=0,则a“+M“=-3a“+|-a,,-4

11an-an.,

+2

¾+ι。"+2(⅛+ι+2)(。“+2)

¾÷.¾+2(¾+¾÷ι)+4

%+1-⅛-4+2(¾+¾+l)+4

-a.

故数列是以1为公差的等差数列;

U+2J

（2）若W＞°,则数列，∕gj＞是递增数列，所以数列＜7匕,无最大项，因此｛q｝中无最小项，故

力＜。，又数列［力］是递增数列，且明为数列⑷中的最小项’所以已是数列［黑］中的

最大负项，从而有，<a.<-

20202021

-------+2021>O

4+2

.故外的取值氾围为卜40丽41'一4获043JA∙

25.已知数列｛4｝满足4=—5,+2q_］=（—2）—3（"≥2且∈N*）.

⑴求〃2，%的值；

（2）设H=胃1,是否存在实数，，使得｛〃｝是等差数列？若存在，求出2的值，否则，说明理由.

【答案】⑴%=11，%=一33

（2）存在4=1,使得出｝是等差数列

【分析】（1）分别令"=2和〃=3,利用递推公式进行求解：

（2）假设存在实数2,使得也｝是等差数列，先分别求出数列出｝的前三项，利用24=々+4求出2=1,再

利用等差数列的定义进行证明.

(1)

解：令〃=2,得%+2al=(-2)--3,

即/TO=I,所以“2=11；

令〃=3,得％+2/=(-2)3-3,

即生+22=-ll,所以为=-33；

⑵

解：假设存在实数4,使得｛〃｝是等差数列,

因为仇=

(-2)"

q+4—_5+λ,,凡+4_11+4

所以4=ΞΓ

72)一_~

q+2__33+Λ

4

7Ξ2)Γ≡8-

若也｝是等差数列，则2%=A+4,

,11+A-5+λ-33+2

贝πJI--------=--------+----------

2-2-8

解得4=1,此时包=｝［；

LZ)

.,G÷16ZI+1

则当“22时，2―2T=有7一式尸

二O+1I2%+20+2%+3(-2)"二］

(-2)wH)"(-2)"(一2)"

所以存在於1,使得也｝是等差数列.

26.已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，4=6-4，a；=4%

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设数列｛〃｝满足；bn=(an+l)(an+3),请问是否存在正整数〃?，使得超+8=%2-”用成立？若存在,

请求出正整数，〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)4=2〃一l("eN)

(2)存在，m=2

【分析】(1)根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解；

(2)根据已知条件及(1)的结论，得出数列｛〃,｝的通项公式，假设存在正整数加，使得或+8="“2-勿“」

成立，由此列出关于用的方程即可求解.

(1)

,

.,4=6—4,即q+%=6,2a2=6,.*.a2=3.

设等差数列｛%｝的公差为d,(IKO)则

a0

^."«5=2'∣4