四川省成都市少城中学高一数学文下学期期末试卷含解析

四川省成都市少城中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数参考答案：A【考点】二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式与诱导公式可得f（x）=sin2x，即可判断出．【解答】解：f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=sin2x，∴T==π，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣sin2x．∴函数f（x）是周期为π的奇函数．故选：A．2.设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(

)A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】常规题型．【分析】用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．【解答】解：图中阴影部分表示N∩（CUM），∵M={|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，∴CUM={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩（CUM）={﹣2≤x＜1}．故选A【点评】本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集．3.已知实数，函数若，则a的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D4.数列{}定义如下:=1,当时,,若,则的值为（）A． B． C． D．

参考答案：C5.已知等差数列中，前15项之和为，则等于（）A．

B．6

C．12

D．参考答案：B略6.如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积【详解】圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。【点睛】本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长。7.设函数时，y的值有正有负，则实数a的范围是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C8.函数的零点所在的大致区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（

）A． B．C． D．参考答案：C略10.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．【分析】V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度．【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；V圆锥=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圆锥=πr3，∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在ΔABC中，已知，，则ΔABC的面积为:_________.

参考答案：12.已知，则____________.参考答案：略13.如果且，那么＝参考答案：14.则=_________.参考答案：略15.若正实数x，y满足，则的最小值为______．参考答案：【分析】由得，将转化为，整理，利用基本不等式即可求解。【详解】因为，所以.所以当且仅当，即：时，等号成立所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。16.方程的实数解的个数为

▲

．参考答案：个

略17.已知直线，若a、b、c成等差数列，则当点P(2,1)到直线l的距离最大时，直线l的斜率是____.参考答案：【分析】由已知得直线过定点，根据点到直线距离定义求解.【详解】根据题意得即，直线的方程为，可化为，所以直线过点，若点到直线的距离最大，则直线，所以，解得.【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．（Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）4（cm＞0），求数列的前n项和Sn．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式成立的所有N的值．参考答案：考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，ann中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可；（Ⅱ）由d1=1，d2=3，代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m2个奇数的和，又前m组中所有数之和为（cm）4（cm＞0），即可得到cm=m，代入中确定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n项和Sn，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n项和Sn的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到dn和Sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数．解答：解：（Ⅰ）由题意知amn=1+（n﹣1）dm．则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，ann﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（dn﹣dn﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=ann﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=dn﹣dn﹣1，即dn是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，dm=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则dm=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．（4分）（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，dm=2m﹣1（m∈N*）．数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），．按分组规律，第m组中有2m﹣1个奇数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个奇数．注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k﹣1）=k2，所以前m2个奇数的和为（m2）2=m4．即前m组中所有数之和为m4，所以（cm）4=m4．因为cm＞0，所以cm=m，从而．所以Sn=1?2+3?22+5?23+7?24+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n.2Sn=1?22+3?23+5?24+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1．①故2Sn=2+2?22+2?23+2?24+…+2?2n﹣（2n﹣1）?2n+1=2（2+22+23+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）?2n+1==（3﹣2n）2n+1﹣6．②②﹣①得：Sn=（2n﹣3）2n+1+6．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得dn=2n﹣1（n∈N*），Sn=（2n﹣3）2n+1+6（n∈N*）．故不等式，即（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）．考虑函数f（n）=（2n﹣3）2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．当n=1，2，3，4，5时，都有f（n）＜0，即（2n﹣3）2n+1＜50（2n﹣1）．而f（6）=9（128﹣50）﹣100=602＞0，注意到当n≥6时，f（n）单调递增，故有f（n）＞0．因此当n≥6时，（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）成立，即成立．所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，…，20．（14分）点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．19.已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠?，A∩C=?，求实数m的值．参考答案：【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，C，以及A∩B≠?，A∩C=?，确定出m的值即可．【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，即B={2，3}，∵A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，C={2，﹣4}，且A∩B≠?，A∩C=?，∴将x=3代入集合A中方程得：m2﹣2m﹣10=0，即（m﹣5）（m+2）=0，解得：m=5或m=﹣2，当m=5时，A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，不合题意，舍去；当m=﹣2时，A={x|x2+2x﹣15=0}={3，﹣5}，满足题意，则m的值为﹣2．20.求下列各式的值：（1）（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25参考答案：解析：（1）原式=

=．（2）原式=lg2(lg2+lg50)+2lg5=lg2·lg100+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2lg10=221.已知，，且，．（1）求与；（2）若，，求向量与的夹角的大小．参考答案：【考点】平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）由，．可得36﹣3x=0，36+xy=0，解出即可得出．（2）=（﹣3，﹣4），=（7，1），利用=即可得出．【解答】解：（1）∵，．∴36﹣3x=0，12+4y=0，解得x=12，y=﹣3，∴=（9，12），=（4，﹣3）．（2）=（﹣3，﹣4），=（7，1），∴===﹣．∴向量与的夹角为．22.（本小题满分12分）2011年航空航天技术展览会在上海国际展