常微分方程 题

常微分方程 题Tag内容描述：<p>1、一阶常微分方程模型,人口模型,指数增长模型（Malthus模型）1798年Malthus提出了著名的人口指数增长模型，这个模型的基本假设是：人口的增长率为 常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。,模型的缺陷：人口爆炸,Malthus的解决办法：战争和瘟疫,模型适用于：人口增长率长期稳定不变的国家和地区,Logistic模型（阻滞增长模型）,这是一个Bernoulli方程，令，,20世纪初美国曾用这一模型预测人口，取,传染病模型,一、(SI模型)不考虑病人治愈的传染模型模型假设：为简单起见，总人数N不变,模型建立,模型检验,二、(SIS模型) 病人可以。</p><p>2、,1,拉普拉斯变换法/LaplaceTransform/,.,2,拉普拉斯变换,含义：简称拉氏变换从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换用途与优点对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。应用：求解线性微分方程在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合,.,3,拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路。</p><p>3、,1,常微分方程模型简介,.,2,目录1.人口模型(人口增长和人口控制模型)2.作战模型3.火箭发射模型,.,3,1.人口增长模型,人口问题是当今世界人们最关心的问题之一,从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明.这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现四个现代化。</p><p>4、第九章微分方程 一、教学目标和基本要求 (1)理解微分方程及其解、一般解、初始条件和特殊解的概念。 (2)掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解，可以求解齐次方程。 (3)以下方程将通过降阶方法求解： (4)了解二阶线性微分方程解的性质和解的结构定理。 (5)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解，会解一些常系数高于二阶的齐次线性微分方程。 (6)自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与。</p><p>5、常微分方程初值问题,1,一阶微分方程的初值问题,f(t,u)关于u满足Lipschitz条件,保证了方程组的初值问题有唯一解。,2,3,t0,t1,t2,tn,u(t),t,u,t1=t0+h,t2=t1+h,.ti+1=ti+h,.tn=tn-1+h,t1=t0+h,t2=t0+2*h,.ti=t0+i*h,.tn=t0+n*h,建立差分算法的两个基本的步骤：1.建立差分格。</p><p>6、第六章常微分方程初值问题的数值解法,6.1欧拉方法6.2龙格库塔方法,问题的提出,数值求解方法,6.1欧拉方法,6.1.1引言,6.1.1欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式,算法：,选择不同的数值积分公式来求近似值就得到初值问题的各种数值解法,1.欧拉公式,2.后退欧拉公式,这称为后退欧拉公式,后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。,3.梯形公式,-梯形公式也是隐式单步法公式,用梯形。</p><p>7、1,4.2常系数线性微分方程的解法,SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE,2,4.1内容回顾,解的性质与结构。,方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。,n阶齐次线性方程的所有解构成一个n维线性空间。,4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE,3,本节要求/Requirements/,熟练。</p><p>8、1,拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /,2,拉普拉斯变换,含义： 简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换 用途与优点 对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。 应用： 求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合,3,拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： 对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解,问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉。</p><p>9、3.4奇解,/Singularlysolution/,3.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,一包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族。</p><p>10、第四节二阶线性微分方程解的结构,1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,2.二阶线性非齐次微分方程解的结构,3.n阶线性微分方程解的结构,线性微分方程解的结构,1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称(2)为(1)的相对应的齐次方程。,二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构,（1）叠加原理,（2）线性无关、线性相关,（3）二阶线性齐次微分方程解的结构,（4）刘。</p><p>11、第一章绪论,函数是反映客观现实世界运动过程中量与量间的一种关系,一般用含自变量及这些自变量的函数的等式表示。但大量的稍复杂的实际问题，反映运动规律的量与量间关系不能直接给出,却较容易建立这些变量和它们导(微分)间的关系式。,参考用书,V.I.Arnold,GeometricMethodsintheTheoryofOrdinaryDifferentialEquations,SecondEdition。</p><p>12、常微分方程测试题 1 答案一、填空题（每空 5分）1 2、 z=34、5、二、计算题（每题 10分）1、这是 n=2时的伯努利不等式，令 z= ,算得代入原方程得到 ，这是线性方程，求得它的通解为 z=带回原来的变量 y，得到 = 或者 ，这就是原方程的解。此外方程还有解 y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程 的特征方程为 ，故通解为不是特征根，所以方程有形如把 代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题 15分）1、证明：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故(t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)。</p><p>13、,常微分方程课件,制作者：闫宝强，傅希林，刘衍胜，范进军，劳会学，张艳燕,.,第一章初等积方法,第五章定性与稳定性概念,第三章线性微分方程,第二章基本定理,第四章线性微分方程组,第六章一阶偏微方程初步,.,第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.,.,300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716。</p>