分部积分法

分部积分法Tag内容描述：<p>1、复习引入 （A)一.求下列不定积分： 解：（公式法） （凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则 d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得： 新课讲授 一.分部积分公式： 二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-对数函数 I-反三角函数 A-代数函数 T-三角函数 E-指数函数 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x). 使用分部积分公式，若选f(x)=u,则vg(x)注： 而v=g(x). 例题与练习 (A)例1.求下列不定积分 。</p><p>2、43 不定积积分的换换元积积分法与分部积积分法 案例研究 案例4.3.1 太阳能的能量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 某一太阳能的能量 f 相对于太阳接触的表面面积的 变化率为 且当 时， 试 求 f 的函数表达式. 分析 该问题实际上是求不定积分 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例4.3.2 天然气的产产量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 工程师们发现，一个新开。</p><p>3、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足: 1) 2) 在上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 , 因此有则 则 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 。</p><p>4、推导,一、分部积分公式,例1,定积分的分部积分法,解 原式,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解 原式,解 原式,所以,分部积分过程：,解,(4),解,(5),分部积分过程：,例2 计算,解,令,则,例3 计算,解,例4 计算,解,例5 设 求,解,例6 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>5、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,。</p><p>6、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,1,一 第一换元法-凑微分,凑微分-不换限,2,一、第二换元法-变量代换法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证:,是,的原函数 ,因此有,则,则,或,注： 换元必换限,3,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,4,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,5,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,6,例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: 方法一：记,则,即,方法二：变量代换法,7,二、定积。</p><p>7、2019/5/27,1,第三节 换元法,2019/5/27,2,2019/5/27,3,一、换元公式,2019/5/27,4,温馨提示:,换元的同时要换限,2019/5/27,5,例2 计算,解:,注意:,对应关系,换元后，积分上下限 相应改变,换元必换限,2019/5/27,6,例3 计算,解:,换元必换限,2019/5/27,7,例4 计算,解：令,2019/5/27,8,2019/5/27,9,2019/5/27,10,奇函数,例6 计算,解:,原式,偶函数,单位圆的面积,2019/5/27,11,2019/5/27,12,2019/5/27,13,2019/5/27,14,2019/5/27,15,2019/5/27,16,技巧:,定积分的换元法,小结,2019/5/27,17,二、分部积分法,乘积函数求定积分,2019/5/27,18,2019/5/27,1。</p><p>8、由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,3-2 分部积分法,补例. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,例1 求,解,例2 求,解,注：当被积函数为幂函数与对数函数的乘积时，选择对数函数为u(x),例3 求,解,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例4 求,解,移项，两端除以2最后再加上C，得,例 5 求,解,例6. 求,解: 令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,补例. 求。</p><p>9、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3。</p><p>10、第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第四章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解: 令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序。</p><p>11、5.3 定积分的换元法 和分部积分法,一、 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 三、 小结、作业,微积分基本公式,定积分法，,不定积分法,且使用方法与相应的不定积分法类似。,一、定积分的换元法,我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。,1. 第一类换元积分法（凑微分法）,设函数 在区间 上连续， 那么,例1 计算,解,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 计算,解,例5 计算,解,2. 第二类换元积分法,设函数 在区间 上连续 ，函数,满足,注意:,（1）换元前后，上限对上限、下限对下限；,（2）不引入新。</p><p>12、1,5.3 定积分的换元法和分部积分法,一 定积分的换元法,2,3,4,在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:,5,6,7,8,9,注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算.,10,例5,奇函数,偶函数,四分之一单位圆的面积,11,12,定积分的换元法小结,1. 基本换元规律与不定积分相同.,2. 定积分的换元法得到新变量的原函数后,无须回代. 但必须做到换元同时换限.,13,二 定积分的分部积分法,14,注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.,15,16,17。</p><p>13、第三章 一元函数积分学,(四),三、分部积分法,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分无法进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例5. 求积分,解,注意循环形式,总结： 对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需要与第。</p><p>14、3分部积分,2,一、基本内容 Basic contents,用换元积分法我们已解决：,问题 questions,$3分部积分,3,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,注：当求 有困难而 比较容易时，可,利用分部积分公式。,$3分部积分,4,例Example 1 求积分,解solution,设u=x,则du=dx,可验算：,问：设,则,越算越复杂,故适当选u、v很重要，否则积不出来。,$3分部积分,5,例 Example 2 求积分,解 Solution,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,令,$3分部积分,6,例Example 3 求积分,解solution 设 u=x dv=cos(3x+1)dx,则 du=dx,$3分部积分,7,例Example 4,解。</p>