高等数学第二版上

高等数学第二版上Tag内容描述：<p>1、第三节 定积分在物理上的应用,第三节 定积分在物理学上的应用,一、内容要点 定积分在变力作功、水压力等物理问题上的应用举例.,二、教学要求 会利用元素法建立如变力沿直线所做的功、水压力等物理量的积分表达式，并通过积分求得这些量的值.,三、讲授方法及板书设计 以讲解式为主较复杂例题在黑板上分析.,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的。</p><p>2、推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,6-1 多元函数,1.多元函数的概念,引例:,一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数:,在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面。</p><p>3、第一节极限的定义 第二节极限的运算 第三节函数的连续性 第二章极限与连续 一 函数的极限 二 数列的极限 三 极限的性质 四 极限分析定义 五 无穷小量 六 无穷大量 第一节极限的定义 第一节极限的定义 图 一 函数的极。</p><p>4、第一章 求（证）极限的主要方法,极限知识是微积分学和其它高等数学内容和学科的基础，是 研究导数、各种积分、级数、复变函数、积分变换，等的基 本工具，既是学习的重点、又是难点，应充分重视.,一、内容小结,二、求极限的方法,2. 利用极限的运算法则求极限；,1. 用定义证明极限式；,3 .利用极限存在准则证明极限的存在性；,4 .用夹逼定理求极限 ；,5.利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”；,6.利用两个重要的极限；,7.利用“洛必达法则”，导数定义，定积分定义等 求极限.,当,无穷小量,定义 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,。</p><p>5、第十一章 无 穷 级 数 （习题课）,10.1 敛散性判定的方法,10.1.2 正项级数收敛准则,正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列上有界. 这一准则是正项级数各种判敛法的理论基础.,10.1.3 比较判敛法,设有正项级数,:,例2 判定下列级数的敛散性,最常用来作比较的级数是等比级数qn ( q 0）,调和级数,比值判敛法 对于正项级数 如果,根值判敛法 对于正项级数 如果,例 5 判定下列级数的敛散性,10.1.4 积分判敛法,若f(x) 连续、非负、不增，则正项级数 与无穷级数,同时收敛，同时发散。.,从而当相应的无穷积分的敛散性易于判断时，可以通过积分来 判。</p><p>6、第四、五章 不定积分和定积分,（习 题 课）,不定积分方法有三种：（一）逐项积分法；（二）换元法 （三）分部积分法.若被积函数为有理函数， 三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法.,（凑微分法）,1 .积分倒代换,化为有理函数的积分,2.简单的无理函数积分,解,3. 利用积分公式,4. 对定积分利用定积分的有关性质,例 8,例 9,例 10,=,（去掉被积函数绝对值符号，利用定积分对区间可加性的性质）,5. 三角函数有理式的积分,证明：,6. 有理函数的积分,积分上限的函数 定义 设f(x)在a,b上连续，称,为积分。</p><p>7、习题习题 3.1 3/2 2 22222 22223/2 3/22/33/22/33/2 3/22/33 11 1.1212(12 )(12 ). 23 3133 2.(1). (1)2(1)2(1) 11 3.2727 (27)(27). 46 2 4. (21)(21) 3 2 1 (21)(2 3 2 xdxxdxxC x dxd xC xxx xxdxxdxxC xxdxxdx xdx ? 求下列不定积分： /23/25/3 1/ 1/1/ 2 10010099 22 2 22 1 1)(21). 5 5.(1/ ). (2)1 6 (2)(2)99(2) 1135/315 7.arctan. 353 1 (5/3) 3531 5/3 15 173/7 8. 37 737 1 3/77 1 x xx xC e dxedxeC x dxdx C xxx dxdxdx xC xxx dxdxdx xx。</p><p>8、x 的一次多项式,4-3 泰勒公式,以直代曲,若上式成立，则有,要证明上述公式成立，实际上就是要证明,证,即证明了：,即证明了：,其中,(n阶泰勒多项式),展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式,定理 1 (泰勒公式),设 y = f(x) 在 点的某个邻域内有定义，并在 点具有 n 阶导数 则在 点附近有下列展开式：,证,连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有,(*),证毕.,(*)称为n阶泰勒公式,称为皮亚诺型余项.,称为马克劳林（ Maclaurin ）公式 .,几个初等函数的马克劳林公式,例1,解,例2,解,类似可得,例3,解,或者认为展开式结束于偶数项：,例4,已知,例5,定。</p><p>9、6-8 隐函数存在定理,y=f(x)形式的函数称为显函数. 由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.,由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数,由方程组,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,1. 一个方程的情况,定理1,设 在一点 的邻域内有定义.且满足下列条件:,则在 的某个邻域 内存在一个 函数y=f(x) , 使得 且,并且 内有连续的导函数,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,两边。</p><p>10、推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,6-1 多元函数,1.多元函数的概念,引例:,一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数:,在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面。</p><p>11、2. 二阶常系数齐次方程及非齐次方程-用代数法求解,3. 高阶方程,化为关于x,p的一阶方程,化为关于y,p的一阶方程,12.1 一阶微分方程的解法,12.1.1 分离变量法,12.1.2 可化为齐次的方程的解法,解 由这方程 是x,y的一个齐次式，对这种方程令y=ux可将 方程化为变量可分离的方程,12.1.3 可化为一阶线性的方程的解法,贝努利方程容易变为线性方程,方程两边同乘x,得。</p><p>12、第一章1 4节 1 计算下列极限 7 分析 本题分子分母同时趋近于0 根据表达式的形式 考虑利用约分将趋于0的项约去 解 原式 9 分析 本题分子分母同时趋于0 但不能约分 利用复合函数求极限 通过变量替换进行求解 解一 令 解二 利用三角函数的和差化积 以及等价替换 11 应该为4 13 本题利用了分子有理化 2 计算下列极限 1 解 因为 无穷小与有界函数之积仍然为无穷小 所以 原式 0 2。</p><p>13、第十章 曲线积分与曲面积分,（习题课）,一、曲线积分的计算法,曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲 线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算， 切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二 型曲线积分与L的方向有关。,10.1 第一型曲线积分的计算。</p>