格林公式及其应用

格林公式及其应用Tag内容描述：<p>1、2,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内,3,二. 平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域 ,在D,内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,(3),(4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,4,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关.,证明 (1) (2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,5,(3) 在D内是某一。</p><p>2、第三节 格林公式及其应用（1）,一、区域连通性的分类 二、格林(Green)公式 三、简单应用 四、小结 思考题,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿。</p><p>3、1,10.3 格林公式及其应用,小结 思考题 作业,格林(Green)公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,全微分方程,第10章 曲线积分与曲面积分,2,1. 区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,3,定理10.4(格林公式),设闭区域D由分段光滑,的曲线L围成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有,连续偏导数,则有,2. 格林公式,其中L是 D的取正向的边界曲线.,一阶,4,当观察者沿边界行走时,(1) P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;,(2) 曲线L是封闭的。</p><p>4、1,一、几个概念,1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,单连通区域是无“洞”区域,复连通区域是有“洞”区域,第三节 格林公式及其应用,2,2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,3,二、格林公式,定理1,4,证明,若区域D满足平行于 坐标轴的直线和边界至多 交于两点.,5,同理可证,两式相加得,B,A,6,三、简单应用,1. 简化曲线积分,所以由格林公式,7,例2. 计算,其中L为上半圆周,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添。</p><p>5、2019/5/27,1,第三节 格林公式及其应用,一 问题的提出,二 区域的连通性及分类,三 格林（Green）公式,四 格林（Green）公式的简单应用,五 曲线积分与路径的无关,六 二元函数的全微分求积,七 小结与思考判断题,2019/5/27,2,一 问题的提出,在一元函数的微积分中我们通过Newton-lebiniz公式可以把定积分和原函数联系起来.在曲线积分中，我们是否有相似的联系呢？下面的Green公式告诉我们，在曲线积分中，也有相似的联系。即二重积分与曲线积分的联系，这就是我们所要讲授的Green公式。,2019/5/27,3,二 区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内。</p><p>6、第三节 格林公式及其应用(2),一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 四、小结,例. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,一、曲线积分与路径无关的定义:,B,A,如果在区域G内有,如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等。</p><p>7、第二节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第八章,（一）、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,（二）、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,（三）、简单应用,2. 简化二重积分,（,例3 计算,解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。,从 到,（,解,(注。</p><p>8、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2) 。</p><p>9、8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分 与路径无关的条件,单连通与多连通区域,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗 地说，平面单连通区域是不含有“洞”（包括点“洞”）的区 域,复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域. 例如，平面上的圆形区域, 上半平面 都 是单连通域.,定义 规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.如图,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 。</p><p>10、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,9.7 格林公式及其应用,一、格林公式,单连通与复连通区域,区域的边界曲线的方向,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向,单连通区域,复连通区域,设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域,定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有,其中L是D的取正向的边界曲线 ,格林公式,应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿。</p><p>11、单连通与多连通区域,区域的边界曲线的方向,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向，记作,单连通区域,多连通区域,设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为多连通区域,8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分与路径无关的条件,定理1,证明(2),两式相加得,同理可证,G,F,证明(3),由(2)知,注意： 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向,L,1. 简化曲线积分,2. 计算二重积分,3. 计算平面面积,解,2、平面上曲线积。</p><p>12、2 格林公式及其应用,格林(Green)公式 平均值定理 极值原理 第一边值问题解的唯一性及稳定性,1.格林公式,1) 格林公式的推导,高斯公式：,格林第二公式：,其中 是 的单位外法向量。,格林第一公式：,2)调和函数的积分表达式,(2.5),从而有：,基本积分公式,调和函数基本积分公式,(2.8),(2.7),补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的基本积分公式,3) 泊松方程,4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件,2.平均值定理,3. 极值原理,4.第一边值问题解的唯一性和稳定性。</p><p>13、1,第三节 格林公式及其应用,2,3,(4)+(5) 得 Green 公式. 证毕.,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,小结：,25,26,27,28。</p><p>14、2,一、几个概念,1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,单连通区域是无“洞”区域,复连通区域是有“洞”区域,3,2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,4,二、格林公式,定理1,5,证明,6,同理可证,两式相加得,7,三、简单应用,1. 简化曲线积分,所以由格林公式,8,例2. 计算,其中L为上半圆周,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段, 它与L 所围区域为D , 则,原式,9,A,B,10,A,B,11,解,12,13,14,2. 简化二重。</p><p>15、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将。</p><p>16、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,10.3 格林公式及其应用,一、格林公式,单连通与复连通区域,单连通区域,复连通区域,设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域,边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 。</p><p>17、第二节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第八章,（一）、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,（二）、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,（三）、简单应用,2. 简化二重积分,（,例3 计算,解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。,从 到,（,解,(注。</p><p>18、2,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内,3,二. 平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域 ,在D,内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,(3),(4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,4,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关.,证明 (1) (2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,5,(3) 在D内是某一。</p><p>19、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左（P141）,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,例+.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证。</p>