换元法与分部积分法

换元法与分部积分法Tag内容描述：<p>1、定积分之换元法 与分部积分法 考察定积分 记变上限定积分 积分上限函数及其导数 变下限定积分 变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分 (x)和(x)是a,b上的连续连续 函数。 定理 如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则变上限定积分 在a,b上可导导，且它的导导数是 即(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。 证 由积分中值定理得 例1 求下列函数的导数 解 解 解 （1 ） （2） 例1 求下列函数的导数 解 （3 ） 解 （4 ） 如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S=S(tS(t) )，则在时间，则在时间 段段TT 1 1 ,T,T 2 2 。</p><p>2、第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、分部积分法 三、小结 定理 一、定积分的换元法 证 应用换元公式时应注意: （1） （2） 例1 计算 解令 例2 计算 解 例3 计算 解原式 例4 计算 解令 原式 证 奇函数 例6 计算 解原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 （2）设 定积分的分部积分公式 推导 二、分部积分公式 例8 计算 解令 则 例9 计算 解 例10 计算 解 例11 设 求 解 例12 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积。</p><p>3、定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的1定积分换元法定理 假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有(1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足: 1) 2) 在上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 , 因此有则 则 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 。</p><p>5、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足: 1) 2) 在上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 , 因此有则 则 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 。</p><p>6、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,1,一 第一换元法-凑微分,凑微分-不换限,2,一、第二换元法-变量代换法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证:,是,的原函数 ,因此有,则,则,或,注： 换元必换限,3,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,4,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,5,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,6,例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: 方法一：记,则,即,方法二：变量代换法,7,二、定积。</p><p>7、1,5.3 换元积分法和分部积分法,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法,2,5.3.1 定积分的换元积分法,定理5.3.1,(1),则有,例,(2),且,3,证,4,5,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,6,例1.,解 设,7,解 设,例2 计算,8,例3 计算,解,设,注意,(2).换元的同时,必须换积分限;,(3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.,9,证,例4.证明若,为偶函数,则有,所以,例如,则,10,例5.设 函数,计算,解 设,11,例6 证明,证明,12,注意：,13,求,解 在0,1上，对等式两边积分，有,所以,从而,14,5.3.2 定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,证,定积分的分部。</p><p>8、2 换元积分法与分部积分法,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,三、分部积分法,不定积分是求导运算的逆运算,相应,部积分法.,求导公式,不定积分有换元积分法和分,于复合函数求导数的链式法则和乘法,返回,定理8.4 (第一换元积分法),则,证,一、第一换元积分法,所以(1)式成立.,第一换元积分法亦称为凑微分法, 即,常见的凑微分形式有,例1,解,例2,解,例3,解,解,例5,解,例4,(解法二),解 (解法一),例6,定理8.5 (第二换元积分法),上可导,证,二、第二换元积分法,等类型的不定积分上, 对此可分别设,于是,第二类换元积分法常用在,所以(2)式成立.,。</p><p>9、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3。</p><p>10、1,5.3 换元积分法和分部积分法,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法,2,5.3.1 定积分的换元积分法,定理5.3.1,(1),则有,例,(2),且,3,例1.,解 设,4,解 设,例2 计算,5,例3 计算,解,设,注意,(2).换元的同时,必须换积分限;,(3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.,6,证,例4.证明若,为偶函数,则有,所以,例如,则,7,例5.设 函数,计算,解 设,8,5.3.2 定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,证,定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同 .,定理,9,例1. 计算,解,例2. 计算,解 令,10,例3. 计算,解。</p><p>11、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,设函数,所证等式两边被积函数都连续,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1 计算,解 令,则, 原式 =,且,例2 计算,解 令,则, 原式 =,且,在该题解题过程中，若不写出新变量，则上下限也不要变更：。</p><p>12、第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、换元积分法 二、分部积分法,定理5.6 设函数f(x)在区间a,b上连续，若 满足下列条件：,一、换元积分法,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 的值在区间a,b ，且 连续,则,证明,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,例2 求,解,方法二,例3 求,解,例4 求,例5,。</p><p>13、4 3 换元积分法和分部积分法 课题 换元积分法和分部积分法 目的要求 掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法 会用第二类换元法 限于三角置换 幂置换 会查积分表 重点 不定积分的第一类换元法和分部积分法 难点 不。</p><p>14、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区。</p>