近世代数课件

近世代数课件Tag内容描述：<p>1、LOGO 第二章 环 论 *数学与计算科学学院 目 录 多项式环 2 环的概念 1 理想与商环 3 环的同态 4 交换环 5 整环的因子分解 6 唯一分解环上的多项式环 7 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 环的概念 Date数学与计算科学学院Company Logo 1 。</p><p>2、LOGO 第二章 环 论 *数学与计算科学学院 目 录 环的概念 1 理想与商环 3 多项式环 2 环的同态 4 交换环 5 整环的因子分解 6 唯一分解环上的多项式环 7 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院Company Logo 3 理想与商环 Date数学与计算科学学院C。</p><p>3、7 理想 7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想 7.1 定义及例子 在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （） （） (强闭合性) 注1：理想一定是一个子环. 由（），一个理想 是一个加群，由于（）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 子环。但（）不仅要求 的两个元的乘积必须 在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 任意元的乘积都必须在 。</p><p>4、4. 欧氏环 3.1 定义及例 3.2 主要结论 3.3 两个重要唯一分解环 3.4 小结 3.1 定义 在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作 用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环. 因此, 需要定义可以做“带余除法”的环. 定义 一个整环R叫做一个欧氏环，假如 （）存在一个映射 (非零元所作成的集合) （）给定了 的一个不等于零的元a， 的任何元 b 都可 以写成 的形式，这里: 或是 例1 整数环是一个欧氏。因为： 是一个适合条件（）的映射。给了整数 ，任何整数 b是可以写成 的形式，这里 。 3.2 主要结论 定理 1 任何欧氏R。</p><p>5、1. 素元、唯一分解 1.1整除及其性质 1.2单位与相伴元 1.3真因子 1.4素元 1.5唯一分解 1.1整除及其性质 要在一个整环里讨论因子分解，我们首 先需要把整数环的整除以及素数两个概念 推广到一般整环里去。 定义1 我们说，整环 的一个元 可以被 的元b 整除，假如在 里找得出元c来，使得 假如 能被b整除，我们说b是 的因子，并且用符号 来表示。b不能整除 ，我们用符号 来表示。 整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全 一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来. 例1 表达“ ”正确吗？ (2) , (3) , (1) (4) 任一个元素整除0, 特别地, 0整。</p><p>6、内容提要: 6.1 多项式环 6.2 一元多项式环 6.3 未定元的存在性 6.4 多元多项式环 6 多项式环 我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊 的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环 ，并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为 整数环. 6.1 多项式环 的多项式 在 里取出一个元 来，那么 有意义，是 的一个元。 定义1 一个可以写成 形式 的元叫做R上 的一个多项式。 叫做多项 式的系数。 注1：多项式常用 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不 定义次数. 原因在什么地。</p><p>7、子群 8.1定义与例 8.2 等价条件 8.3 生成子群 8.4 子群的运算 8.1定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利 用 的乘法可以把 的两个元相乘对于这个乘法 来说， 很可能也作成一个群 定义 一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子 群，假如 对于 的乘法来说作成一个群, 用符号 表示 例 给了一个任意群 ， 至少有两个子群： ； 只包含单位元 的子集 例 ， ， 那么 是 的一个子群 因为： 对于 的乘法来说是闭的， ， ， ， ； 结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对； ； ， 更多的例子 注。</p><p>8、2019/3/30,数学与计算科学学院,1,1.1 等价关系与集合的分类,等价关系 集合的分类 集合的等价 关系与分类,2019/3/30,数学与计算科学学院,2,一、等价关系,元素的一个条件如果对 中任意一个有序元素对,的一个关系(relation)如果 与 满足条件 ，则称,与 有关系 ，记作 ；否则 称 与无关系 关,系 也称为二元关系,，我们总能确定 与 是否满足条件 ，就称 是,定义1.1.1 设 是一个非空集合, 是关于 的,2019/3/30,数学与计算科学学院,3,例1 设 是一个非空集合， 的所有子集组成的,集合记为 因为对 的任意两个子集 ， ，,或 有且仅有一个成立，所以。</p><p>9、3. 主理想环,3.1 定义 3.2 两个有趣的引理 3.3主要定理,要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义里的条件（），（）或是（），2，定理2里的条件（），（）能否被满足，一般是非常困难的。以下我们要认识几种特殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题时可以有一点帮助。,3.1 定义,第一种是主理想环。,定义 一个环 叫做一个主理想环，假如 的没个理想都是主理想。,3.2 两个有趣的引理,本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。这两个引理本身也是很重要。,引理 。</p><p>10、2019/5/1,近世代数,第二章 群论 11 图形的对称变换群、群的应用,2019/5/1,一、图形的对称变换群,定义1: 使图形不变形地变到与它重合的变 换称为这个图形的对称变换.,定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘 法构成群，称为这个图形的对称变换群.,2019/5/1,例 1 正三角形的对称变换群.,设正三角形的三个顶点分别为1、 2、 3. 显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换. 反之， 由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用,表示正三角形的对称变换群.,2019/5/1,其中(1)为恒等。</p><p>11、2019/5/1,数学与计算科学学院,第一章 群 论,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,目 录,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,3 子 群,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,3 子 群,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,3 子 群,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,3 子 群,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,3 子 群,2019/5/1www.themegallery.com,数学与计算科学学院Compan。</p><p>12、2019/5/15,数学与计算科学学院,第一章 群 论,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,目 录,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,1 代数运算,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,1 代数运算,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,1 代数运算,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,1 代数运算,2019/5/15www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,1 代数运算,2019/5/15www.themegallery.com,。</p><p>13、2019/5/15,近世代数,第二章 群论 5 变换群,2019/5/15,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系 的下面三个问题：存在问题；数量问题以及 结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同 构的代数体系的数量，因为同构的代数体系 抽象地看可以认为是相同的代数体系。,本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变 换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研 究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理 论上知道凯莱定理的重要性。,2019/5/15,一、集合的变换和变换乘法,1 变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换.,2 变换集合：由,的全体变换做。</p><p>14、2019/5/15,近世代数,第二章 群论 2元素的阶,2019/5/15,元素的指数,有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设,为正整数, 则规定:,显然有，,，其中,为任意整数.,2019/5/15,定义1,的最小正整数,；若不存在这样的,显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶,为无限.,都大于1，,2019/5/15,例1,关于数的普通乘法做成,4次单位根群.,2019/5/15,例2,正有理数乘群,单位元的阶是1，,其他元的阶均为无限.,例3 非零有理数乘群,1的阶是1，,-1的阶是2，,其余元的阶均为无限.,2019/5/15,定理1,有限群,中每个元素的阶均有限.,，在,中必有相等的. 设,则,，从而阶有。</p><p>15、2019/6/5,近世代数,第四章 整环里的因子分解 2 主理想整环、欧式环,2019/6/5,一、主理想整环,定义1：,引理1：假定R是一个主理想环，若在序列,如果整环R的每一个理想都是一个,称其为主理想环.,主理想，,引理2：假定R是一个主理想环，那么I的,a1,a2,a3,(aiR)里每一个元是前面一个的,真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.,定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环.,一个不可约元P生成一个最大理想.,2019/6/5,二、欧式环,定义2 设,为整环,为,到,的映射. 如果,满足:任给,存在,使得,这里,则称,关于,做成一个欧氏环.,例1,是欧氏环.,证明：,且,。</p><p>16、2019/6/5,数学与计算科学学院,第一章 群 论,2019/6/5,数学与计算科学学院,目 录,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计算科学学院,4 循环群,2019/6/5,数学与计。</p><p>17、2019/6/5,数学与计算科学学院,第二章 环 论,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,目 录,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,2 多项式环,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,2 多项式环,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,2 多项式环,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,2 多项式环,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计算科学学院Company Logo,2 多项式环,2019/6/5www.themegallery.com,数学与计。</p>