计算二重积分

计算二重积分Tag内容描述：<p>1、第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法（2） 第八章 复习：一、利用直角坐标计算二重积分 在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积可以近似地 及射线 =常数, 分划区域D 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 看作是一个小长方形的面积 对应有在内取点 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 。</p><p>2、习题课 二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是： 作出积分区域的草图 选择适当的坐标系 选定积分次序，定出积分限 1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑 一、主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2。关于积分次序的选择 选序原则能积分，少分片，计算简 3。关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形 看图定限 穿越法定限 和不等式定限 先选序，后定限 直角坐标系 。先 y 后。</p><p>3、第三节 三重积分的计算 一、利用直角坐标系 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 1 2 3 4 5 6 7 方法2. 截面法 (“先二后一”) 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 9 10 11 12 二、三重积分换元 13 14 15 18 19 20 21 22 23 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： 24 25 26 27 28 29 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三、小结 30 1. 设由锥面和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 31 2. 计算 其。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法 目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 一、利用直角坐标计算二重积分 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 目录 上页 下页 。</p><p>5、第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型。</p><p>6、利用极坐标计算二重积分 将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽） 则 面积元素 扇形 弧长 径向 宽度 则 二重积分极坐标表达式 一、极坐标系下二重积分表达式 二、极坐标下二重积分化为二次积分 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 小结 一、极坐标计算二重积分的步骤： （1）区域D表达为极坐标范围 （2）直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分 （3）极坐标系下二重积分化为极坐标系下二次积分 。</p><p>7、第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.,那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:,如果积分区域为：,X型,X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、,（1）X-型域,（2）Y-型域：,Y型,Y型区。</p><p>8、应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,基本思路：化为定积分,二重积分的计算,1. 直角坐标系下的计算法,(1) X型积分区域D:,1(x)y2(x) , a xb,特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,A( x),后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。,D是X型区域，二重积分化为先对y， 后对x的二次积分。,关键：确定各积分变量的积分限。,例1,其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.,解: D为X型区域,(2) Y型积分区域D：,1(y)x2(y) , c yd,后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的。</p><p>9、2019/5/16,同济版高等数学课件,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,2019/5/16,同济版高等数学课件,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,2019/5/16,同济版高等数学课件,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,2019/5/16,同济版高等数学课件,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序。</p><p>10、6.2 二重积分的计算,一、二重积分的几何意义,前面我们已经知道：面密度为f (x,y)的平面簿片,的质量可以用二重积分表示为：,因为被积函数z=f (x,y)在几何上表示一空间曲面，假定,z=f (x,y) 0且在D上连续，下面我们将说明二重,D为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于z,轴的柱面为侧面，以曲面,的体积 .这样的空间立体,z=f(x,y)为顶的一空间立体,称为曲顶柱体.,分割,求曲顶柱体的体积 .的,通过分割、作乘积、,求和、取极限，,可得曲顶柱体的体积,就是曲顶柱体的体积.,在xoy平面的下方，二重积分的绝对值,是负的.,这些部分区域上曲顶柱体体。</p><p>11、一、三重积分的定义,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,得,注意,解,解,如图，,解,解,原式,解,如图,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,思考题,选择题:,练 习 题,练习题答案。</p><p>12、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区。</p><p>13、15.为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,将,变换到极坐标系(r,),0,D,用坐标线 =常数；r =常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,.,极坐标系下的面积元素,16. 利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,极点不在区域 D 的内部,r,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤： 1 从D的图形找出 r, 上。</p><p>14、第二节,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,作草图、选择类型、确定上下限-,后积先定限、限内化条线,例2. 计。</p><p>15、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>16、重积分,第二节 二重积分的计算方法,第二节 二重积分的计算方法,一.在直角坐标系中的计算方法,在直角坐标系中,用平行于坐标轴的直线将积分区域D分成 n份小矩形,可知:,利用几何意义-曲顶柱体的体积 研究其计算方法:,将曲顶柱体看作已知平行截面面积的立体,利用定积分计算.,化成两次定积分,1.设,X型域,先对y后对x的二次积分,在D内任取一点x,作平行于 yoz 面 的截面.,曲边梯形,A(x),2.设,Y型域,同理可得:,先对x后对y的二次积分,注:(1).如果D 既是X 型域又是Y 型域,则,(2).如果D 既不是X 型域又不是Y 型域,则用平行于坐标轴的 直线将D 分成若干。</p><p>17、7.2.2 利用极坐标计算二重积分,Double integrals in polar coordinates,直角坐标,极坐标,圆,复杂,简单,直角坐标,极坐标,圆,或,直角坐标,极坐标,圆,或,直角坐标,极坐标,直线,直角坐标,极坐标,直线,并不方便,直角坐标,极坐标,直线,也不方便,直角坐标,极坐标,圆域D：,极坐标系中的矩形,老师：我怎么看它都不像矩形？,直角坐标,极坐标,上半圆域 D：,极坐标系中的矩形,直角坐标,极坐标,圆域 D：,直角坐标,极坐标,圆域 D：,直角坐标,极坐标,圆环域D：,极坐标系中的矩形,极坐标中的面积元素,设有区域：,一族射线,一族同心圆,极坐标下的面积元素,。</p><p>18、1,四、二重积分的计算,1定理1 若函数 在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,2,证明,设区间 与 的分点分别是,这个分法记为 ，把闭矩形域R分成,个小闭矩形，小闭矩形记为,设,有,3,一元函数 在 可积，有,将不等式对 相加，有,其中,4,此不等式乘以,再对 相加，,有,即,由函数 在R可积，有,5,若函数 在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,6,2推论1 若函数 在a,b可积，函数,在c,d可积，则乘积函数,在闭矩形域,也可积，且,7,证明,将函数 都看作二元函数,在R上可积，乘积 也在R可积,则,8,例 计算二重积分 ， 其中,例 计。</p><p>19、第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.,那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:,如果积分区域为：,X型,X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、,（1）X-型域,（2）Y-型域：,Y型,Y型区。</p>