矩阵的对角化

矩阵的对角化Tag内容描述：<p>1、一、 相似矩阵及其性质 4.3相似矩阵与方阵的对角化 1. 相似矩阵有相同的秩。 2. 相似矩阵的行列式相等。 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 相似矩阵的性质： 矩阵的相似关系是一种等价关系！ 4. 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 证明 必要性： 二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应 充分性： 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如。</p><p>2、5.2 矩阵的相似对角化,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,定义,对于 n 阶矩阵 A 和 B ，,则称 A 与 B 相似，,称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。,称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。,记为,若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得,或者称 A 相似于 B，,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,2. 相似矩阵的性质,定理,若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,证明,因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得,即 A 与 B 有相同的特征多项式。,从而 A 与 B 有相同的特征值。,故,一、相似矩阵。</p><p>3、第四章 矩阵的对角化,相似矩阵 特征值与特征向量 矩阵可对角化的条件 实对称矩阵 若尔当标准形介绍,1 相似矩阵,相似矩阵的定义 相似矩阵的性质,相似矩阵的定义,定义1: 设 A， B 是两个 n 阶方阵， 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P， 使得 则称矩阵A 相似于矩阵B.,相似矩阵的性质,反身性: 矩阵 A与自己相似 对称性: A相似于 B, 则B也相似于 A 传递性: A相似于B, B相似于C, 则A相 似于 C 若A相似于B, 则它们的行列式相等 如果 A可逆, 且A相似于B, 则B可逆, 它们的逆 也相似.,2特征值与特征向量,矩阵特征值、特征向量的定义 特征值、特征向量的。</p><p>4、1,一. 矩阵的特征值和特征向量,二. 相似矩阵和矩阵对角化,三. 向量的内积和施密特正交化,四. 实对称矩阵的对角化,第四章 矩阵的对角化,本章安排,2,第一节 矩阵的特征值和特征向量,一. 特征值与特征向量的概念,二. 特征值与特征向量的性质,三. 特征值与特征向量的求法,四. 小结 思考题,3,一. 特征值与特征向量的概念,使得,注：,是方阵。,（2）特征向量 是非零列向量。,4,（4）一个特征向量只能属于一个特征值。,的特征向量，即有,5,或,已知,所以齐次线性方程组( 2 )有非零解,或,定义 2,数,二. 特征值与特征向量的求法,6,称为矩阵 的特征方。</p><p>5、Chapter 4(4),实对称矩阵的对角化,教学要求：,掌握实对称矩阵的性质;,2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法.,1.实对称矩阵的特征值为实数.,Proof.,2.实对称矩阵的特征向量为实向量.,3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.,Proof.,于是,4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.,定理.,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,Proof.,故存在正交矩阵Q使,Proof.,又由A为实对称矩阵,。</p><p>6、4 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5 对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解,例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,单位化，得,单位化，得,正交化，得,于是得正交阵,例3,1. 对称矩阵的性质：,三、。</p><p>7、4.3 实对称矩阵的 对角化,一、内积的定义与性质,定义：,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,如：,性质：,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,概念：,二、向量的长度与夹角：,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别：,长度为的向量称为单位向量.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,性质：,定理：（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关.,三、正交向量组及其求法：,正交：,注。</p><p>8、第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,矩阵对角化的步骤：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相。</p><p>9、第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件,一相似的定义,设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B,记作,（A等价于B： ）,问A是否相似于B？,因为存在可逆矩阵,使得,例如 已知,取,令,已知 求一个与A相似的矩阵B,即,则,对于可逆矩阵,对于可逆矩阵,一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个,因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有,不同，则 可能不同，,但都有 ,注,2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身,，则对于任意的可逆矩阵,设,1反身性：,2对称性：,3传递性：,二相似的性质,若 则 与 的特征值相同,若两对角阵和相似,和有什么关系？。</p><p>10、第五章第二节,矩阵的相似与对角化,相似矩阵的定义及性质,定义,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系,P 可逆,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,性质3,性质2、3的逆均不真,利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式,我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,证明,用相似变换将方阵对角化,定理得证。</p><p>11、5.3 相似矩阵,一、相似矩阵的概念,二、相似矩阵的性质,三、n 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件,一、相似矩阵的概念,定义1 设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P 1 A P= B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB。称P为相似变换矩阵。,相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足 自反性： A A ， 对称性：若AB，则B A 传递性：若AB， B ，则 A ,1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即 若AB，则 |lE-A|=|lE-B|,|lE-B|,=|P-1(lE)P -P-1AP |,=|lE-P-1AP|,=|P-1(lE-A)P|,=|P-1|lE-A|P|,=|lE-A|，,二、相似矩阵。</p><p>12、第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节 矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化矩阵对角化 相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对角化问题相似矩阵和矩阵的对。</p><p>13、第5章特征值和特征向量矩阵的对角化,第三章,2,2020/5/22,定义5.1设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零n维向量x，使得Ax=x则称为A的特征值，x为A的属(对应)于特征值的特征向量。,5.1.1特征值和特征向量的基本概念,第三章,3,2020/5/22,应满足|IA|=0即是多项式det(IA)的零点。,注意:特征向量x是非零向量,是齐次线性方程组(I。</p><p>14、第四讲 矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素 乘 数与坐标向量相乘 线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积 对任何线性空间 给定基后 我们对元素进行线性变换或线。</p><p>15、第四章 矩阵的对角化 矩阵的特征值 特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用 而且在其他学科 工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用 本章主。</p><p>16、1 第四章特征值与特征向量矩阵的相似对角化 第四章 2 本章介绍矩阵的特征值 特征向量以及矩阵的对角化问题 3 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义 一 基本概念 例如 4 说明 1 特征值问题是针对方阵而言的 2 特征向量。</p><p>17、第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念 并利用它们解决矩阵的对角化问题 另外特征值理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时 都有广泛的应用 1 矩阵的特征值。</p><p>18、1,第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化,袄阻颠枕倒今旋宾篙掏秆拼山湃骋剃每摸岳序赂铜间遗圈依安南详额笛挖线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1 特征值与特征向量 相似矩阵,1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征。</p>