三重积分直角坐标系下的计算

三重积分直角坐标系下的计算Tag内容描述：<p>1、二 在直角坐标系下计算三重积分 3 4三重积分的概念及直角坐标系下的计算 一 三重积分的概念 三 小结 一 三重积分的概念 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图 二 在直角坐标系下计算三重积分 得 注意 解 解 如图 解 原式 解 如图 将 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 计算时将三重积分化为三次积分 三 小结。</p><p>2、第 l 9 卷第 5 期 云南师范大学学 V 0 l 1 9 N o 5 7 在 直 角 坐 标 系 下 三 重 积 分 计 算 法 的 探 讨 林谦 云南师范大学数学系 云南昆明 6 5 0 0 9 2 0 f 7 0 1 7 2 I 2 摘要 卜 算重积分的蓦本方法是将重积分。</p><p>3、二 在直角坐标系下计算三重积分 3 4三重积分的概念及直角坐标系下的计算 一 三重积分的概念 三 小结 一 三重积分的概念 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图 二 在直角坐标系下计算三重积分 得 注意 解 解 如图 解 原式 解 如图 将 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 计算时将三重积分化为三次积分 三 小结。</p><p>4、二重积分在直角坐标系下的计算,二、典型例题,一、二重积分计算公式,三、利用对称性简化二重积分的计算,特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相 交不多于两点.,一、二重积分计算公式,应用计算“平行截 面面积为已知的立体 体积”的方法,特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相 交不多于两点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,例 1 计算,解,解 法一 先对y后对x积分,例 2 计算,法二 先对x后对y积分,例3,解,由于 的原函数不能用初等函数 表示，故不能先对y积分,例4 计算,解,注意：在例2中，法1比法2。</p><p>5、在直角坐标系下三重积分计算法的探讨 林 谦 云南师范大学数学系 云南昆明 650092 摘 要 计算重积分的基本方法是将重积分化为累次积分进行计算 而要计算累次积分 其关键是确 定出累次积分 即单积分 的上下限 也就是。</p><p>6、2 直角坐标系下二重积分的计算 教学目的 1 熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 2 懂得用二重积分求面积及体积 教学重点 一般区域上二重积分的计算 教学难点 把二重积分化为不同次序的累次积分 一 矩形区域上二重积分的计算 即 矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分 此时 选择哪种次序就看被积函数 积分要简单 二 一般区域上二重积分的计算 1 x 型区域与y 型区域 如果积分区域为。</p><p>7、第二讲 直角坐标系下二重积分的计算,内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。,预备知识：,(1) 曲顶柱体体积：,(2)在直角坐标下，,二重积分,(3)平行截面面积为已知的立体的体积,如果积分区域为,（1）X型区域,1.对积分区域的讨论：,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为,（2）Y型区域,Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,可以用平行于坐标轴的直线,(3) 一般区域：,把 D 。</p><p>8、直角坐标系中将三重积分化为三次积分 一 化三重积分为三次积分 如图 得 是x y的函数 注意 三重积分化为三次积分的过程 得到 事实上 得到 事实上 得到 事实上 得到 解 于是 于是 得到 解 于是 解 原式 因此 二 三重积分的变量替换 解 作变换 而 所以 1 利用柱面坐标计算三重积分 规定 简单地说 柱面坐标就是 xoy面上的极坐标 z坐标 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图 三坐标面分别为。</p><p>9、第三节,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,引入：底是矩形的曲顶柱体的体积,在区间上任意取定一点 ， 作平行于yoz面的平面, 截面是一个以 区间为底, 曲线 为曲边的曲边梯形, 其面积为 任意一点处的横截面积,该曲顶柱体的体积为,根据二重积分的几何意义, 有,综上两个表达式可得,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,（2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域 ,则有,(1) X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y。</p><p>10、2019/6/21,皖西学院 数学系,1,2 直角坐标系下二重积分的计算,2019/6/21,皖西学院 数学系,2,把二重积分化为两次定积分的计算.,定理21.9,2019/6/21,皖西学院 数学系,3,2019/6/21,皖西学院 数学系,4,先对y，后对x积分,另解： 先对x，后对y积分(略).,2019/6/21,皖西学院 数学系,5,2019/6/21,皖西学院 数学系,6,2019/6/21,皖西学院 数学系,7,2019/6/21,皖西学院 数学系,8,2019/6/21,皖西学院 数学系,9,注1：复杂的区域可用横线、竖线分成若干个基本类型；,注2：既是X-型又是Y-型的区域，注意积分次序的选择. 以第一次积分计算简单为标准.,2019/。</p><p>11、2直角坐标系下二重积分的计算 教学目的与要求 1 掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式 2 了解二重积分化为累次积分公式的证明 教学重点 难点 重点 二重积分化为累次积分的方法 难点 二重。</p><p>12、9 1 2二重积分的计算 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 1 直角坐标系下二重积分的计算 X 型 X型区域的特点 穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界的交点不多于两个 积分区域表示为 Y型区域的特点 2 Y型区域 的区域 称为Y型 区域 与区域边界曲线的交点不多于二个 穿过区域内部且平行于x轴的直线 对于一般的平面区域 总可以通过适当的分割将 其分割成若干个基本区域之和 直角坐标下计算。</p><p>13、第八节 在直角坐标系下二重积分的计算 本节和下一节 我们要讨论二重积分的计算方法 其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算 转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分 本节先在直角坐标系下讨论二重积分。</p><p>14、三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,（1） X型区域上的二重积分,求二重积分,回忆： 求立体体积的“切片法”,已知： 平面截面的面积,则立体的体积为：,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,记作,二次积分,累次积分,记作,二次积分,积分顺序： 先 x 后 y,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简。</p><p>15、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,解,解,例6. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,先去掉绝对值符号，,4.,8.,解,所求立体可以看成是一个 曲顶柱体，它的曲顶为,底为,于是，,例5. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,。</p>