随机变量函数

随机变量函数Tag内容描述：<p>1、高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民 第二章 随机变量及其分布 理解随机变量的概念。 理解分布函数的概念和性质。 理解离散型随机变量及概率分布（分布列）的概念 和性质。 理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。 掌握二顶分布，泊松（Poisson）分布，正态分布 ， 了解均匀分布与指数分布。 本章学习要求： 第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布律 一、随机变量 二、离散型随机变量及其概率分布 三、随机变量的分布函数 四、离散型随机变量的。</p><p>2、第三章 随机变量与概率分布 l随机变量及其种类 l概率分布 l正态分布 l二项分布 随机变量及其种类 l随机变量（random variable） 在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量 l分类 离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值 （通常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可 取无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重 概率分布 l概率函数(probability function) 随机变量取某一特定值的概率函数（离 散型随机变量） l 概率密度函数(probability density function) 随机变量取某。</p><p>3、Chapter 6: Functions of Random Variables141 Instructors Solutions ManualChapter 6: Functions of Random Variables6.1 The distribution function of Y is , 0 y 1.a. . Thus, .b. . Thus, .c. Thus, .d.e.6.2 The distribution function of Y is , 1 y 1.a. . Thus, .b. . Thus, .c. . Thus, .6.3 The distribution function for Y is .a. . So, and.b. E(U) = 5.583.c. E(10Y 4) = 10(23/24) 4 = 5.583.6.4 The distribution function of Y is , 0 y.a.。</p><p>4、第五节 两个随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习 小结 布置作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2, ,一、 的分布,解 依题意,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊。</p><p>5、第五节 随机变量函数的分布 &习题课,一、离散型随机变量 二、连续性随机变量 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,不需要计算的另一种证法:,Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于。</p><p>6、2.5 两个随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,或,例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,故得,-2 -1 0 1 2,-1 0 1 2 3,设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，,具有可加性的两个离散分布,设 X P (1), Y P (2), 且独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p),则 X + Y P(1+ 2),X。</p><p>7、2.5 随机变量函数的分布,离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 小结 练习,问题,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,例1,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布,Y 的分布律为,解,EX,2.5.2 连续型随机变量函数的分布,若X f (x), x +, Y = g (X)为随机变量X 的函数，则可先求Y 的分布函数,然后再求Y 的密度函数,此法也叫“ 分布函数法”,1、一般方法,第一步 先求Y = 2X + 8 的分布函数,解,例2,第二步 由分布函数求概率密度.,解,例3,再由分布函数求。</p><p>8、课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第五节 二维随机变量的函数分布,3.5.1 和的分布,3.5.1.1 离散型随机变量和的分布,3.5.1.2 连续型随机变量和的分布,3.5.2 一般函数 的分布,3.5.4 最大值、最小值的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的分布?,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,。</p><p>9、1,1、一维变换,设随机变量X和Y满足 ，如果X、Y之间的关系是单调的，并且存在反函数,1.1.3 随机变量的函数变换,2,3,4,5,6,2、二维变换,7,8,9,A服从瑞利分布,10,11,12,两个互相独立随机变量之和的概率密度等于两个随机变量各自概率密度的卷积积分,13,14,概率为0.75,15,1.2 随机变量的特征函数,1.2.1 特征函数的定义与性质,对于离散随机变量有:,对于连续随机变量有:,16,17,特征函数的性质,18,19,1.2.2 特征函数与概率密度的关系,特征函数与概率密度之间的关系与傅里叶变换略有不同，指数项差一负号。,21,22,23,24,25。</p><p>10、第三节 随机变量的分布函数,一、概念的引入,需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.,分布 函数,例如,二、定义,设X 是随机变量，x为任意实数，称函数,为X 的分布函数(distribution function) 记作 X F(x) 或 FX(x),三、分布函数的性质,1 单调不减,即 若 x1 x2，则F(x1) F(x2)；,2.非负有界,F(x+0)=F(x),3.右连续,性质1-3是鉴别一个函数是否是某随机变量的 分布函数的充分必要条件.,例1 一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为2，1个标号为3, 任取1个球，以X表示取出的球的标号，求X的分布函数；并求 P2 X 3,它的图形是一条右连续。</p><p>11、2.3节(三) 相互独立的随机变量,一、两个随机变量的相互独立,1、定义,说明：,2、主要性质,例1 二维离散型随机变量 (X,Y)联合分布律、边际分布律如下表：问X、Y是否相互独立？,所以，X，Y相互独立。,所以，X，Y相互独立。,主要内容,一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 1、离散型Y=g(X)； 2、连续型Y=g(X)(重点） 二、二维 (X, Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 2、Z=X+Y的分布(重点）,第2.4节 随机变量函数的分布,问题的提出,实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.,1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S= d 2 的分布.,例如：,2。</p><p>12、4.2随机变量的函数的数学期望,一、一维随机变量函数的数学期望,例4.2设随机变量X的分布律为,解,则有,(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为,(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为f(x)，,则,则,解,例4.3设随机。</p><p>13、第五节 两个随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习 小结 布置作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1。</p>