隐函数求导公式

隐函数求导公式Tag内容描述：<p>1、隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解 令 则 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 则 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 则 思路 ： 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解令 则 整理得 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 整理得 整理得 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 二、方程组的情形 1、对于方程组 怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的。</p><p>2、第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结 一、一个方程的情形 引例:已知 确定 , 求 一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导? 隐函数的求导公式 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) ,并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 两边对 x 求导 在的某邻域内 则 前述引例: 就可确定可导函数 , 且 例1. 验证方程在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 ; 由 定理1 可知, 导的隐。</p><p>3、隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 解 令 则 解 令 则 解令 则 思路 ： 解令 则 整理得 整理得 整理得 二、方程组的情形 1、对于方程组 怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x) 若 则 怎样求两边对 x 求导 注意左边是复合函数（三个中间变量）， 同理 2 、 解1直接代入公式； 解2运用公式推导的方法 ， 将所给方程的两边对 求导并移项 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法。</p><p>4、第五节 隐函数求导公式,一 、一个方程的情形,隐函数存在定理1：,例1、,隐函数存在定理2：,例2、,例3、,例4、,例5、,二 、方程组的情形,隐函数存在定理3：,例6、,隐函数存在定理4：,例7、,练 习 题,作业 习题6-5：1（2）（4）、2（2）（4）、 3（2。</p><p>5、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结,一、一个方程的情形,引例:已知 确定 , 求,一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导?,隐函数的求导公式,解,令,则,前述引例:,就可确定可导函数 , 且,解,法一,则,令,法二 方程两边对x求导,视y为x的函数:,解,2. 推广到三元以上,解法一：用公式法,解法二：两边同时对 x (或 y )求偏导,解法三：用全微分形式不变性,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,3. 求隐函数的高阶偏导数,求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,二、方程组的情形,解1,直接代入公式.,解2,运用公式推导。</p><p>6、1,西安交通大学理学院 魏平,第二节 求导的基本法则,第二章 一元函数微分学及其应用,作业:P113(A)14,16,18,20,22,24 (B)8,10 P120(A)1,3,5,7,9,11,2,基本初等函数的导数公式,3,2.6 隐函数求导法,其次，在上式两边对x求导,在求导数时，应注意到式中,已代为,所以求导时把 y 看成是x的函数，运用,链导法则,例,4,求由方程,所确定的隐函数,的导数。,解,根据上述求导方法，,方程两端对,求导,（注意,是,的函数）,即得,从而解得,例1,5,求由方程,所确定的曲线,在,处的切线方程。,分析,求切线方程,即要求出切点和切线斜率。,解,切点：,代入方程得,斜。</p><p>7、一、一个方程的情形,二、方程组的情形,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,隐函数存在定理1,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有,例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,解,设F(x, y)x2y21,Fx2x, Fy2y,F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.,隐函数存在定理1:,则,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域。</p><p>8、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、隐函数存在定理简介,隐函数:由方程所确定的函数,设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续 偏导数,且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续 且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ， 并有,1.一个方程的情形,隐函数存在定理1,隐函数存在定理2 设函数 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏 导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有,(2),2、方程组的情形,隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v。</p><p>9、1,一个方程的情形,方程组的情形,小结,( implicit function ),第五节 隐函数的求导公式,第八章 多元函数微分法及其应用,2,隐函数在实际问题中是常见的.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论如何由隐函数方程,如,求偏导数.,3,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,一、一个方程的情形,4,隐函数存在定理1,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),。</p><p>10、三、小结 思考题,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,9.5 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,(隐函数求导公式),【解】,令,则,【方法】(1)公式法；(2)推导法(直接法：两边对x求导),（推导法略）,【说明】,(1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同,(2)推导法（直接法）：两边同时对自变量 x 求 偏导，注意此时 y 是函数 ， x 是自变量 , 此时切记 y = y(x).遇到 y 要先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数.,即对 x 求偏导，y 要视为常数.反之亦然.,。</p><p>11、三、小结 思考题,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,第五节 隐函数的求导公式,解：,解,令,解法1,例3,解法2,例3,*,解1(公式法):,令,则,解,解,解,练习 光盘 例7,【思考题】,【解】,解,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,解二元线性方程组,复习：,解,将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得,二、方程组的情形,下面推导公式：,即，,等式两边对 x 求导，,现,这是关于,的,二元线性方程组。,方程组有唯一解。,类似，对,等式两边对 y 求导，,得关于,的线性方程组。,解方程组得,特别地，方程组,例5 设,解 1：,令,则,。</p><p>12、第八章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数*,隐函数的求导公式,有些函数关系是用方程表达的（隐函数），,多值函数,但是并非每个方程都表示一个单值函数.,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,等式两边对x 求导，得,只证明隐函数的求导公式：,解：,令,则,注：也可方程两边对x 求导得解.,解：,则,令,上式两边对x求偏导，得,同理可得,只证明隐函数求导公式：,解：,则,令,把z 作为 x,y的二元函数,解：,则,令,法2：,令,则,整理得,二、方程组的情形*,四个变量满足两个方程，一般有两个变量是独立。</p><p>13、1. 二元函数,在原点处( ),A连续，偏导数存在 B不连续，偏导数存在 C偏导数存在且可微 D不连续，偏导数也不存在,B,D,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,。</p><p>14、1,已知,解:,测试题,2,第九章,多元函数微分法,及其应用,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元函数微分学的几何应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,3,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合,函数的求导法后，,一般求导公式。,就能给出隐函数的求导定理及,当 时,能确定隐函数;,当 时,不能确定隐。</p><p>15、2019/6/15,1,第五节 隐函数的求导公式,第九章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019/6/15,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019/6/15,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在。</p><p>16、第八章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,定义1,在上册介绍的隐函数的概念,它是由一个二元方程,在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y),内满足:对任意x(a, b),都存在唯一的y( c, d )使(x, y),是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数,此函数满足,我们也可类似定义隐函数。</p><p>17、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、一个方程的情形,引例:已知 确定 , 求,一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导?,隐函数的求导公式,解,令,则,前述引例:,就可确定可导函数 , 且,解,法一,则,令,法二 方程两边对x求导,视y为x的函数:,解,2. 推广到三元以上,解法一：用公式法,解法二：两边同时对 x (或 y )求偏导,解法三：用全微分形式不变性,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,3. 求隐函数的高阶偏导数,求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,二、方程组的情形,解1,直接代入公式.,解2,运用公式推导的方法.,。</p><p>18、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,定理,解.1.,令,例1,解.2.,解.2.,解.1.,例1,定理,令,则,解.1.,例2,解.2.,令,解,例3,令,则,解.1.,例2,解.2.,例4,对于隐函数的高阶偏导数不要求死记公式.,解,例5,方程组两边对 x 求偏导，并视 u,v 都是 x, y 的函数, 得:,方程组两边对 y 求偏导，并视 u,v 都是 x, y 的函数, 得:,二、方程组的情形,解,练习,方程组两边对x求导，并视 z, y 是x的函数, 得:,（主要分以下几种情况）：,掌握隐函数的求导方法,三、小结与教学基本要求:,作业,习题 8-5 ( P37 ): 1, 4, 10 (2, 3。</p>