重积分的概念及其性质

重积分的概念及其性质Tag内容描述：<p>1、1,6.7 二重积分的概念与性质,二重积分的概念 二重积分的性质,2,1. 曲顶柱体的体积,曲顶柱体:,6.7.1 二重积分的概念,3,曲顶柱体的体积,1）将区域D任意分割成 n 个小区域：,也表示第 i 块小区域的面积,2）任取点,3）作和,4）取极限,令,则,4,将区域D任意分割成 n 个小区域：,也表示第 i 块小区域的面积.,任取点,作,令,记作：,即,定义6.7.1,2.二重积分的定义,5,1) 几何意义:,表示曲顶柱体的体积.,2）可积条件：,说明,3）,与区域D的划分及点 的取法无关.,6,性质1,性质2,线性性质：,说明,线性性质可以推广至有限个函数的情形。,6.7.2 二重积分的。</p><p>2、第 3 章 重 积 分,3.3 二重积分的应用,3.1 二重积分的概念与性质,3.2 二重积分的计算,3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算,3.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,3.6 重积分的换元法,3.7 三重积分的应用,三、 二重积分的性质,3.1 二重积分的概念与性质,二、 二重积分的概念,一、 问题的提出,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,#(21) 幻灯片 21播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，。</p><p>3、一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,推广,第一节 重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 三重积分的计算 第四节 重积分的应用,重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第十二章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以 D 的边界为准线 , 母线平行于 轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的。</p><p>4、重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、 问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第九章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的思想,“分划,近似,求和,取 极限”.,步骤如下：,1 分划,划分D为 n 个小区域:,以它们为底把曲顶柱体,分为 n 个小曲顶柱体,2 近似,3 求和,4 取极限,令,则有,定义,的直径。</p><p>5、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第九章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极。</p><p>6、柱体体积=底面积高,曲顶柱体的体积=？,曲顶柱体的体积,第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限,演示,计算曲顶柱体体积的步骤：,(2) 近似:,(1) 分割:,(3) 求和:,(4) 取极限:,(1) 分割;,(2) 近似;,计算平面薄片的质量,(3) 求和；,(4) 取极限:,求解步骤如下：,二、二重积分的概念,定义,曲顶柱体,平面薄板,积分区域,积分和式,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,相关术语：,二重积分号,解:,例1,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D.,故二重积分可写。</p><p>7、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,性质,对区域,具有可加性,性质,为D的面积，,性质,若在D上,则有,性质,（二重积分,估值不等式）,性质,（二重积分,中值定理）,解,解,解,解: 表示。</p><p>8、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,【解法】类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,【步骤如下】,取近似、 求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,求。</p><p>9、一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,第十章 重 积 分,第一节 二重积分的概念与性质,一、二重积分的概念,例 1 曲顶柱体的体积.,设有一立体的底是 xy 面 上的有界闭区域 D，,侧面是以 D 的边界曲线为准线、,母线平行于 z 轴的柱面，,顶是由二元非负连续函数 z = f (x, y) 所表示的曲面. 这个立体称为 D 上的曲顶柱体.,试求该曲顶柱体的体积 .,1. 引例,D,称为子域：1, 2 , , n ,并以 i (i = 1, 2, , n)表示第 i 个子域的面积，,(1) 分割.,将区域 D 任意分成 n 个小区域，,然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、,母线平行 z 轴的柱面.,。</p><p>10、第一节 二重积分的概念和性质,一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结 练习题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,1、引例：曲顶柱体的体积,一、二重积分的基本概念,曲顶柱体,（1）底是 x o y 面上的有界闭区域；,（2） 侧面是以 D 的边界 曲线为准线而母线平行 于 z 轴的柱面；,（3）顶是曲面 z = f ( x , y ) ，,计算曲顶柱体体积的一般方法：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：,将曲顶柱体分成 n 个小曲顶。</p><p>11、第一节 二重积分的概念和性质,一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结 练习题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,1、引例：曲顶柱体的体积,一、二重积分的基本概念,曲顶柱体,（1）底是 x o y 面上的有界闭区域；,（2） 侧面是以 D 的边界 曲线为准线而母线平行 于 z 轴的柱面；,（3）顶是曲面 z = f ( x , y ) ，,计算曲顶柱体体积的一般方法：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：,将曲顶柱体分成 n 个小曲顶。</p><p>12、高等数学,由银俊成制作,第八章 重积分,1.1 二重积分的概念,1.2 二重积分的性质,第一节 二重积分的概念与性质,1.1 二重积分的概念,引例曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体,播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示：,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4. 取极限,引例2求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块；,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片；,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二重积分的概念,积。</p><p>13、平顶柱体体积=底面积高,曲顶柱体体积= ？,曲顶柱体的体积,第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D.,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面.,求其体积.,“划分, 近似, 求和, 逼近(取极限)”,步骤如下：,将 D 任意划分为 n 个小闭区域,在每个,中任取一点,则第 i 小块的体积,总体积,取极限,得,求平面薄片的质量,在每个,中任取一点,则第 i 小块的质量,步骤：,将 D 任意划分为 n 个小闭区域,D,取极限,得,两个问题的共性：,(1) 解决问。</p><p>14、第十三章 重积分,一、曲顶柱体的体积 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、二重积分的计算 五、二重积分的换元 六、曲面的面积,第一节 二重积分,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,一曲顶柱体的体积,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,把R任意分成n个小区域,其中 表示,第k个小区域，设其面积为,对应的小曲顶柱体体积为,2.取近似,在每个小区域 上任取一点 ,则,此分法记为 ,3. 求和,4. 取极限,设n个小区域的直径分别为,称 是曲顶柱体的体积,二、二重积分的概念,定义,设 是有界。</p>