概率论与数理统计期末考试试题及解答

11、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，且 ，则 至少有一个不发BA, 5.0)(BPAA,生的概率为_.答案：0.3解： 3.0)(即)(25.0)()(3.0 ABPBPABPA 所以 1.0)(.9)(2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 _.X)2(4)1(XP)3(答案： 6e解答： eXPeXPXP 2)(,)1()0()1(由 知 e224即 2 解得 ，故16)3(e3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概X)2,0( 2XY)4,0(率密度为 _.)yfY答案： 1,0,14()()()2.YXyfFyfy 其 它解答：设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则,Y()XFx()Xfx2()()(YyPyPyFy因为 ，所以 ，即0,2XU0XY故21,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调，反函数为0,2x()h所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则, 2)1(eXP_， =_.1),min(YXP答案： ，2-4e解答：，故 2()()Pein,1min(,)1YXYP.45 设总体 的概率密度为X.其 它,0,1,)1()xxf是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.n,21答案： 1lniix解答：似然函数为 1 11(,;)()(),)nnni niLxxx 1llliiLn0iidx解似然方程得 的极大似然估计为3.1lniix2、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 为三个事件，且 相互独立，则以下结论中不正确的是,ABC,AB（A）若 ，则 与 也独立.()1PC（B）若 ，则 与 也独立.（C）若 ，则 与 也独立.0（D）若 ，则 与 也独立. （ ）答案：（D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（A） ， （B） ，（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2设随机变量 的分布函数为 ，则 的值为(0,1)XN()x(|2)PX（A） . （B ） .1221（C） . （D ） . （ ）)答案：（A）解答： 所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(2)PXPX应选（A）.123设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是Y（A） 与 独立. （B） .X()DXY（C） . （D） . （ ）()DS A B C4答案：（B）解答：由不相关的等价条件知， 0yxcov0xy），（()+2covDXY（ ， ）应选（B）.4设离散型随机变量 和 的联合概率分布为(,)1,(2)1,3(,)2,(,3)698XYP若 独立，则 的值为,（A） . （A ） . 21912,9（C） （D） . （ ）,6585答案：（A）解答： 若 独立则有,XY(2,)(2)PXYPXY11393， 2故应选（A ）.5设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中X12,nX X正确的是（A） 是 的无偏估计量 . （B ） 是 的极大似然估计量.1 1（C） 是 的相合（一致）估计量. （D ） 不是 的估计量. （ ）答案：（A）解答：，所以 是 的无偏估计，应选（A ） .1EX13、 （7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 任取一产品，经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.857（2） .()9(|)4、 （12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 为途中遇到红灯的次数，X求 的分布列、分布函数、数学期望和方差.1231698331298YX6解： 的概率分布为X332()()0,123.5kkPXC即 0174682251的分布函数为X0,71258(),2,7,3,125.xFxxx63,EX.2185D5、 （10 分）设二维随机变量 在区域 上服从均(,)Y(,)|0,1xyxy匀分布. 求（1 ） 关于 的边缘概率密度；（2） 的分布函数与概率XZXY密度.解： （1） 的概率密度为(,)Y2,(),0.xyDfxy其 它,01()(,)X xffd其 它（2）利用公式 ()(,)Zfzfxz其中 2,01(, xfx其 它 2,01,.xz其 它当 或 时0z1()Zfz时 0022zdxxz z=x1D0 1z xyx+y=1x+y=zD17故 的概率密度为Z2,01,()zf其 它 .的分布函数为Z20, ,0,()()2,11,.1,zzZZ zffydyz或利用分布函数法10,()()21,.Z DzFzPzXYzdxyz20,1,.zz2,01,()Z zfF其 它 .6、 （10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相XY互独立，且均服从 分布 . 求（1）命中环形区域2(0,)N的概率；（2）命中点到目标中心距离 的(,)|1Dxy 2Z数学期望.解： （1） ,)(,)DPXYfxyd2 228 8014xy rDede；2288211()rr（2）2228() xyEZXYxedxy0 1 282 22880 01184r reded. 22 28 80rr r七、 （11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今抽取容量为 16 的2(,)XN样本，测得样本均值 ，样本方差 . （1）求 的置信度为 0.95 的置信10x206s区间；（2）检验假设 （显著性水平为 0.05）.2:.H（附注） 0.50.50.25(6).74,()73,()3,ttt22. . .94927.48解：（1） 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132）（2） 的拒绝域为 .20:.1H2(1)n，5.64.S0.54.96因为 ，所以接受 .22.49()0H概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分9一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)（1） .0)(,0)( ;0)(0)( ) ( ).,0(ABPAP(D)BC()AABPB则同 时 出 现 是 不 可 能 事 件与 或 互 不 相 容互 斥与 则 以 下 说 法 正 确 的 是适 合、若 事 件（2）设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则 （ ） 。5.1P(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) 21（3）设事件 与 同时发生必导致事件 发生，则下列结论正确的是（ ）1A2 A（A） （B）)()1P 1)()(21AP（C） （D）2（4） ).54,0);46,0();3,0();5,0(72),12(),1(DNCBNAZYXZYX则令 相 互 独与且设 随 机 变 量 立 .10（5）设 为正态总体 的一个简单随机样本，其中nX,2,1 ),(2N,2未知，则（ ）是一个统计量。(A) (B) 21nii 21)(niiX(C) (D) X（6）设样本 来自总体 未知。统计假设n,21 2),(NX为 则所用统计量为（ ）。：已 知 ）（： 0100 HH(A) (B) nXUnSXT0(C) (D)22)1(S ii122)(二、填空题(每空 3 分 共 15 分)（1）如果 ，则 .)(,0(,)( APBPA)(B（2）设随机变量 的分布函数为X.0 ,)1(, ,