数学与人的发展数学对人的思维的影响

数学与人的发展-数学对人的思维的影响摘要：数学是人类文明进步的阶梯，它促 进了人类的发展，可以说数学的所有结论都是思维的结果。本文拟从数学与各种思 维方式，数学 对思维各因素的影响，数学家的思想对思维的影响以及数学家的思路对思维的影响四个大方面来阐明数学对人的思维的影响。关键词：数学；发展；思维；影响Mathematics and the development of people - - - - on the thinking of the influence of MathematicsAbstract: mathematics is the progress of human civilization ladder, it promotes the development of human, can be described mathematically all conclusions are the result of thinking. In the paper, mathematics and various ways of thinking, mathematical thinking the influence of each factor, mathematicians thought influences thought, mathematicians thought on the influence of the thinking of four aspects to explain the effect of mathematics thinking.Keywords: mathematics; development; thinking; influence目录第一章 引言 .11.1 数学的重要性 .11.1.1 问题的提出 .11.1.2 科学家的论述 .1第二章 数学与人的发展 .22.1 数学是人类认识自然界的中介 .22.1.1 古代数学与人类社会的关系 .22.1.2 近代数学与宇宙自然的关系 .32.1.3 当代数学与科学技术的关系 .3第三章 数学对人的思维的影响 .43.1 数学与各种思维方式 .43.1.1 数学与逻辑思维 .43.1.2 数学与形象思维 .53.1.3 数学与直觉思维 .632 数学对思维各因素的影响 .73.2.1 思维的深刻性 .73.2.2.思维的灵活性 .73.2.3 思维的独创性 .73.2.4 思维的批判性 .83.2.5 思维的敏捷性 .83.3 数学家的思想对数学思维的影响 .93.3.1 毕达哥拉斯的数学思想 .93.3.2 莱布尼茨的数学思想 .103.3.3 克莱因的数学思想 .123.4 数学家的思路对数学思维的影响 .12致谢 .14参考文献 .141数学与人的发展-数学对人的思维的影响第一章 引言1.1 数学的重要性人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里，无时无刻不在运用自己的思维活动并结合数学方法去认识、利用、改造这个世界，从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精神文明。可以说，数学是一切科学技术的基础，一切的科学都是通过数学计算来发现并解决问题的。1.1.1 问题的提出目前，广大的数学工作者和数学教育工作者正在深入地思考着：什么是数学？数学对国家、社会和个人的进步发展有什么用？数学对人的发展、对人格的完善究竟有着怎样的影响？为人的一生可持续发展奠定基础需要什么样的数学修养？如何培养数学人才？如何提高整个民族的数学素养？众多的数学家、科学家及名人对此发表了自己的真知灼见。这些见解对于我们深入地思考、认识与理解数学及其价值，对于我们树立全面正确的数学观、数学学习观具有重要的启示作用和指导意义。1.1.2 科学家的论述哲学家培根说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。拿破仑曾说过：国家的兴盛与数学的进步和完善有着紧密的联系。国际著名数学家，菲尔茨奖获得者丘成桐教授说：“如果基础科学水平上不去，国家的核心竞争力也不会强起来。 ”比如， IT 产业的发展，几乎全部依靠数学。如果数学水平上不去， IT 产业就难以形成竞争力。数学是科学之母，是科学的基础，数学的落后，基础研究的落后，将影响整个国家的长远竞争力，尤其是在这个知识当道，科技争锋的时代。数学家吴文俊指出：数学的生命力在于它是以一种最基本的常理来处理数的关系和空间形状。归根到底，数与形状反映了现实世界中事物最本质的特征。2数学家田刚院士指出：从某种意义上说，数学的发展水平代表了一个国家的科学发展水平。数学与所有科学有着千丝万缕的联系，一个人可能并不专门从事数学研究，但一个人数学素养如何，对他的方方面面有着极大的影响，如逻辑思维能力、科学思维能力甚至人生态度等等。 因此，毫不奇怪，数学的抽象理论和方法几乎涉及科学技术的所有领域。第二章 数学与人的发展2.1 数学是人类认识自然界的中介数学早在 2400 年，就开始作为一门课程进入学校了。柏拉图规定，不懂几何学不得进入他的哲学学校。这说明，在那时就已经把数学学习与教育和做人联系起来了。在中国，数学拥有悠久的历史，也曾达到过很高的水平。数学作为一门古老而又年轻的学科，提供了观察世界的一般观念和方法，千百年来，它促进了人的智能的发展，品德的完善，人格的健全，它在人类改造自然，改造社会，认识自我的实践活动中，占有举足轻重的地位，使得数学成为人类文明进步的阶梯。 2.1.1 古代数学与人类社会的关系早在公元前 4 000 年左右，古埃及人生活在尼罗河中下游的河谷地带，自然地理环境比较优越，适合于农业生产，但由于尼罗河每年 6 月至 9 月河水定期泛滥.淹没原来的土地田亩界限，需要重新测量。几何学应运而生，古老的埃及数学正是在此基础上萌芽和发展起来。儿章算术作为中国古代数学的典范，表现出鲜明的社会性和实用性的特点，以及显著的算法倾向与构造性的传统。如“粟米”一章中对各种不同品种或质量的谷物交换规定了统一的比率，反映了国家对粮食交易的管理和控制；“商功”一章中有关春夏秋冬每个劳动日工程量的规定，反映了当时行政部门实行定额管理的要求。 九章算术以算法的实际应用范围分为“方田” 、 “粟米”等学科，犹如现今的所谓“经济数学” 、 “生物数学”之类，表现出中国古代传统数学具有极其浓厚的“应用数学”的色彩。公元前 6 世纪，希腊人就认为，自然界是被合理安排好了的，一切现象都是按一个精密的不可变的计划进行的，这个计划就是数学计划，世界是建立在数学原理之上的。这期间占统治地位的毕达哥拉斯学派认为，数是描述大自然的第一原理，是一种3物质， “万物皆数”是当时深入人心的一种观点。虽然这种观点很快就被找出谬误，但它的影响却一直延续到近代，这是因为它“终究提出了宇宙的本性问题，提出了人可以通过对数的研究达到对宇宙本质的认识。 ”2.1.2 近代数学与宇宙自然的关系数学真正的“现代化” ，还是成就于近二三百年的发展。17 世纪，欧洲爆发“科学革命”期间，数学起了重要作用。分析当时及之后相当长一段时期的哲学家的思想，可以对数学与自然的关系有更深人的认识。首先是笛卡尔和伽利略把自然科学与数学有机地结合起来;其后是牛顿和莱布尼兹等科学家的进一步拓展。牛顿以其不朽的著作自然科学的数学原理向人类显示出一个新的世界秩序宇宙的运动可用几条数学定律描述，使古希腊的理念得到确切的证实;莱布尼兹认为现实世界与数学世界是协调的，这也奠定了他的宇宙基础的数学原理说。随着数学的推演与人类观测宇宙、探索自然所得到的成果的不断吻合，人们逐渐从信仰宗教转到信仰自然，坚信自然规律就是数学规律。数学家魏尔认为“在自然界中存在着其内部固有的隐藏着的协调，它反映在我头脑中的形式为简单的数学定律。 ”明确指出了自然与数学的密切关系。巴雷特甚至断言:“整个数学的历史证明数学理性与自然之间存在着相互联系” 。因此，数学仿佛成为一种人与自然、人的内在世界与周田外部世界之间的媒介。2.1.3 当代数学与科学技术的关系对近、当代科学的重大成就稍作分析就会发现，它们大多是数学的成就，有的甚至完全依赖数学。首先，电磁场理论在理论物理中的重要地位众所周知，然而它几乎是纯数学理论。近代物理的精神支柱就是数学理论。爱因斯坦认为这种变化是“从牛顿时代以来物理所经受的最深刻、最富有成效的变化” 。其次，原子结构模型对于物理学具有非常重要的意义，对化学和生物的研究也有极大的促进作用。然而，原子模型本身就是数学模型。正是数学，给充满混乱的世界展示和建立了秩序。第三，微电子技术、信息网络技术更是数学编织而成。以最近几年来的诺贝尔奖为例，很多的经济学奖获得者都是数学家出身。总之.从古至今，人们一直在探索数学与自然的关系，科学史的大量资料也显示数学的巨大力量和源泉，在人类的创造中最强大的力量就是数学。数学这种兼具理性和技术的二重性是其独有的。技术的进步是高速的，而理性的进展犹如进化一样，是相对缓慢的。作为技术的数学，变化是巨大的，它必须跟随甚至超前于飞速发展的科技步伐。而理性一旦获得突破，将给数学与科技带来巨大的飞跃。没有非欧几何，自然也就没有相对论，没有全部现代的物理以及以之为基础的全部现代技术。那样也不会有全部关于数学基础的研究，不会有形式系统这样的思想，不会4有哥德尔定理，同样也不会有计算机。因此，我们可以在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神，促进人类智能的传递，使得人类的思维得以运用到最完美的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类白身存在提出的问题；努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。第三章 数学对人的思维的影响3.1 数学与各种思维方式培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！人类的思维是后天形成的，且受到各种因素的影响，并表现出多面性，只要符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。人们常把数学形容为思维的体操，从数学诞生的那天起，它就与思维结下了不解之缘。创造数学，构造数学，学习数学，研究数学，都是思维的过程，所以说数学与思维有着千丝万缕的关系。人类的思维方式分为逻辑思维、形象思维、直觉思维。如果要讨论数学与思维的关系，这三个方面是必不可少的，它们相互依存、密不可分。对数学思维的深刻理解，必须经历一番深沉的思索。当然，这种思索不应该是枯燥无味的，它应该充满机智、幽默和创造的活力。 “深沉”的含义在于不能浅尝辄止，而应该有一种深入事物内部穷追不舍的精神。3.1.1 数学与逻辑思维逻辑思维，又称抽象思维，它是舍弃认识对象及具体形象，通过语言表达反应客观事物本质和内部规律性的思维。它是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反应现实的过程，具有抽象概括、间接反应、借助语言等特征。在数学活动的过程中，逻辑思维常常成为其主线。数学与逻辑思维的关系至少可以追溯到数学还是一门经验性科学的时代。在残留的古埃及、古巴比伦、古印度和我国古代数学史料中，就已经有了简单的归纳、演绎、分析、综合的迹象。经过古希腊数学家们，特别是亚里斯多德和欧几里德的工作，数学同比较完善的形式逻辑体系结合起来，真正变成了一门演绎科学。从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科5学知识体系中成为逻辑性最强的一门科学。当然，数学与逻辑的结合程度并不总是一样的，有时十分紧密，有时却相对地松散一些。从思维科学角度看，数学思维与逻辑思维的共同特征主要有以下几点：数学思维与逻辑思维都具有极强的符号化和形式化特征，并且在现代数理逻辑中实现了高度的统一。数学的形式结构和逻辑的形式结构都是从人这个认识主体对于客体所加的作用和动作的最普遍的协调作用中抽象出来的。数学结构和逻辑结构都是具有一定相对独立性的客观的思想事物，它们的规律在科学的各分支领域都是普遍适用的。逻辑思维在数学中有着很重要的作用，它是数学证明的工具，是检验数学真理的时间标准。我们知道，在数学中逻辑证明起着判断数学命题真伪的作用。特别是在现代数学中，由于高度的抽象化、形式化和公理化，逻辑相容性时常成为检验数学真理的唯一标准。逻辑思维还是数学知识理论化系统化的手段，起到“浓缩”数学知识的作用。从数学认识的过程来看，逻辑思维在各个阶段所起的作用是不同的。最初的数学探索往往从一些经验性问题开始，积累有关数学概念极其关系的原始线索，从中追寻规律性的东西。等到经验性材料积累到一定程度，理论化系统化的工作才得以进行。最后，整个数学理论被加工成一个高度抽象、简洁、优美的形式系统,数学与逻辑至此也就达到了相互包容，难分难离的程度。3.1.2 数学与形象思维人们常说数学是高度抽象的科学，抽象性被看作是数学的本质特征。仔细考察数学认识活动的具体过程，会发现形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导致重要的数学发现。数学中的形象思维可以分为几个不同层次。第一个层次是几何思维，这是最直接的形象思维。几何学以各种平面和空间图形为研究对象。这些图形虽然已经过抽象思维的初步加工，具有一定程度的理想化性质，但起具体和直观的特点仍很鲜明。人们看到几何图形，就可以直接联想到现实事物的各种，并从几何思维中体会到具体和抽象的基本关系，了解数学抽象化形式化的特点，积累初步的数学经验。第二个层次是类几何思维。可以借助几何空间关系进行想想的较为间接的形象思维。它们不具备几何思维那样具体和直观的明显效果，但可以形成和几何思维类似的比较朦胧的形象。类几何思维是直观的几何思维的变形。它需要一定程度的抽象性，需要适当拜托感性直观的局限性。有些时候，为了准确把握抽象几何空间的特性，甚至需要采取一些看来很极端的做法，以防止感性直观的干扰。6数学中形象思维的第三个层次，是所谓数觉，即对各种数量关系的形象化的感觉。这种感觉更为抽象，更为朦胧，在很多时候已进入了有神秘色彩的直觉领域。但它可以使人们有效地把握各种数学量之间的有机联系，辨认出其中的重要性质，把数学方法从一个领域过渡到另一个领域。数学中形象思维的第四个层次，是数学观念的直觉。这是对各种数学观念的性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉，它完全是数学的直觉，虽然很难用逻辑语言完全叙述清楚，但在数学的创造性思维活动中明显存在并发挥着作用。数学想象的各种基本类型在数学发展中都有着十分重要的作用。想象是数学猜测的一个重要来源，而数学猜测是导致数学发现的思想动力的基础。所以说，数学想象是数学认识活动中不可缺少的环节，是数学思维中的基本要素。爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。 ”由此可见数学想象在数学和自然科学发展中何等重要！3.1.3 数学与直觉思维“直觉”在这里指的是对事物本质的直接领悟或洞察。数学直觉就是对于数学对象事物的某种直接领悟或洞察。这是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性，属于非形式逻辑的思维活动范畴。数学直觉的产生是不能用普通形式逻辑的推演解释清楚的。庞卡莱说：“搞算术，就如搞几何，或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西。为了表述这个某种东西，我们没有更好的字眼，只能用直觉一词。 ”在探索未知世界规律的过程中，人们的主观认识同客观规律之间需要经过多次带有很大偶然性的相互作用才能彼此相符，这终将有机遇，有潜在的经验和技巧，有来自书本上或和别人谈话中的启示，有思维过程中“观念原子”千变万化的分离与组合。所有这些都不是用严格的形式逻辑推演能表达清楚的。能够用逻辑语言描述的数学思维活动，只是整个数学思维活动中个很小的一部分。在逻辑语言无能为力的地方，只能以“直觉”一言以蔽之。直觉看来很神秘，其实它不是人们创造性思维活动的一个真实方面。数学直觉的产生往往是下意识的。它有时在朦胧中逐渐涌现，有时如闪电一般突然诞生。无论取渐悟还是顿悟的形式，都是实现未曾料到，不知不觉中即已获得。其实，灵感是需要经过充分酝酿的，是要经过下意识的紧张活动积累起思想基础的，否则就不会有什么灵气。为什么人们长期钻研而求之不得，一旦思想放松进入下意识状态，反而以直觉形式取得突破呢？因为过度的形式逻辑推演往往是限制人们思路的，使人们在旧理论的框架里兜圈子，找不到新思路。适当的放松使思路可以轻松自由地舒展。虽然是在下意识状态，却容易接近正确的途径，取得重大突破。如果事先没有通过逻辑思维接7近关键性观念的边缘，使人们有可能利用下意识取得突破，那么灵感或顿悟是永远不会出现的。在数学猜测与数学想象中，或多或少也有情感的作用。但在直觉思维过程中，情感作用得到了充分发挥，达到登峰造极的地步。一般说来，直觉的产生前后大体上有这样一些情感变化。直觉产生之前，情绪躁动不安，对某个问题长时间思索而得不到解决，欲罢不能，欲进无路，就很容易产生这种情绪。等到直觉出现时，令人十分欣喜，甚至感到有些神志恍惚，仿佛“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” ，有种明显的解脱感。然后，就是情绪极度高涨，对所获得的直觉认识执着地相信，并以此为基础连续工作很长时间毫无倦意。3.2 数学对思维各因素的影响3.2.1 思维的深刻性数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得的数学问题，对具体的数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度和严谨性水平的集中反映。也即在数学知识的学校与应用过程中，在对事务的观察、比较、分析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的差异来。 “刨根问底” 、 “打破砂锅问到底”是深刻性的写照。 “去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”也会死深刻性的体现。3.2.2.思维的灵活性思维灵活主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。所以，数学思维的灵活性主要是学生在数序思维的活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强。康泰尔说过：“数学的本质在于自由。 ”因此数学最能激发人的自由创新意识，他使人敢于突破常规，不迷信书本、权威、有创新的胆略和勇气。数学学习中思维灵活性往往表现在随着具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已只的知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系。思维的灵活性与思维的发散性有一致的地方。发散思维的特点是多开端、灵活、精致和新颖。例如，能够给出一个数学问题的多种不同的解答，就是思维具有发散性的表现，所以思维的灵活来自于求异思维，而求异思维有来自与迁移。 “举一反三”是高水平的发散，正是因为有知识的迁移。成语有“触类旁通” ，“旁通”是灵活迁移，8而“旁通”的得来需要“触类” ，这个“类”有需要通过概括才能获得。3.2.3 思维的独创性创造性思维、智力创造性、独创性活创造力可看作同义语，实质都表现在“创新”和“创造”上，即一种现象的多种表现形态。如果强调创新的过程，则为创造性思维；如果强调个体间的创新差异，则为创造性或