竞赛考题分类汇编(一)数与式

竞赛考题分类汇编（一）数与式1.设 r4，a 1r+ ，b 1r+ ，c 1r(+)，则下列各式一定成立的是。A、abc B、bca C、cab D、cba2.设 a,b 是不相等的任意正数,又 , ,则有 x,y 这两个数一定( )21bxa+=2ybA.都不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个大于 2 D.至少有一个小于 23.设 的平均数为 M， 的平均数为 N，N， 的平均数为 P，若 ，则 M 与 P 的大小关系是（ ） 。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。4.不超过 100 的自然数中，将凡是 3 或 5 的倍数的数相加，其和为。5.若 x1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005x 1)(2005x 2)(2005x 3)(2005x 4)(2005x 5)24 2，则 221345+x的未位数字是。6.a、b、c 为正整数，且 a2b 3c 4，求 c 的最小值。7.已知： ，那么 _。8.若 aa206205，则 205=_9.已知 a，b，c 为整数，且 ab=2006，c a=2005若 aba，选 D解法 2：a 11rr ，b 1rrc 1r(+)4,1101,101,:,Drrrrrrabrrrrrbcabc故又 故 综 上 所 述 选 解法 3：r4 1r1 1a brrc 11rra1当 a1 时， 1622a= 7)(10 分又当 b时，由，得 2c， 54a将两边平方，结合得 22216)()(a化简得 0548223a， 故 0546)(a，解得 65，或 1 所以， a 的取值范围为 a1 且 65， 421a15 分解法二：因为 22cb， 52bc，所以 222 185416 )()()( aaaac，所以 )( 又 c，所以 b， c为一元二次方程022xx的两个不相等实数根，故 54142)()(aa，所以 a1当 a1 时， 14622acb= 072)(a10 分另外，当 时，由式有 542，即 0524a 或 056a，解得， 1a或 6a当 c时，同理可得 或 421所以， a 的取值范围为 a1 且 65， a15 分18.225；设( b,) d，且 m， ndb，其中 nm， 与 互质。于是ba,的最小公倍数为 n。依题意有1205md，即3()25(1)7d又 n，据式(2)可得 10mn325n7m根据式(1)，只能取 57，可求得 d故两个数中较大的数是 2。22解： ，即， ， 。23解：左边 ，即 ， ，而 为整数，且不相等， 只可能取值 或 。不妨设，则 ，或 ，（2）无整数解，由（1）得 ， 。25. D由 解得 代入即得.,072634zyx2,3zyx26. . 。431421421 22xxx 234)1(227. 1.因为 ，34713711 xxzxyx所以 ，)34()(4解得 .23x从而 ， .3571z 5231zy于是 .xy28. 解： （1）不妨设 a 是 a