3_8064975_3.恒等赋值.韦达定理及简化应用

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 579 中国 高考数学母题 (第 169 号 ) 恒等赋值 在解析几何中 ,若直线 相交于 A(x1,B(x2,常遇到求 关于 称式 的值 ,一般情况下 ,均是 利用韦达定理 求 解 ,但对有些 式 子 ,使 用韦达定理 ,迂回曲 折 ;利用恒等式 ,可整体代入 ,避开韦达定理 ,直接求解 . 母题结构 :若 x1,数 f(x)=x+C(A 0)的两 个零点 ,则 : (韦达定理 )x1+AB,C; (恒等 赋值 ) (x1+t)(x2+t)=t). 母题 解 析 : 略 ;由 x1,数 f(x)=x+C(A 0)的两 个零点 f(x)=A( f(A(t+t+ (x1+t)(x2+t)=t). 子题类型 :(2016 年四川高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点 ,点 P( 3 ,21)在椭圆 E 上 .( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设不过原点 O 且斜率为21的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 中点为 M,直线 椭圆 E 交于 C,D,证明 :| 解析 :( )由 a=2b,23a+241b=1 , 椭圆 E:42x+; ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=21x+m,代入42x+ 得 x1+2m,| 2510 m M(m) 直线 OM:y=x,代入 42x + 得 C(22),D( 2 , |41(10| 点评 :韦达定理在解析几何中有着广泛的应用 ,如弦长公式的证明、中点问题都可利用韦达定 理解决 ;关注 韦达定理在解析几何中的应用 ,是研究 解析几何的 基础 . 同 类 试题 : 1.(2010 年课标高考试题 )设 :2(00,b0) a2+, 580 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 22a=21 , E 的方程 :(y 0); ( )当 x 轴时 ,B(2,3),C(2, M(21,23),N(21, (3),(23) 0; 当 x 轴时 ,设 B(x1,C(x2,BC:y=k(k 0),由 033 )2(22 yx (3)=0(k3 ) f(x)=(3)=(3 ()()=231kf(3922231kf(2)=239k k2( AB:y=111xy(x+1),AC:y=122xy(x+1) M(21,)1(2 311N(21,)1(2 322 (- 23,)1(2 311(1(2 322 0 以线段 . 点评 :若点 A(x1,B(x2,M(x0,直线 AB:y=kx+m,且 x1,f(x)=x+C=0(A 0)的两根 ,则 : ( ( 由此可解 决与 ( ,如 有关问 题 . 同 类 试题 : 2.(2006 年北京高考试题 )己知点 M()、 N(2,0),动点 P 满足条件 |2 2 ,记动点 为 W. ( )求 W 的方程 ; ( )若 A、 B 是 W 上的不同两点 ,O 是坐标原点 ,求 最小值 . 子题类型 :(2015年课标 高考试题 )已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m0),直线 且不平行于坐标轴 ,有两个交点 A,B,线段 中点为 M.( )证明 :直线 斜率与 ( )若 l 过点 (3m,m),延长线段 C 交于点 P,四边形 否为平行四边形？若能 ,求此时 l 的斜率 ;若不能 ,说明理由 . 解析 :( )设 A(x1,B(x2,M(x0,则 x1+x0,y1+两式相减 得 :9(021 21 21 21 =021 21 =9,即 直线 斜率与 l 斜率的乘积为定值 ( )由 四边形 否为平行四边形 P(x1+x2,y1+ 9(x1+(y1+=(9(9 1818 k(入 9x2+y2=(9+k2)k(x+92km(0;由 f(x)=(9+ k(x+92km(9+ f(0)=(9+k2)9(9 22f(3(9+ ( m)(m)=k2(91kf(3291k 3代入 182292 292k 3=0 k=4 7 . 点 评 :着意于把问题转化为关于 ( (有关问 题 ,不仅避开了韦达定理 ,整体代入直接求解 ,极大的减少了计算步骤 ,降低了出现错误的概 率 ,而且还可 导引解题方向 ,开创新的本质解法 . 同 类 试题 : 3.(2015 年 福建 高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)过点 (0, 2 ),且离心率为22.( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设直线 x=m R)交椭圆 E 于 A,B 两点 ,判断点 G()与以线段 直径的圆的位置关系 ,并说明理由 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 581 4.(2008 年课标高考试题 )在直角坐标系 ,椭圆 22(ab0)的 左、右焦点分别为 2 也是抛物线C2:x 的焦点 ,点 M 为 2在第一象限的交点 ,且 |35.( )求 ( )平面上的点 N 满足 1 2直线 l 与 、 B 两点 ,若 0,求直线 l 的方程 . 5.(2005 年重庆高考试题 )己知椭圆 ,双曲线 焦点分别为 顶点 ,而 顶点分别是 焦点 .( )求双曲线 ( )若直线 l:y=2 与椭圆 2都恒有两个不同的交点 ,且 2的两个交点 满足 OB b0)的左、右焦点分别为 离心率为21,通径长为 3. ( )求椭圆的方程 ; ( )过 、 延长 . (i)求四边形 p; ( x 轴上是否存在定点 C,使 常数？ 若存在 m 求出点 若不存在 ,说明理由 . ( )由 |4,又 |2| |34; ( )设 A(x1,B(x2,由直线 l:y=x+c,代入椭圆方程得 :(1+b2) x1+21221 21 |= 2(=224)1( 16224)1( 16916 b=22. ( )由 |2 2 M 是以 M,N 为焦点的双曲线的右支 ,实半轴长 a= 2 W 的方程 :(x 2 ); ( ) 当 x 轴不垂直时 ,设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+m,代入 得 :(1(k 1) f(x)=(11 222 ;m)(m)=k2(x1+x2+221 f(2221 2 222221 2=12222+142k2; 当 x1=x2, 最小值 为 2. ( )由 b= 2 ,e=22122 a=2 椭圆 E:42x+22y=1; ( )设 A(x1,B(x2,由 42 122 yx () f(y)=()( )0(2232m,(9)(9)=(5)(5)=m2(y1+y2+222162522 (9 ) (9)+62522m=)2(2 21722 锐角 点 G 在 以线段 直径的圆 外 . ( )由 ,0) a2=;设 M(x0,则 |=35 M(32,362)294a+238b=1 2x+32y=1; ( )由 1 2 四边形 直线 l l 6 直线 l:y= 6 (代入椭圆 582 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 方程得 :9;设 A(x1,B(x2,则 f(x)=9( 48 2m,(m)=32f(m)=32(由 0 9 48 2m+32(0 m= 2 直线 l:y= 6 (x 2 ). ( )设 双曲线 2(a0,b0),由 c=2, 双曲线 2; ( )将 y=2 代入 得 :(1+4k2) 2 =0 1=128+40 2;将 y=2 代入 得 : (1 10, 2=726(10 31,k 的取值范围 是 (1513) (21) (21,33) (1513,1). ( )由 e=22121, , 椭圆 :42x+32y=1;( )(i)设 r,则 21 (|r=3r,21|r 1:3;同理可得 :1:3