3_8065328_7.构造和差积商函数.巧解函数不等式题

高考数学 1000 个母题 构造和差积商函数 抽象 函数不等式 的 一个 母题 随着微积分进入高中数 学 ,在高考和竞赛中 ,流行着一类试题 :已知含有抽象函数 f(x)和其 导数 f (x)不等式 ,研究 含有函数 f(x)和 f (x)的不等式 问题 :戓解不等式 ,戓 判断 不等式恒成立 ;我们把此类问 题 抽象概括为如下母题 : 母题结构 :己知函数 f(x)满足 :G(f(x),f (x)0,研究不等式 F(f(x),f (x)0(戓解不等式 ,戓不等式恒成立 ). 解 题 程序 :首先对 不等式 F(f(x),f (x)0 进 行 等价变形得 g(x)0,并逆向联想求导法则 ,使得 g (x)=G(f(x), f (x),由已知可 得 函数 g(x)的单调性 ,根 据 g(x)的单调性可迎刃解决 不等式 g(x)0 问 题 . 子题类型 :(2011 年辽宁 高考试题 )函数 f(x)的定义域为 R,f(2,对任意 x R,f (x)2,则 f(x)2x+4 的解集为 . 分析 :由 f(x)2x+4 f(x)-(2x+4)0,可构造 函数 F(x)=f(x)-(2x+4),由已知 可 得 函数 F(x)的单调性 ,由此 解决 问 题 . 解析 :F(x)=f(x)-(2x+4),则 F(0,且 F (x)=f (x) F(x)在 R 上单调递增 ;所以 ,f(x)2x+4 F(x)0 F(x)F( x点评 :通过构造和差函数可得如下结论 :若 定义域为 R 的函数 f(x),g(x)满足 :f(a)=g(a),且 f (x)g (x),则不等式f(x)g(x)的解集为 x|xa,不等式 f(x)下面的不等式在R 上恒成立的是 ( ) (A)f(x)0 (B)f(x)x (D)f(x)(*);当 x0时 ,(*) 2xf(x)+(x); 当 ,F (x)0 F(x)在 (0,+ )内递增 F(x)F(0) x) f(x)41当 ) x)0 f(x)41; 当 x=0 时 ,由 (*) f(0)f(x)A). 点评 :通过构造 积 函数可得如下结论 :若定义域为 f(x),g(x)满足 :f(a)=0或 g(a)=0,且 f (x)g(x)+f(x) g (x)0,则不等式 f(x)g(x)0 的解集为 x|xa,不等式 f(x)g(x)h (x),则当 xf(x)g(x)h(x),当 x|a|f(|b|)(0),则 ( ) (A)ab (B) (D)a2|a|f(|b|)| |)(| |)(| ,故考虑 构造 函数 F(x)=(,并研究 函数 F(x)在 (0,+ )内的单调性 . 解析 :令 F(x)=(,则 F(x)是偶函数 ,且当 x|a|f(|b|)| |)(| |)(| F(|a|)F(|b|) |a|b| a2C). 点评 :通过构造 商 函数可得如下结论 :若定义域为 f(x),g(x)满足 :f (x)g(x)-f(x)g (x)0,则 F(x)=)()( ,+ )上单调递增 ;进一步可得 :若 f(a)=0,g(a) 0,不等式 f(x)g(x)0的解集为 x|xa,不等式 f(x)g(x)k1,则下列结论中一定错误 的是 ( ) (A)f(1k(C)f(11k)112012 年 全国高中数学联赛 陕西 预 赛试题 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意的 x R,都有 f (x)2 1 . 3.(2013 年 全国高中数学联赛 河北 预 赛试题 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=2,且对任意的 x R,都有 f (x)2 3 . 4.(2004 年湖南高考试题 )设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上 的奇函数和偶函数 .当 g(0,则不等式 f(x)g(x)8f( (D)以上三种情况均不正确 6.(2007 年陕西高考试题 )f(x)是定义在 (0,+ )上的非负可导函数 ,且满足 (x)+f(x) a、 b,若 ,(x)-f(x)0 成立的 x 的 取值范围是 ( ) (A)(- , (0,1) (B)() (1,+ ) (C)(- , () (D)(0,1) (1,+ ) 8.(原创题 )设 f(x)是定义在 (0,2) (2, )上 的 关于直线 x=2对称的 可导函数 ,且 对任意 x (0,2) (2, ), f (x)F(x)在 由 k111k0 F(11k) F(0) f(11k)-10 f(11k)1f(11k)11C). 令 F(x)=21x),则 F(1)=0,且 F (x)=21(x)0 F(x)在 R 上单调递增 ;所以 ,f(2 1x F(0;所以 ,f(2 1x x (0,2). 令 F(x)=f(x)g(x),则 F(x)是 奇 函数 ,F(3)=0,且当 F(x)在 (- ,0)内递增 F(x)在 (0,+ )内递 增 ;当 x (- ,0)时 ,f(x)g(x)8f( f(0)8f(0) f(0) 8f( (21f(01 时 ,所以 ,f(8f( (21f(f( F(F( C). 由 (x)+f(x) 0 (x) -f(x);令 F(x)=(,则 F (x)=2 )()( x 2 )(2x 0 F(x)在 (0,+ )上 不增 ;又由 (x)-f(x)0时