3_8065330_11.利用放缩法研究函数不等式

高考数学母题一千题 利用放缩法研究函数不等式 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 与函数有关的不等式问题之所以成为 高考命题的一个热点 ,是因为它不仅处于函数 与不等式的交汇点 ,而且其 解决问题 的 思路独特 ,方法 灵活 ,综合性高 ,并且具有广阔的开拓空间 ;其中 ,放缩法 在 函数不等式问题 中 的 应用 就 是 近年才开始开拓 ,但 未 引起广泛注意 的 一个例证 ;放缩法的理论依据是不等式 的传递性 ,关键在于对 不等式 中的部 分 式进 化 恰当的 放缩 ;对此 ,我们用母题的方式固化如下 : 母题结构 :证明 f(x) 0,戓已知不等式 f(x) 0 恒成立 ,求其 中参数的取值范围 . 解 题 程序 :首先分离函数 f(x),使得 : f(x)=g(x)+h(x),其中 ,h(x)易于 放缩 为 :h(x) m(x),然后解决 不等式 g(x)+ m(x) 0 问题 ; f(x)=m(x)g(x),其中 ,易于求 m(x)的最小值 m(m0),然后解决 不等式 mg(x) 0 问题 . 在 这 里 放缩法的主要目的是将复杂函数转化为相对简单函数 ,重要手段 是 对于 不等式 中的部 分 式 构成 的 函数 h(x),构造 放缩 式 :h(x) m(x). 子题类型 :(2013 年课标 高考试题 )已知函数 f(x)=x+m). ( )设 x=0 是 f(x)的极值点 ,求 m,并讨论 f(x)的单调性 ; ( )当 m2 时 ,证明 f(x)0. 分析 :当 m2 时 ,由 f (x)=是超越函数 ,其零点不可求 ,因 此 f(x)的 最小值 无法 确定 ,从而 证明 f(x)0 受阻 ;换个角度 :当 m2 时 ,f(x)=x+m) x+2);熟知的函数放缩式 :x+1,ln(x+2) x+1 即可证明 . 解析 :( )f(x)的定义域为 ( );由 f(x)=x+m) f (x)=;由 x=0 是 f(x)的极值点 f (0)=0 m=1 f (x)=x f(x)=)1( 1x0 f (x)在 ( )内单调递增 当 x ()时 ,f (x)f (0)=0 f(x)在 (0,+ )内单调递增 ; ( )当 m2 时 ,f(x)=x+m) x+2),故只需证明当 m=2 时 ,f(x)=x+2)0;由熟知的函数放缩式 :exx+1(x=0 时 ,等号成立 ),ln(x+2) x+1(x= ,等号成立 ) f(x)=x+2)(x+1)-(x+1)=0; 点评 :函数放缩式 :x+1(当且仅当 x=0时 ,等号成立 ),且仅当 x=1时 ,等号成立 ) 具有直观的几何意义如图 ,它们是一类高考试题命制的出发点 ,是放缩法在函数不等式问题中应用 的基本放缩式 . 子题类型 :(2012 年 山东 高考 理科 试 题 )已知函数 f(x)=xe kxln(k 为常数 ,e=2071828 是自然对数的底数 ),曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线与 x 轴平行 . ( )求 k 的值 ; ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设 g(x)=(x2+x)f (x),其中 f (x)为 f(x)的导函数 ,证明 :对任意 x0,g(x)0 时 ,由熟知的 函数放缩 式 :exx+10 00,则 h (x)=)=0 f (x)0 f(x)在 (0,1)上单调 递增 ;当 x (1,+ )时 ,h(x)x+10 00),则 (x)= (x)在 (0,单调 递增 ,在 ( )上单调 递减 x)= (1+11+点评 :研究关于函数 f(x)的不等式 ,把 f(x)分离为乘积式 m(x)g(x)是 放缩法 的一种 重要应 用 形式 ,其中 ,m(x)恒正或恒负 ,且其 取值 范围易于确定 ,由此可把 关于函数 f(x)的不等式 问题转化为 关于 函数 g(x)的不等式 问题 ,而函数 g(x)相对于函数 f(x)较简单 ,这样可利于问题 的 解决 . 子题类型 :(2013 年 辽宁 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1时 , ( )求证 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . 分析 :本题的第 ( )与 ( )问具有递进关系 ,由第 ( )问 :(1+x)1得 :f(x)-g(x) -x(a+1+22x+2由第( )问 :(1+x)x11可得 :f(x)-g(x) -x(x11+a+22x+2由此问题转化为 :a+1+22x+20 恒成立 ,且存在x 0,1,使x11+a+22x+2. 解析 :( )当 x 0,1时 ,由 1f(x) 1(1+x)(1+x)(1-x) h(t)=(1-t)et,t ,则 h (t) =当 t 0,1时 ,h (t) 0 h(x) h(0)=1;当 t 时 ,h (t) 0 h(h(t) h(0)=1 h( h(x) (1+x)(1-x)1f(x);又由 f(x) x11 (1+x)x11 (1+x)2 x+1 成立 ; ( )由 f(x)-g(x)=(1+x)3x+1+2 (1(3x+1+2-x(a+1+22x+2设 G(x)=22x+2 G (x)=G (x)=1x 0,1) ,f(x)g(x) 在 0,1上不恒成立 ;由 f(x)-g(x) =(1+x)3x+1+2x11-(3x+1+2-x(x11+a+22x+2令 H(x)=x11+a+22x+2x11+a+G(x),则 H (x)=( 1x+G (x)a+30 存在 0,1),使得 H(0,此时 f( 时 ,f(x)1. 4.(2012 年 山东 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=xe kxln(k 为常数 ,e=自然对数的底数 ),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)的切线与 x 轴平行 . ( )求 k 的值 ; ( )求 f(x)的单调区间； ( )设 g(x)=(x),其中 f (x)为 f(x)的导函数 ,证明 :对任意 x0,g(x)1 时 ,x x 1 x +21 1 (*);令 g(x)=h(x)=g (x)=1+ x)=g(h (x)= x)=h(1)=因 g(x)的最小值与 h(x)的最大值不在同一点取得 x)- x)x)x)+ (*)式成立 . ( )f(x)的定义域为 (0,+ ),由 f(x)=xe kxf (x)= 由 曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线与 f (1)=0 k=1; ( )由 ( )知 ,f (x)= 令 h(x)=x0,则 h (x)=)=0 f (x)0 f(x)在 (0,1)上单调 递增 ;当 x (1,+ )时 ,h(x)0 00),则 (x)= (x)在 (0,单调 递增 ,在 ( )上单调 递减 x)= (1+11+( )当 a=21时 ,由 f(x)=x(21f (x)=x+1)(由此 列表如下 :由表知 ,f(x)在 (- , (0,+ )上 单调 递增 ,在 ()上 单调 递减 ; ( )当 x 0 时 ,f(x) 0 当 x 0 时 ,x( 0 当 x 0 时 ,0 ;由 x+1 知 ,当 a 1 时 ,x+1 恒成立 ;当 x (0,1)时 ,可证 : ,x1122,且 ,不等式 ax+3x+2