14_5042177_21.平行六面体模型的解题功能

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 平行六面体模型的解题功能 模型解题法之 十 平行六面体与四面体具有较密切的“母子相依”关系 ,关于四面体的问题 ,可 把 四面体放置到平行六面体中 ,以扩大解题活动的空间 ,构造恰到好处的参照物 母题结构 :以平行六面体 、 D、 1为平行六面体 而平行六面体 1母体 若子体是正四面体 ,则母体是正方体 ;若母体是长方体 ,则子体的各面是锐角三角形 ;若子体的各面是全等三角形 ,则母体是长方体 ;若母体的各面是菱形 ,则子体对棱的平方和相等 . 母题 解 析 :如图 : 四面体 正四面体 1D 四边形 矩形 ,同理可得 : 平行六面体 又由 D=D=平行六 面体 显然 正确 ;设 a,BD=b,c,由各面是全等三角形 b, c,a 子体的对棱相等 母体是长方体 ;母体的各面是菱形 子体对棱的平方和相等 . 子题类型 :(2009 年安徽高考 文科 试题 )对于四面体 列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 相对棱 D 所在的直线是异面直线 ;由顶点 A 作四面体的高 ,其垂足是 条高线的交点 ;若分别作 边 的高 ,则这两条高的垂足重合 ;任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 ;分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点 . 解析 :把四面体 置到平行六面体中 ,如图 ,显 然 ,正确 ;对于 ,若垂足 条高线的 交点 H,则 因 面 以 , 不正确 ;同理可知 , 不 正确 ;类比三角形二边之和大于第三边知 正确 ;分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段 相 交于 行六面体中心 ,故 正确 命题正确的是 : . 点评 :把 四面体 放置到 平行六面体 中 ,利用其 母体 平行六面体 是研究 四面体 的基本方法 . 子题类型 :(2000 年第 十 一 届“希望杯”全国数学邀请赛高 一 试题 )己知 四面体 , ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)300 解析 :把四面体 置到平行六面体中 ,如图 ,设 a,b,c,则 b+c, B =a+c,C =B =a+b,由 (b+c)2+(=(a+c)2+( b2= (a+b)= A). 点评 :把 四面体 放置到 平行六面体 中 ,可以使用基底向量法 ,妙解 四面体 问题 . 子题类型 :(1997 年 第 八 届“希望 杯”全国数学邀请赛 高 一 试题 )三棱锥 底面是正三角形 ,A 点在侧面 是 垂心 ,且二面角 大小为 300,则 B= . 解析 :把四面体 置到平行六面体中 ,如图 ,设 a,b,c,由 A 点在侧面 的射影 H 面 面 理可 证 : C 平行六面体 的各面均为菱形 |a|=|b|=|c|;由 正三角形 | |a+c|=|b+c| ac=|a+b|=| A=点 S 在面 射影 O 为 中心 ;作 E,取 中点 F,则 二面角 平面角 00;设 3 C=2 3 B=332. 点评 :若四面体四条高交于一点 ,则 称 四面体 为垂心四面体 ,这 点就叫该四面体的垂心 ;垂心四面体 的母体是 所有棱长相等 的平行六 面体 . 1.(2009 年安徽高考 理 科 试题 )对于四面体 列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 相对棱 在的直线是异面直线 ;由顶点 A 作四面体的高 ,其垂足是 条高线的交点 ;若分别作 边 的高 ,则这两条高所在直线是异面直线 ;分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点 ; 最长棱必有某个端点 ,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 . 2.(2009 年 江西 高考试题 )如图 ,在四面体 ,截面 则在下列命题中 , 错误的为 ( ) (A) (B)面 (C)D (D)异面直线 成的角为 450 3.(2012年 重庆 高考试题 )设四面体的六条棱的 长分别为 1,1,1,1, 2 和 a,且长为 的棱异面 ,则 ) (A)(0, 2 ) (B)(0, 3 ) (C)(1, 2 ) (D)(1, 3 ) 4.(2010年 辽宁 高考试题 )有四根长都为 2的直铁条 ,若再选两根长都为 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 ,则 a 的取值 范围是 ( ) (A)(0, 6 + 2 ) (B)(1,2 2 ) (C)( 6 - 2 , 6 + 2 ) (D)(0,2 2 ) 5.(2008 年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )四面体的 6 个二面角中至多可能有 ( )个钝角 . (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 6.(1986 年 上海市高中数学竞赛 试题 )空间四边形的两组对边的平方和相等 ,那么它的两条对角线所成的角是 度 . 7.(1999 年全 国高中数学联赛 试题 )已知三棱锥 S底面是正三角形 ,A 点在侧面 的射影 H 是 垂心 ,二面角 H 的平面 角等于 30, 3 体积为 . 8.(2010 年同济大学保送生考试数学试题 )四面体 , 对棱 ,设 AB=a,CD=b,且异面直线 的距离为 d,夹角为 .( )若 =2,且棱 四面体 ( )当 =2时 ,证明 :四面体 ( )求四面体 体积 把四面体 置到平行六面体中 ,如 文科 图 , , , ,同 文科 题 ;对于 ,如上图 ,最长棱 端点 C 引出的另两条棱为 中 D,所以 ,DD确 命题正确的是 : . 把四面体 置到平行六面体中 ,故选 (C). 设四面体 ,BC=a,2 ,把四面体 置到平行六面体中 ,在 ,因为两边之和大于第三边可得 : 0 2 3 ;由 E12a + 3 2,且 12a 3 +2 )324(2 a )324(2 6 - 2 a 6 + 2 ; 若异面 ,设 D=a,则 四面体 对棱相为长方体的内接 四面体 锐角三角形 2+22 0a2 2 a 的取值 范围是 (0, 6 + 2 )A). 在 如 图 所示的四 面体 顶点 钝角 ; 此时 ,另外 三个二面角 ,这是因为点 内部 四面体的 6个二面角中至多可能有 3个钝角 (A) 同 子 题 ,两条 对角线所成的角是 900. 同