16_4256778_61.空间向量的基本问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 空间向量的基本问题 空间向量的基本运算 空间向量的定义、表示、运算意义、运算法则和运算律等均与平面向量类似 ,学习、理解、认识空间向量最有效的途径是与平面向量进行类比 . 母题结构 : 平面向量 空间向量 向量的坐标 a=(x,y); 若 A(x1,B(x2,则 ( 向 量的坐标 a=(x,y,z); 若 A(x1,y1,B(x2,y2,则 ( 向量的运算 :若 a=(x1,b=(x2,a b=(x2, a=( R) a.b=向量的运算 :若 a=(x1,y1,b=(x2,y2, 运算 :a b=(x2,y2, a=( R) a.b=基本结论 :a=(x1,b=(x2,b x1:x2=y1:b ; 3.|a|= 2121 ;22221212121 基本结论 :a=(x1,y1,b=(x2,y2, b x1:x2=y1:y2=z1:b 3.|a|= 212121 ;22222212121212121 解 题 程序 :空间向量与平面向量类似有三种表示向量的方法 :解析向量 (用坐标方式表示的向量 );几何向量 (用始点和终点表示的向量 );自由向量 (用小写字母表示的向量 );在高考中 ,存在对应的三类基 本 问题 , 子题类型 :(2014 年 广东 高考试题 )已知向量 a=(1,0,则下列向量中与 a 成 600夹角的是 ( ) (A)(,0) (B)(1,) (C)(0,) (D)(,1) 解析 :设所求向量 b=(x,y,z),由 a|b|xz,且 2(=x2+y2+B). 点评 :空间向量 与平面向量 的区别是 解析形式 ,即坐标表示 ,平面向量 是 二维 坐标 ,空间向量 则是三 维 坐标 ,但其运算法则 及 基本结论 等 都是 类 似 的 . 子题类型 :(2001 年 上海 高考试题 )如图 ,在平行六面体 M 为 交点 ,若 11a, 11b, 等的向量是 ( ) (A)1b+c (B)21a+21b+c (C)21c (D)c 解析 :由 M 为 中点 21( =21(a+c)+(b+c) 111b+A). 点评 :空间向量 的 几何 向量 与平面向量 的表示和运算 完全 相同 ,仅表现在 几何图形的拓展上 ;平行四边形可直观表 现两个向 量 加、减运算的几何意义 ,而直观表 现 三个向 量 加、减运算几何意义的基本模型是 平行六面体 . 子题类型 :(2015 年 浙江 高考试题 )已 知 e1,空间向量 b 满足 ,对于任意 x,y R,|b-( |b-(=1(x0,R),则 ,|b|= . 解析 :如图 ,令 B =M =N =C =P =b,则 b-(由 |b-( |b-(=1 当 |=1 时 ,面 时 ,由 b=( CP e1,CP 2=15=21x0+, |=1,|=2 |= 7 |b|=|=2 2 . 点评 :对 空间自由向量 ,通过 赋予 自由向量 的几何意义 ,然后在立体图形中解决相关问题 ,这是一个有效的方法 ;在本题中 ,构造 向量 b-(并由此给出模不等式 的几何意义 是上述解法中最为精彩之处 . 1.(2008 年 课标 高考试题 )已知向量 a=(0,),b=(4,1,0),| a+b|= 29 ,且 0,则 = . 2.(2010 年 广东 高考试题 )若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件 (2b)= x= . 3.(2010 年复旦 大学 保送生考试 试题 )设 非零向量 a=(a1,a2,b=(b1,b2,c=(c1,c2,共面向量 ,x=(x1,x2,未知向量 ,则满足 ,的向量 x 的个数是 ( ) (A)1个 (B)无穷多个 (C)0个 (D)不能确定 4.(2007年安徽高考试题 )在四面体 a,b,c,则 (用 a,b,. 5.(2012 年 陕 西 高考试题 )如图 ,在空间直角坐标系中有直三棱柱 A=直线 直线 ) (A)55(B)35(C)552(D)536.(2012 年全 国高中数学联赛福建 初赛试题 )已知四面体 个顶点的坐标分别为 A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1), D(0,0,0),则直线 平面 成角的正弦值为 ( ) (A)31(B)33(C)32(D)367.(2008年全 国高中数学联赛山东 初赛试题 )在四棱锥 P (4,),(,0),(,则这 个四棱锥的高 h=( ) (A)1 (B)2 (C)13 (D)26 8.(2001年 课程 高考试题 )如图 ,以正四棱锥 为坐标原点建立空间直角坐标系 其中 y 为 中点 ,正四棱锥底面边长为 2a,高为 h. ( )求 )记面 ,面 ,若 平面角 ,求 9.(2003 年 上海 春招 试题 )已知三棱柱 某个空间直角坐标系中 ,(2m,), (m,0,0), 1(0,0,n)(其中 m、 n0) ( )证明 :三棱柱 ( )若 m= 2 n,求直线 1 10.(1995 年 上海 高考试题 )如图 ,在空间 直角坐标系中 ,原点 O 是 中 点 ,点 A 的坐标是 (23,21,0),点 D 在平面 ,且 00, 00. ( )求向量 坐标 ; ( )设向量 夹角为 ,求 值 . 10.(2000年 上海 春招 试题 )四棱锥 底面 (2,4),(4,2,0),(, ( )求证 :面 ( )求四棱锥 体积 ; ( )对于向量 a=(x1,y1,b=(x2,y2,c=(x3,y3,定义一种运算 :(a b)c=计算 ( 绝对值的值 ;说明其与四棱锥积的关系 ,并由此猜想向量这一运算 ( 绝对值的几何意义 . 由 | a+b|= 29 42+(1)2+ 2=29 =3. 由 (2b)=(0,0,12,4,2)=x=2. 3,解 :由 向量 x 是 a,b,c 所在