在库伦摩擦下,未结合之复合板材结合轧延理论分析

- 1 -在庫倫摩擦下，未結合之複合板材非對稱結合軋延理論分析核定計畫編號：YTIT-89-RD-E003計畫主持人：鄒國益、黃敏郎單位：機械工程系摘 要本研究假設滾輪與複合板材界面摩擦為庫倫摩擦即( ),利用切片法建立出未結合複合板材p軋延加工解析模式,模式中可求出在不同的軋延條件下,如複合板厚比、壓下率、摩擦係數、摩擦係數比、剪降伏應力比、前後方張力等條件對於軋延壓力分佈、複合板材水平應力、各層板材之水平應力、板材間界面之剪應力、軋延負荷及扭矩之影響。然而在模式中,因複合板未預先結合,待軋延後才結合,故其出入口複合板厚比會有所不同。在模式中可求出在滾輪間隙內複合板材開始結合之位置及出口複合板厚比,並可利用此模式預先預測出複合板材結合之軋延條件,以利於規劃實際進行結合軋延之條件,可提供給軋延工業之參考。關鍵詞：結合軋延、結合點、複合板厚比。一、前言非對稱軋延情況可分為三種,一為幾何條件非對稱,例如上下滾輪直徑不同；二為加工條件非對稱,例如上下滾輪周速不同或上下摩擦係數不同,三為板材非對稱,例如兩層不同材質之板材軋延。本研究針對在異徑同周速下板材非對稱軋延情況加以分析,如圖 1 所示。圖1 為未結合複合板材軋延示意圖。近年來,由於複合板材具有預防腐蝕及摩擦、強度高重量輕等優點,已廣泛應用於不同工業,例如具有不銹鋼與銅之複合板材可具有不銹鋼之高強度及銅之良好熱及電傳導性。其複合板材製造方法不外乎有(1)熱壓熔接(Hot pressure welding)、(2) 擴散熔接(Diffusion welding)、(3)爆炸熔接(Explosion welding)、(4)冷熱間結合軋延 (Cold and hot bond rolling)。其中結合軋延是一種廣泛被採用且經濟又有效之複合板材製造方法,如圖 1所示。由於兩層材料之塑流應力不同,基本上仍屬於非對稱軋延之範疇。複合板材之相關研究可分為實驗性研究1-6及理論性研究7-17。其中 Shitsuden et al. 1在異徑異周速下,利用不銹鋼及軟鋼進行熱間結合軋延,以探討複合板材之邊緣形狀,其認為當硬層材置於小滾輪或速度較快且有潤滑之滾輪上,複合板材會有較均勻之邊緣形狀。Bay et al.6利用 Al-Zn 合金及軟鋼進行結合軋延實驗,其認為在同徑異周速進行複合板軋延結合所得之結合強度比在同徑同周速- 2 -下來得高,約提升了 20-30%。而且兩層材欲完全結合之壓下率,前者為 50%,後者為 65%,也就是說利用同徑異周速軋延之效率較高。在理論性研究中,所採用之方法有切片法、上界限法及有限元素法。Suzuki et al. 7-9假設界面為庫倫摩擦 ,利用切片法及 Runge Kutta 數值分析法求出在滾輪間隙內複合板材應力場之分佈。Kiuchi et al.10-13利用上界限法探討複合板材之變形行為,假設摩擦為定剪摩擦。但是複合板材應力場分佈無法利用此方法求得。Hamamuzu14及 Shiyouya et al.15利用有限元素法探討複合板厚比、塑流應力比對於等效應力及應變分佈與軋延負荷之影響。以上所用之方法皆須利用數值分析法求解,需要較多之計算時間,對於軋延負荷及軋延扭矩之預估較不適合軋延工業線上作業。對於軋延負荷及軋延扭矩之預估,切片法較適合線上使用,然而 Suzuki 雖利用切片法建立模式,但仍用 Runge Kutta 數值分析法求解,浪費不少計算時間。因此李奎毅等16則假設在定剪摩擦下,首先以理論推導而不用Runge Kutta 數值分析法求解,具有相當不錯之分析結果,但對於兩層板材間界面剪應力尚有爭議,故本研究主要針對 Suzuki 之數值分析模式之缺點來加以改進,假設庫倫摩擦下建立出兩種解析模式,一為已結合複合板材軋延解析模式( ),模式 I 則參考陳永龍等17加Model以建立完成,二為未結合複合板材結合軋延解析模式( )。模式 I 不在此詳加敘述。l二、模式建立本章假設在庫倫摩擦下，利用解析手法推導出未結合之複合板材結合軋延之解析模式，以探討複合板材結合軋延時 軟層材已降伏，(硬層材未降伏 ，在滾輪間隙內之各種應力)狀態。由於軋延前複合板材並未完全結合，故在滾輪間隙入口處，因兩層板材特性不同，且兩層板材尚未完全降伏，故在滾輪間隙內之應力型態與預先已結合之複合板材軋延有所不同。利用此解析模式可容易計算出滾輪與複合板材之中立點，沿著滾輪與複合板材接觸面之壓力分佈、複合板材水平應力、各層板材水平應力、板材間界面剪應應力、軋延負荷、軋延扭矩等軋延特性。本章最重要的是能求出在兩層板材界面上開始結合之位置 及)(bx出口板厚比 。再者，在相同軋延條件下，)(o本章所推導之解析模式所用之計算時間比使用傳統 Runge Kutta 數值分析模式節省許多，並利用此解析模式可找出兩層板材結合之加工條件，提供給實際進行結合軋延加工之參考，以避免進行結合軋延時產生無法結合之現象。總之，利用本研究所提出之解析模式，可求出軋延壓力分佈板材間界面剪應力、軋延負荷、軋延扭矩之完整公式，適合軋延線上製程。由於本模式則是複合板材在軋延前並未結合，經軋延後產生結合，故在入口區，複合板材並未結合，故其複合板材間之界面摩擦假設為 即 ，結合後則假mp()mp設為 。圖 1 為未結合之複合板材非對稱結合軋延示意圖，假設上下滾輪直徑不同，在異徑同周速下進行結合軋延，在整個接觸長度內只有一個中立點 產生，由於兩層板材軋)(nx延前並未完全結合，故在進入滾輪間隙入口處附近 區域 I ，其中軟層板材 1 已降伏，(硬層板材 2 並未降伏，直至結合點 後，)(bx兩層板材同時降伏且產生結合，故在滾輪間隙內之塑性變形區域可分為三個區域，區域I 為兩層板材未結合區，區域 II)(Lxb及區域 III 分別為兩n )(nx0層板材已結合區。圖 2 為區域 I 之應力元素- 3 -圖，圖 3 為區域 II 及 III 之應力元素圖。區域 I 為兩層板材未結合區，因硬層材 2 未降伏 ；造成兩層板材之界面接觸)(2kqp角 等於滾輪接觸角 ，即硬層材之厚)m)(2度 並未改變，故滾輪間隙內之板厚(2ih等於 。因軟層材 1 已降伏 其降伏2i1 (條件為 ，故必須先由軟層材來1kqp)加以建立模式。區域 I 之範圍為 。Lxb2.1 區域 I )(Lxb板材 1：已降伏，降伏條件為 ，1k2qp則 。dpq整合水平方向和垂直方向力平衡方程式可得：(1)0tanptapdxhm211 ， ， m1p利用降伏條件、幾何條件、摩擦條件可得：(2)z2fadz112)(其中 ，1Dx， ，1k2pf2ioeq1ehRam1e， )(2ioeq取 tanz利用工程數學可求得區域 I 之比軋延壓力為)(If(3)(1a2ec1a1其中 11IDxtn,k2pf板材 1 之水平應力 為)(IqIIq板材 2：未降伏，未降伏條件為 ，2kqp其中 ，則 。ih0dx2同理整合板材 2 之水平和垂直方向之力平衡方程式可得(4)0pdxqh2m2i )(及 為積分常數，必須由邊界條件決定之。1c求解上式可解得板材 2 之水平應力 為)(2q(5)q112 cQDBkq)(塑性變形區域可分為三區域，故邊界條件亦分為三個區域：區域 I ：)(i)(Lxb在入口處，施加板材 1 之後方張力1即 ， 故iqi或 1iq1iik2f利用此邊界條件可求得 為1c(6)(afeci21ia11i 其中 11iDLtan在入口處，施加板材 2 之後方張力)(2即iq，Lx2i利用此邊界條件可求得 為qc(7)(2i1i12iq QDBkc其區域 I 之硬層材水平應力 為Iq(8)2112I c)(區域 I 之整體複合板材之水平應力 可利)(I用 求得為21qh- 4 -(9)2i1II2I1II hqhqq結合點 之求得)(3)(bx在 ，硬層材剛好降伏，其降伏條件為。2kqp利用此降伏條件可求得下 )()( 211b b1b2a QDBec (10)1qk區域 I 之比界面剪應力， 為I1mk)(11)1mp)(2.2 區域 II ，)(bnx212e區域 II 及區域 III 中，兩層板材已產生結合，其軋延壓力之型式與模式 I 相同，所不同的是出入口板厚比( 及 )，其中 ，oi i1ih而 ，故 。o1bohi其區域 II 之比軋延負荷 可求得為)(If(12)a2ecfa2I 其中，oeq2hRa)(o12ok利用在 處之比軋延壓力連續之觀念，即bx，可求得 為If2c2c )()(1a1aeb2b21a1abb (13)區域 II 之比界面剪應力 為I1mk)(14)62415I1mk)(2.3 區域 III ，)(nx0213e在出口處之邊界條件，在 或 施0()加前方張力 oq故 1ok2f其中 為作用於複合板材出口處之前方張力。q由此邊界條件可得區域 III 之積分常數 為3c(15)23o3afc所以區域 III 之比軋延壓力 為If(16)(1ecf32a3I 其中oeq3hRa區域 III 之比界面剪應力 為I1mk)(17)634152I1m)k(2.4 中立點位置之決定利用區域 II 及區域 III 在 處之比軋延壓nx力相等之觀念求出中立點 之位置，即)(。Ip(18)3n2aB23 Bec3n1利用雙區間法可輕易求得中立點 之位置。)(nx2.5 軋延負荷軋延負荷 可利用三區域之軋延壓力分段)(P積分求得 nbbnx0LxIxII dpdp(19)IIP- 5 -2.6 總軋延扭矩上下滾輪之軋延扭矩 及 可從滾輪與複1T()2合板材界面摩擦剪力對滾輪中心取力矩求得 (III11 PRT(20)(I2II22(21)PR總軋延扭矩為(22)21T三 結果與討論圖 4 為未結合複合板材結合軋延之各種應力分佈。其中 為比軋延壓力分佈，1k2p為比水平應力分佈， 及1k2q1k2q分別為軟硬層材之水平應力分佈，為複合板材之比界面剪應力。在結合m軋延過程中，會有結合點 產生，在結合)x(b點處其界面剪應力分佈有不連續現象產生。當結合後，界面剪應力有減少現象。在複合板材中，板材 1 為軟層材，板材 2 為硬層材，在結合點前，由於硬層材並未被降伏，直到通過結合點後，硬層材才開始降伏，此時複合板材已是結合狀態，所以區域 II 及區域 III之應力分佈情形和預先結合軋延模式相同。各種應力除了界面剪應力外，其餘應力至中立點時有最高值，經過中立點後，應力分佈值均降低。在出入口處時，硬層材受軟層材之影響，有部分拉應力產生。圖 5 為不同入口複合板厚比下各種應力分佈。當入口複合板厚比 增加時，代表)(i軟層材占複合板之比例較大，因軟層材占較多，故較易成形，各種應力(除界面剪應力外)逐漸減少。其中立點位置會因 增加而逐漸靠i近出口處。由於複合板材在軋延前並未結合，我們必須注意結合點 之變化，增加)(bx即會使結合點接近入口處，代表較快結合。i當 較小時，代表硬層材較多，故在入口區之比軋延壓力有較大值。而硬層材在出入口處皆有拉應力產生，且因 增加而增加。i圖 6 為不同摩擦係數比下各種應力分佈。當固定軟層材之摩擦係數 為 0.1 而增加)(1硬層材之摩擦係數 時，各種應力值會隨2之增加，而中立點亦因此而逐漸遠離出口處，而對結合點而言，則會逐漸遠離入口處，代表較慢結合。也就是說，硬層板材潤滑較差時，會影響結合點。所以增加硬層板材之潤滑有助於結合。圖 7 為不同入口複合板厚比下，壓下率對軋延負荷及扭矩之影響。由圖中可知，在固定入口複合板厚比 下，當壓下率增加)(i時，則軋延負荷及扭矩皆增加，在固定壓下率下，當 增加時，則軋延負荷及扭矩則會i減少，其中以軋延負荷之減少較為明顯。圖 8 為不同界面摩擦係數下，壓下率對軋延負荷及扭矩之影響。由圖中可知，在固定界面摩擦係數 下，當壓下率增加時，)(m軋延負荷及扭矩皆增加。在固定壓下率下，當 增加時，其軋延負荷及扭矩皆增加。m圖 9 為不同等效滾輪半徑板厚比下，壓下率對於 ， ， 影響。為了探討oLxnb在不同的等效滾輪半徑板厚比 對結)(ieqhR合長度的影響，由圖中可知，在同一壓下率下，當 增加時，會使 ， 之值ieqhRoLxn減少，而 增加，即代表較快產生結合。Lxb代表相對薄之板材軋延較易於結合。圖 10 為不同摩擦係數比下，壓下率對於， ， 之影響。由圖中可知，oxnb- 6 -在固定壓下率下，當摩擦係數比 增)(12加時，代表硬層材潤滑較差， 其 及o皆減少，代表兩層板材較慢結合且受Lxb壓縮程度較大。而 則增加，其因Lxn增加會使得軋延壓力增加，且中立點12往入口處移動。當 比為 1.5 時，則出12入口處之複合板厚比變化較大。當時，代表硬層材潤滑較好，其 ，5.012o皆增加，代表較快結合，故當硬層材Lxb潤滑較佳時，有助於結合。四 結論與建議4.1 結論本研究假設滾輪與複合板材界面摩擦為庫倫摩擦，並建立出未結合之複合板材結合軋延解析模式，有系統地探討如複合板厚比、壓下率、摩擦係數、摩擦係數比、剪降伏應力比、前後方張力對於軋延壓力分佈、複合板材水平應力、各層板材之水平應力、板材間界面之剪應力、軋延負荷及扭矩之影響，其模式 I 的各種軋延特性如表 1 所示。因在模式中可預先預測出複合板結合之條件，以利於訂定實際軋延之實驗條件。故針對模式 II 的各種軋延特性提出以下結果，如表 2所示：(1) 當入口板厚比、壓下率、板材間摩擦係數、硬層材所施加之後方張力及滾輪等效半徑板厚比時，結合長度增加，複合板材在滾輪間隙內較快結合。(2) 增加摩擦係數、摩擦係數比、前方張力及滾輪半徑板厚比，會使複合板材提早產生中立點位置。(3) 增加入口處之複合板厚比、等效滾輪半徑板厚比、前方張力及軟硬層材所施加之後方張力時，會使軋延負荷減少並節省能源。(4) 增加入口處之複合板厚比、等效滾輪半徑板厚比、前方張力時，會使軋延扭矩減少。(5) 減少壓下率及增加滾輪與複合板材間摩擦係數、硬層材所施加之後方張力及等效滾輪半徑板厚比時，會使出口處之複合板厚比變化減少，較接近入口處之複合板厚比。(6) 當壓下率太小、上下滾輪摩擦係數及軟硬層材強度相差太大，會造成複合板材不易結合。4.2 建議本研究主要針對未結合之複合板材結合軋合解析模式加以探討，因為假設滾輪與複合板材界面摩擦為庫倫摩擦(即 )，較合p乎實際所以板材間界面之剪應力、軋延壓力、各層板材水平應力、軋延負荷及扭矩等之預估應值得採信。希望以後實際進行實驗加以驗證，以了解模式之適用性。再者本研究在異徑同周速下建立複合板材軋延解析模式，以後可經由本研究所提出之解析手法加以延伸建立異徑異周速下複合板材非對稱軋延解析模式，對於學術及工業有相當之助益。五.參考文獻1Shitsuden et al., The strain analysis of clad sheet rolling , Proc. 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(In Japanese)16李奎毅,簡漢儒,劉俊呈,在定剪摩擦下，複合板材非對稱冷熱間結合軋延之分析，永達技術學院畢業生專題製作論文,1999。(國科會專題研究計畫,NSC-88-2212-E-132-02)17陳永龍,顏敏宏,張善理,複合板材冷熱間非對稱軋延極限情況之分析,永達技術學院畢業生專題製作論文,1999。(國科會大專生研究計畫,NSC-89-2815-C-132-003-E)誌謝: 感謝永達技術學院專題研究計劃之補助與支持。計劃編號:YTIT-89-RD-E-003- 8 -表 1 庫倫摩擦下，已結合之複合板材軋延的各種軋延特性之整理 Model()I1k2P1q1k22q1mkPTLxnr121koqi表 2 庫倫摩擦下，未結合之複合板材軋延的各種軋延特性之整理 Model()I1kP12q1k2q1mkPTLxnboir12m1koqi12ihR代表隨軋延條件增加而增加代表隨軋延條件增加而僅少許改變代表隨軋延條件增加而減少- 9 -圖 1 未結合之複合板材結合軋延示意圖圖 2 在區域 之元素應力狀態I圖 3 在區域 及區域 之元素應力狀態II圖 4 未結合複合板材結合軋延之各種應力分佈R2VXbVR1 hi1i2qi1i2Xho1o2 LXnII12qo y2dsp2ds hi2q+d(h2)hi2q22ds1=s2dsm=xxcoscosmsmsmspmdspd1dxh1q+(1)1dsp1dsh1q2 2dsp2dsh2q+d(2)h2q2ds1=2dsm=xxcoscosmmsmspdpmds1xh1q+(1)1dsp1dsh1qm0123456789-0123R2 /1=., 0m,hi =2., k51 98MPaqoi12 0,.6=0.1m /k1p/k1 q/21 q2 / q1 /2k xn p/k1 , /k , ,1 m x EXITENTRAC,r3%/()o