受扭钢丝软轴的强度及刚度计算.pdf

1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 受 扭 钢 丝 软 轴 的 强 度 及 刚 度 计 算 X何 天 淳 1 , 姚 文 斌 2(1. 昆 明 理 工 大 学 ,云 南 昆 明 650093 ; 2. 昆 明 理 工 大 学 建 筑 工 程 学 院 ,云 南 昆 明 650093)摘 要 : 将 钢 丝 软 轴 看 作 由 许 多 直 径 不 同 的 螺 旋 钢 丝 叠 套 在 一 起 组 成 的 弹 簧 钢 丝 簇 . 再 将 螺 旋 钢丝 简 化 为 受 力 矩 作 用 的 曲 杆 ,根 据 曲 杆 理 论 ,导 出 了 单 层 扭 转 螺 旋 弹 簧 钢 丝 的 应 力 及 变 形 公 式 .文 中 探 讨 了 为 保 证 钢 丝 软 轴 的 正 常 工 作 ,并 同 时 发 挥 各 层 螺 旋 弹 簧 钢 丝 的 作 用 ,各 层 钢 丝 几 何 参数 应 满 足 的 条 件 ,并 最 终 获 得 了 钢 丝 软 轴 的 应 力 和 变 形 公 式 .关 键 词 : 钢 丝 软 轴 ;弹 簧 ;强 度 ;刚 度 ;应 力 ;变 形中 图 分 类 号 :O346 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :1007 - 855X(2000) 04 - 050 - 060 引 言钢 丝 软 轴 由 于 其 具 有 良 好 的 挠 性 及 抗 冲 击 性 ,因 而 被 广 泛 应 用 于 可 移 式 机 械 化 工 具 、 混 凝 土 振 动 器 、砂 轮 机 、 医 疗 器 械 以 及 里 程 表 、 遥 控 仪 等 传 动 中 .钢 丝 软 轴 通 常 是 由 二 组 或 多 组 不 同 直 径 的 钢 丝 分 层 缠 绕 而 成 (如 图 1) . 卷 绕 时 ,把 几 根 钢 丝 并 排 地 紧密 缠 绕 在 芯 杆 上 ,且 相 邻 两 层 钢 丝 的 旋 向 相 反 . 绕 完 后 ,可 将 芯 杆 抽 出 ,也 可 保 留 . 最 外 层 钢 丝 的 旋 向 为左 旋 的 称 为 左 旋 软 轴 ,为 右 旋 的 称 为 右 旋 软 轴 . 在 传 递 动 力 (扭 矩 )时 ,其 转 动 方 向 必 须 与 最 外 层 钢 丝 的 旋向 相 反 .图 1 钢 丝 软 轴 的 绕 制长 期 以 来 ,钢 丝 软 轴 设 计 计 算 往 往 根 据 粗 略 的 经 验 方 法 . 有 关 设 计 手 册 均 未 给 出 软 轴 钢 丝 的 应 力 强度 条 件 及 变 形 刚 度 条 件 ,至 于 软 轴 各 层 钢 丝 几 何 参 数 之 间 的 关 系 及 结 构 的 优 化 等 问 题 几 乎 未 见 相 关 研 究和 报 道 . 显 然 ,研 究 受 扭 钢 丝 软 轴 的 应 力 和 变 形 ,将 是 钢 丝 软 轴 的 科 学 设 计 计 算 理 论 的 重 要 前 提 条 件 .根 据 钢 丝 软 轴 的 结 构 特 点 ,笔 者 将 钢 丝 软 轴 看 成 是 由 两 个 (或 多 个 ) 直 径 不 同 的 圆 柱 螺 旋 钢 丝 叠 套 在一 起 组 合 而 成 的 弹 簧 钢 丝 簇 ,且 近 似 认 为 各 层 螺 旋 钢 丝 之 间 不 产 生 相 互 挤 压 和 摩 擦 . 这 样 受 扭 钢 丝 软 轴的 计 算 问 题 实 质 上 就 简 化 为 螺 旋 钢 丝 受 扭 矩 作 用 下 的 强 度 、 刚 度 的 计 算 问 题 .1 受 扭 圆 柱 螺 旋 钢 丝 的 应 力 及 变 形 分 析为 便 于 研 究 ,取 单 层 圆 柱 螺 旋 钢 丝 分 析 ,将 螺 旋 弹 簧 钢 丝 简 化 为 受 力 矩 作 用 的 曲 杆 来 考 虑 .1. 1 单 层 螺 旋 弹 簧 钢 丝 应 力 及 变 形 的 近 似 计 算图 2 为 一 承 受 扭 矩 M 的 螺 旋 弹 簧 钢 丝 . 取 钢 丝 的 任 意 剖 面 B B ,扭 矩 M 对 此 剖 面 作 用 的 载 荷 为 一第 25 卷 第 4 期 昆 明 理 工 大 学 学 报 Vol. 25 No. 42000 年 8 月 Journal of Kunming Unversity of Science and Technology Aug. 2000X 收 稿 日 期 :1999 - 09 - 25第 一 作 者 简 介 :何 天 淳 ,男 ,1953 年 9 月 生 ,博 士 后 ,教 授 ;主 要 研 究 方 向 :工 程 力 学 ,计 算 力 学 ,材 料 微 观 机 理 研 究 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 引 起 弯 曲 应 力 的 力 矩 M cos 及 一 引 起 扭 转 剪 应 力 的 扭 矩 T = M sin . 因 很 小 ,故 T 的 作 用 可 以 忽 略不 计 . 而 M cos M ,即 钢 丝 剖 面 上 的 应 力 ,可 以 近 似 地 按 受 弯 矩 的 梁 来 计 算 ,其 最 大 弯 曲 应 力 及 变 形为 : max = MW = 10. 2 Md3 (1)W 圆 形 钢 丝 抗 弯 载 面 模 量 , W = d332 0. 1 d3 .扭 转 钢 丝 承 载 时 的 变 形 以 其 角 位 移 来 测 定 ,即 = 180 MD2 nEI (2)D2 螺 旋 弹 簧 中 径 , n 钢 丝 圈 数 , I 惯 性 矩 .扭 转 刚 度 为 :K = M = EI180 D2 n= Ed43 670 D2 n (3)图 2 螺 旋 钢 丝 的 受 力 图图 3 受 弯 矩 作 用 的 曲 杆1. 2 螺 旋 钢 丝 的 精 确 计 算 理 论1. l 的 计 算 结 果 未 考 虑 螺 旋 钢 丝 的 升角 和 曲 率 的 影 响 ,因 而 不 能 直 接 用 来 计 算钢 丝 的 应 力 和 变 形 . 为 获 得 其 真 实 应 力 及变 形 ,将 螺 旋 钢 丝 视 为 小 变 形 曲 杆 ,如 图 3所 示 .考 察 单 元 体 abcd ,从 纯 弯 曲 的 曲 杆 中取 出 相 邻 截 面 则 ad 及 bc ,此 二 截 面 间 的 夹角 为 d ,设 曲 杆 中 心 线 半 径 为 r , 其 中 性轴 半 径 为 r0 ,那 么 ,距 中 性 层 为 y 的 任 一纤 维 1 1 的 原 长 为 ( r0 - y) d ,于 是 1 1纤 维 的 应 变 是 : = y (d )( r0 - y) d(4)忽 略 径 向 应 变 ,即 认 为 各 纤 维 处 于 单 向 应 力 状 态 ,故 任 一 纤 维 层 的 应 力 为 :15第 4 期 何 天 淳 ,姚 文 斌 : 受 扭 钢 丝 软 轴 的 强 度 及 刚 度 计 算 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. = Ey (d )( r0 - y) d(5)从 这 个 方 程 可 以 看 出 :纤 维 的 应 变 和 应 力 与 纤 维 至 中 性 层 的 距 离 y 成 双 曲 线 关 系 .(5) 式 还 不 能 直 接 用 来 计 算 正 应 力 ,因 为 ( r0 - y) 和 (d ) / d 尚 未 确 定 . 考 虑 静 力 学 条 件 ,有 : d A = E (d )d yd Ar0 - y = 0 (6)d A 一 单 元 面 积 .M = yd A = E (d )d y2d Ar0 - y =E d Ad yd A (7)由 (7) 式 有 :E (d )d =MAe (8)代 入 (5) 式 得 : = M yAe ( r0 - y)(9)对 于 圆 截 面 螺 旋 钢 丝 ,最 大 应 力 出 现 在 r0 - y = r1 处 ,故 max = M ( r0 - r1)Aer1(10)设 钢 丝 截 面 直 径 为 d ,则 由 (10) 式 得 :图 4 钢 丝 截 面 图 max = M ( d/ 2 - e)Ae ( r - d/ 2) (11)上 式 中 e 值 待 定 ,为 求 e ,将 y = r0 - r1 代 入 方 程 (6)则 r0 - r1r1d A = 0 (12)由 (12) 式 得 :A = r0r0 - yd A (13)由 图 4 有 :y = d2 sin - e , d y = d2 cos d , d A = d22 cos2 d代 入 (13) 式 得 :A = / 2- / 2D2/ 2 - eD2 - dsin d2cos2 d (14)积 分 得 :A = D2 - D22 - d2 D22 - e (15)从 而 e = D24 - 14 D22 - d2 (16)将 e 值 代 入 (11) 式 并 整 理 得 : max = 32 M d3 dD22 dD2- 1 + 1 - dD224 1 - dD2 1 - 1 -dD22 (17)令 = dD2,由 (17) 式 得 :25 昆 明 理 工 大 学 学 报 第 25 卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. max = 32 M d3 2 + 2 1 - 2 - 4 (1 - ) (18)因 = dD2,当 d n D2 时 , 较 小 ,略 去 高 阶 微 量 ,则 1 - 2 = 1 - 22 代 入 (18) 式 得 max = 32 M d3 4 - - 24 (1 - ) (19)令 c = 1 = D2d , 则 由 (19) 式 得 : max = K1 32 M d3 (20)这 里 , K1 = 4 c2 - c - 14 c ( c - 1) 称 为 修 正 系 数 , c 为 旋 绕 比 . 相 应 地 ,螺 旋 钢 丝 的 变 形 为 : = l0MEI ds (21)l 为 螺 旋 钢 丝 全 长 , l = D2 n.故 = 64 MD2 nEd4 (rad) (22a) = 3 670 MD2 nEd4 ( ) (22b)扭 转 刚 度 为 :K = M = Ed43 670 D2 n (23)2 钢 丝 软 轴 的 强 度 、 刚 度 计 算如 前 所 述 ,将 钢 丝 软 轴 视 为 螺 旋 钢 丝 弹 簧 簇 . 为 保 证 其 正 常 工 作 ,并 充 分 发 挥 各 层 螺 旋 钢 丝 的 作 用 ,应 使 它 满 足 以 下 几 个 基 本 要 求 .(1) 各 层 钢 丝 受 扭 矩 之 和 应 等 于 总 的 外 加 扭 矩 ,即M = M 1 + M 2 + + M i + + M m = mi = 1M i (24a)(2) 各 层 钢 丝 端 部 的 扭 转 变 形 角 应 相 等 1 = 2 = = i = = m (24b)(3) 各 层 钢 丝 的 应 力 应 相 等 1 = 2 = = i = = m (24c)(4) 各 层 钢 丝 的 并 紧 长 度 相 等Hb = n1 d1 = n2 d2 = = nm dm (24d)根 据 以 上 关 系 ,可 计 算 出 组 合 螺 旋 钢 丝 中 每 层 钢 丝 所 受 的 扭 矩 ,然 后 再 进 行 各 层 钢 丝 其 它 参 数 的 计算 .以 下 推 导 钢 丝 软 轴 的 应 力 及 变 形 .设 钢 丝 软 轴 共 有 m 层 螺 旋 钢 丝 ,第 i 层 钢 丝 由 Zi 根 相 同 直 径 的 钢 丝 并 排 紧 密 缠 绕 而 成 . 将 (22a) 代 入(24b) ,则 有 :64 M 1 D21 n1Ed41 =64 M 2 D22 n2Ed42 = =64 M mD2 m nmEd4m = (25)M m 为 第 m 层 螺 旋 钢 丝 每 根 钢 丝 所 受 弯 矩 .注 意 到 :Z1 n1 d1 = Z2 n2 d2 = = Zm nm dm = Hb (25a)35第 4 期 何 天 淳 ,姚 文 斌 : 受 扭 钢 丝 软 轴 的 强 度 及 刚 度 计 算 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 及 Z1 M 1 + Z2 M 2 + + Zm M m = M (25b)由 此 得 :M i = d5i ZiMD2 i mj = 1Z2j d5jD2 j(25c)从 而 得 第 i 层 螺 旋 钢 丝 的 弯 曲 应 力 i = Ki 32 d2i Zi M D2 i mj = 1Z2j d5jD2 j(25d)将 (25c) 代 入 (25) ,则 得 钢 丝 软 轴 端 部 的 扭 转 角 为 : = 64 HbME mj = 1Z2j d5jDj(25e)钢 丝 软 轴 的 扭 转 刚 度 为 :K = M =E mj = 1Z2j d5jD2 j64 Hb (25f)钢 丝 软 轴 的 强 度 、 刚 度 条 件 为 :max 1 , 2 , , m , 3 670 ME mj = 1Z2j d5jD2 j 这 里 为 软 轴 单 位 长 度 的 许 用 扭 转 角 .如 钢 丝 软 轴 中 各 根 钢 丝 满 足 等 强 度 条 件 ,则K1 32 M 1 d31= K2 32 M 2 d32= = Km 32 M m d3m= (26)(25) (26) 得 :2 D21 n1K1 d1 E =2 D22 n2K2 d2 E = 2 D2 m nmKm dm E = (27)故 d2i = 4 D2 i (28)这 里 , = Hb2 Ki Zi E.若 Ki 变 化 不 大 ,即 K1 = K2 = = Km = K ,则 = Hb2 K Zi E(28) 式 表 明 ,为 满 足 等 强 度 条 件 ,钢 丝 软 轴 中 各 钢 丝 层 的 材 料 截 面 直 径 与 其 对 应 的 中 径 必 须 满 足 抛 物 线关 系 .在 设 计 时 ,先 假 定 旋 绕 比 C ,然 后 按 下 式 计 算 软 轴 中 各 层 钢 丝 直 径 :di = 2 Hb CE Zi Ki再 计 算 其 它 几 何 尺 寸 .3 算 例 分 析混 凝 土 振 动 器 钢 丝 软 轴 外 径 D0 = 12. 3 mm ,该 软 轴 由 四 层 相 同 材 料 的 细 钢 丝 缠 绕 而 成 , E = 205GPa ,各 层 缠 绕 的 钢 丝 根 数 为 : Z1 = 3 , Z2 = 2 , Z3 = Z4 = 5 ,其 它 几 何 参 数 为 : 软 轴 取 样 长 度 Hb = 12045 昆 明 理 工 大 学 学 报 第 25 卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. mm , d1 = 0. 8 mm , d2 = d3 = d4 = 1. 65 mm , D21 = 1. 6 mm , D22 = 4. 05 mm , D23 = 7. 35 mm , D24 =10. 65 mm ,当 钢 丝 软 轴 在 扭 转 试 验 机 上 加 载 至 M = 6. 0 Nm 时 钢 丝 软 轴 开 始 屈 服 ,此 时 实 测 软 轴 二 端 扭转 角 为 测 = 145 .由 (25d) 式 计 算 各 层 钢 丝 的 弯 曲 应 力 为 : 1 = 1. 415 621 103 MPa , 2 = 1. 410 925 103 MPa , 3 =1. 614 564 103 MPa , 4 = 1. 048 897 103 MPa ,由 (25e) 式 算 出 的 扭 转 角 为 = 152. 982 7 ,抗 扭 刚 度K = 0. 269 294 4 Nm2 .从 以 上 计 算 结 果 可 知 ,钢 丝 软 轴 第 三 层 弯 曲 应 力 最 大 ,第 一 层 、 第 二 层 次 之 ,第 四 层 弯 曲 应 力 最 小 . 扭转 破 坏 试 验 结 果 表 明 :软 轮 钢 丝 首 先 从 第 三 层 破 坏 ,随 后 因 承 载 能 力 下 降 ,第 二 层 ,第 一 层 钢 丝 随 之 断 裂 .经 测 定 直 径 d = 1. 65 mm 的 钢 丝 屈 服 强 度 s = 1. 50 103 MPa ,抗 拉 强 度 b = 1. 75 103 MPa ,而 直 径d = 0. 8 mm的 钢 丝 屈 服 强 度 s = 1. 70 103 MPa ,抗 拉 强 度 b = 2. 01 103 MPa ,与 本 文 结 果 基 本 吻 合 .此 外 ,软 轴 屈 服 时 测 试 扭 转 角 与 试 验 角 也 能 吻 合 . 由 此 说 明 本 文 方 法 的 正 确 性 .4 结 论(1) 本 文 研 究 虽 未 考 虑 各 层 钢 丝 之 间 的 相 互 摩 擦 和 挤 压 ,但 计 算 结 果 与 实 测 结 果 基 本 符 合 ,能 满 足 软轴 设 计 计 算 的 要 求 ;(2) 通 过 以 上 分 析 ,为 深 入 研 究 软 轴 的 优 化 设 计 及 其 它 力 学 参 数 (如 抗 弯 刚 度 、 抗 扭 刚 度 等 ) 奠 定 了 基础 ;(3) 本 文 结 果 只 适 用 于 线 弹 性 范 围 ,软 轴 的 大 变 形 及 塑 性 分 析 尚 待 研 究 .参 考 文 献 :1 苏 翼 林 . 材 料 力 学 . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1979. 215 220.2 美 A M 沃 尔 . 机 械 弹 簧 . 谭 惠 民 等 译 . 北 京 :国 防 工 业 出 版 社 ,1981. 335 339.3 徐 灏 . 新 编 机 械 设 计 师 手 册 . 北 京 :机 械 工 业 出 版 社 ,1995. 1280 1300.Calculation of Strength and Stiffness of Flexiable ShaftSubjected to a Twisting MomentHE Tian - chun1 , YAO Wen - bin2(1. Kunming University of