初中数学八年级上册《二元一次方程组》专题专练

北师大版初中数学八年级上册二元一次方程组专题专练二元一次方程组是初中数学中重要的一章，在中考中也越来越受到重视，主要考查方程组的解法、列方程组解应用题，利用方程的定义和特征构造新的方程组等，为了达到更好的复习效果，特分五个专题来进行复习。专题一 二元一次方程组的有关概念一 二元一次方程组的概念3520xy，像这样含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组。重点提示：二元一次方程组是一个从整体上把握的概念，它的本质是：在这个方程组中，只有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1.它并不要求每个方程都含有两个未知数。二 二元一次方程组的解的概念二元一次方程中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。重点提示：判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看这就组数是否适合每个方程，若适合就是，若不适合，就不是。典例分析：例 1 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A 2zxy B 4yx C 21yxD 1035yx析解：通过观察，发现 A 中含有三个未知数，所以不是二元一次方程组，B 中第一个方程为二次方程，所以不是二元一次方程组，C 中第一个方程组中的 y1的次数不是 1，所以不是二元一次方程组，运用排除法，故选 D。例 2 判断下列各组数是不是二元一次方程组 10352yx的解。（1） 7yx (2)13yx析解：要想判断一组数是不是方程组的解，一是将其代入，二是把方程组解出来，此题中只要把两组数分别代入既可知道（1）不是方程组的解， （2）是方程组的解。 例 3 已知 12)(32yxkk是二元一次方程，求 k 的值。析解：此题是利用二元一次方程的定义来出的题，因为是二元一次方程，所以各未知数的指数应为 1，所以 x 的系数为 1，既132k,所以 ,42kk=2.例 4 （08 杭州）已知 1xy是方程 23xay的一个解，那么a的值是（ ）A 1B 3C D 1析解：析解：此题是利用二元一次方程组的解的定义，需要转换未知数，解题时可将 1xy代入 23xay，既可得：2+a=3,a=1,故选 A.练习一 1 已知 1324nmnmyx是关于 x、y 的二元一次方程，则m=_,n=_.2 已知 1yx是关于 x、y 的二元一次方程组 12)(2ynxm的解，试求 208)(nm的值。专题二 二元一次方程组的解法一 解二元一次方程组的基本思路和基本方法解二元一次方程组的基本思想是“消元” ，既把“二元”变为“一元” ，解二元一次方程组的基本方法有两种： 一是代入消元法，二是加减消元法。在代入消元法中，选择一个系数较简单的变形，用一个求知数代替另一个求知数，代入另一个方程实现消元求解在加减消元法中，使两个方程中对应的同类项系数变成相等或互为相反数，对应相减或相加消去一个求知数求解。解二元一次方程组时到底采用哪种方法，要对具体方程组进行具体分析，一般地说，当方程组中有一个方程的某一个求知数的绝对值是 1 或有一个方程的常 数项为 0 时，用代入法简单；当两个方程中某一个求知数的系数的绝对值相等或成倍数时，用加减法简单。典例分析:例 1（08 怀化）方程组 3,5yx的解是 _分析：结合方程组特点，因为方程组中两个未知数的系数一个相等，一个互为相反数，所以可以用加减法来解。解： )2(3,15yx(1)+(2)得：2x=8,所以 x=4，把 x=4 代入（1）得：y=1,所以方程组的解是： 14yx。例 2（08 临沂）已知 x、y 满足方程组 ,425yx则 xy 的值为_析解：因为题中要求的是 xy 的值，所以可先把方程组解出来，因为代入既可，但仔细观察可以发现，这两个方程中的 x、y 的系数恰好对称，若直接相减，便可得到答案， ),2(415yx,(1)(2)得：xy=1.二 二元一次方程组的特殊方法-图像法。第一步将二元一次方程组中的两个方程转化为一次函数表达式。第二步在同一座标系中作出这两个一次函数的图像，交点就是方程组的解。重点提示：由于作图难以十分准确，因而这样得到的解只能是近似解，所以这种做法的考点往往是已知图像来解二元一次方程组。同时由于直线有两种位置关系，当两直线平行时，方程组无解；当两直线相交时，方程组有唯一解。例 3（08 南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次 P（1，1）11223311O xy（第 16 题）函数的图象（如图所示） ，则所解的二元一次方程组是【 】A 2031xy，B 2103xy，C 250xy，D 210xy，分析:从图象上可以看出，方程组的解是 1yx，只要把解代入方程组试一下就可以了，通过代入可以知道所解的二元一次方程组是 D.练习：1 解方程组 )2(,86103yx（提示：用代入法。 ）2 解方程组 )5(3)1(5 考点三 利用二元一次方程组解图象题本专题主要涉及有关图象问题，解决的关键在于从图象中读出条件，列出相关的方程组解决问题。例 1（08 白银等九市州试题）中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图 6 所示，两个天平都平衡，则与 2 个球体相等质量的正方体的个数为（ ） A5 B4 C3 D2分析：从图中可以看出，两个球的质量等于五个圆柱体的质量，两个正方体的质量等于两个圆柱的质量，列方程组可得。解：我们可以设球的质量为 x，圆柱的质量为 y, 正方体的质量为 z，所以 )2(15zyx由 (2)可得，y=z, 代入（1）得：2x=5z，所以正方体的个数为 5，故选 A.练习三：1（08 河北省）右图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 _g专题四 列二元一次方程组解实际问题列二元一次方程组解应用题是体现学生能力的重要题型，它的一般步骤是：弄清题意和题中的数量关系，特别注意隐含条件。设出求知数如（x,y） 。找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。解这个方程组，求出求知数的值。检验是否符合实际并写出答案。典例分析：例 1 （08 山东日照）为迎接 2008 年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“ 中国印 ”和奥运会吉祥物“福娃” 该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 巧克力 果冻50g 砝码分析：在本题中，存在两个等量关系，分别是两种原料的数量，当生产结束时，两种原料正好用完，所以根据题意可得方程组。解：设生产奥运会标志 x 套，生产奥运会吉祥物 y 套根据题意，得 031254.yx,2得：5x =10000 x=2000 把 x=2000 代入得：5y=12000 y=2400 答：该厂能生产奥运会标志 2000 套，生产奥运会吉祥物 2400套例 2（08 威海）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区我市某企业向灾区捐助价值 94 万元的 A，B 两种帐篷共600 顶已知 A 种帐篷每顶 1700 元，B 种帐篷每顶 1300 元，问A，B 两种帐篷各多少顶？ 分析：本题存在两个等量关系，一个两种帐篷总数为 600，二是捐助钱数为 94 万元，因此可列方程组解决.解：设 A 种帐篷 x 顶， B 种帐篷 y 顶，根据题意，列方程组94013706 .yx , 解，得 =,2. A 种帐篷 400 顶，B 种帐篷 200 顶 例 3（08 益阳）512 汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖 据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大 为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽， 经计算需挖出土石方 134 万立方米，开挖 2 天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的 2 倍还多 1 万立方米，结果共用 5 天完成任务，比计划时间大大提前根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？分析：众志成城，抗震救灾，是每一个中国人共同的心声，消除堰塞湖危险刻不容缓，本题中原计划的工效和加速后的工效关系是一个等量关系，挖出的总土石方是固定的，所以可列方程组。解：设原计划每天挖土石方 x 万立方米，增调人员和设备后每天挖 y 万立方米可列出方程组： 4.13)25(yx解之得： 6.31yx答：原计划每天挖土石方 1.3 万立方米，增调人员和设备后每天挖 3.6 万立方米例 4（08 济南）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同请你根据第一、二束鲜共计 19 元 共计 18元第三束水仙花康乃馨花提供的信息，求出第三束鲜花的价格分析：此题是一个图象信息题，由图可知，第一束花有 3 支康乃馨 1 支水仙花，第二束花有 2 支康乃馨和 2 支水仙花，由前两束花的价格就可求出康乃馨和水仙花的单价，进而求出第三束花的价格。解：设康乃馨每支 x元，水仙花每支 y元 由题意得： 31928y 解得： 54x 第三束花的价格为 5317x 答：第三束花的价格是 17 元练习四 1 （08 湘潭）四川的强烈地震，牵动着花蕊小朋友的心. 花蕊小朋友用 280 元，买了每支 0.2元的铅笔和每支 5 元的钢笔一共 200 支，寄给灾区的小朋友，请你计算出她买的铅笔和钢笔的支数.2（08 长沙） “512”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有 4 条成衣生产线和 5 条童装生产线，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区。若启用 1 条成衣生产线和 2条童装生产线，一天可以生产帐篷 105 顶；若启用 2 条成衣生产线和 3 条童装生产线，一天可以生产帐篷 178 顶.（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？3（08 义乌）已知 A、 B互余， A比 B大 30.设 A、 B的度数分别为 x、 y，下列方程组中符合题意的是（ ）A 180,3 B 180,3xy C 9,30xy D9,xy4（08 烟台）据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在 0.20.5之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大现将 4.94kg 的衣服放入最大容量为 15kg 的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到 0.4%，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1 匙洗衣粉约 0.02kg，假设洗衣机以最大容量洗涤）专题五 二元一次方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数在本质上一样的，都包含两个未知数，因此我们既可以用一次函数的图像来解二元一次方程组，也可以用列二元一次方程组的方法来求解一次函数的解析式。前者在文中已有所述，在此只说一下利用列二元一次方程组来求一次函数的问题。例 1（08 河北省）如右图，直线 1l的解析表达式为 3yx，且 l与 x轴交于点 D，直线 2l经过点 AB， ，直线 1， 2交于点 C（1）求点 的坐标；（2）求直线 2l的解析表达式；l1 l2xyDO 3BCA2（4，0）（3）求 ADC 的面积；（4）在直线 2l上存在异于点 C的另一点 P，使得P与 的面积相等，请直接写出点 的坐标分析：此题体现了方程组与一次函数的关系，要解决这个问题，就要运用方程思想，建立起 k 与 b 间二元一次方程组，解之既得函数解析式，在第四问中，因为要满足两三角形面积相等，就得使C、 P 两点关于点 A 对称，这样就可以写出 P 点坐标了。解：（1）由 3yx，令 0y，得 30x 1 ()D， （2）设直线 2l的解析表达式为 ykxb，由图象知： 4x， 0y；x， y403.2kb， 6.k，直线 2l的解析表达式为 362yx（3）由 .yx，解得 3.xy， ()C， AD， 192ADCS （4）因为两三角形面积相等，所以 C、P 关于 A 点对称，所以 P 点纵坐标与 C 点相反，横坐标与 C 点到点 A 的距离相等且分居 A 点两旁，所以点坐标为 (63)P， 练习 1 （08 中山） 已知直线 1l： 54xy和直线 2l： 41xy，求两条直线 1l和 2 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上 附练习答案：练习一 1 .2,3nm2 把 2yx代入方程组，既可得到一个关于 m、n 的新的二元一次方程组， 1)(4n解之得： 01n,所以 208)(= 1)(208.练习二 1 解是 yx 2 提示：先把每一个方程化简得 20358xy，然后用加减法解之得：75yx练习三 20练习四 1 解：设买的铅笔为 x 支，买的钢笔为 y 支根据题意得:200.58yx解得 15xy2 解：(1) 设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x、y 顶，则1783205，解得 x=41， y=32答：每条成衣生产线平均