对中考“兄弟连”试题的对比与评析

对中考“兄弟连”试题的对比与评析2000 年上海市的中考压轴题与 2008 年广州市的中考压轴题,在几何图形背景与考查的知识都有相似之处,是属于“兄弟连”试题。 “弟”试题较好地继承了“兄”试题的亮点，并在新课程背景下进了自主创新，有效考查了学生运用已学知识分析问题和解决问题的综合分析能力。下面对“兄弟连”试题对比评析如下：例 1、 （2000 年上海市中考试题）如图，在半径为 6，圆心角为 90 的扇形 OAB 的弧 AB上，有一个动点 P，PHOA，垂足为 H，OPH 的重心为 G。（1）当点 P 在弧 AB 上运动时，线段 GO、GP、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设 PH=x,GP=y,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PGH 是等腰三角形，试求出线段 PH 的长。解(1) 长度保持不变的线段是 GH,且 GU=2延长 HG 交 OP 于 C, G 是OPH 的重心， CH 是斜边 OP 上的中线，GH= CH= OP=32126(2)延长 PG 交 OH 于 D，PH=x，OH= ，x而 DP= 222 361)61( xPHy=GP= （0x6）23612(3)分类讨论：在PGH 中若 GP=PH 时，则有 化简得： ，262x6x若 GP=GH 时,则有 解得 (不合题意舍去)361x0若 PH=GH 时,则有 .【评析】第(1)小题中主要抓住了同圆的半径相等的性质, 虽然点 P 在弧 AB 上运动,但OP 是 O 的半径始 终保持不 变,即 OP6。再结合直角三角形和三角形重心的性质,使所求线段 GH 与已知半径 OP 联系起来，从而使问题解决；在第（3）小题中，已知PGH 是等腰三角形，但题中没有指明哪两边 是腰，因此解 题中必须对三角形的三 边进行分类讨论解决，渗透了数学中的分类思想。例 2、 （2008 年广州市中考试题）如图 2，扇形 OAB 的半径OA=3，圆心角AOB=图1 AHDCGPOB90，点 C 是弧 AB 上异于 A、B 的动点，过点 C 作 CDOA 于点 D，作 CEOB于点 E，连结 DE，点 G、H 在线段 DE 上，且 DG=GH=HE（1）求证：四边形 OGCH 是平行四边形（2）当点 C 在弧 AB 上运动时，在 CD、CG、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证： 是定值223D解：（1）如图 3，连结 OC 交 DE 于 M，由矩形得 OMCG，EMDM 图 2因为 DG=HE 所以 EMEHDMDG 得 HM DG所以四边形 OGCH 是平行四边形。（2）DG 不变，在矩形 ODCE 中，DE OCOA=3，所以 DG 131DE（3）一题多解：方法一：利用三角形的中位线与勾股定理解：如图 3，设 CDx,延长 OG 交 CD 于 N，OG=CH，且OGCH，CN=DN ，在 RtODN 中，21， ，2ODN229xCE， 41x2439而 ，H321x 123222 xxCD【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、平行四 边形和三角形中位 线的性质， 较好地实现了把线段 ON 转化为线段 CH 的倍分关系，再以 RtOND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法二：利用相似三角形与勾股定理解：如图 4，分别过 H、G 作 HMGNDC，则有，31EDCM ， 29x2931xEM， 。在 RtCMH 中， 222HC图3NMH GE CDAOB图4NMHGE CDAOB 222 31494xxCH 123222 D【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、相似三角形的性 质，得出相关 线段关于 x 的代数式，再以 RtCMH 为基础，通过勾股定理，使 问题得以解决。方法三：利用三角形面积与勾股定理解：如图 5，过点 C 作 CKED 于 K，在 RtECD 中，由面积法得： EDKE392x 4222xC 231x RtCKH 中， 2222 319xxHK化简得： 22314xCH 12222 xD【评析】本解法充分利用了几何中的面积法，得出斜 边上的高 CK 和 HK 关于 X 的表达式，再以 RtCKH 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法四：三角函数与勾股定理解：如图 5，过点 C 作 CKED 于 K，在 RtCEK 和 RtCHK 中，由勾股定理得：22HEKEKCEHK222 2在 RtEKC 和 RtECD 中， 39022xSC 392xEK1922xHK图5HGE CD AOB化简得： 22314xCH 12222 xD【评析】本解法充分利用了三角函数，使线段 EK 能用 x 的代数式表示，再通过勾股定理和乘法公式进行转化，使问题 得以解决。上海试题考查的知识点有：同圆的半径相等，直角三角形的性质，三角形重心的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及分类讨论的数学思想。第（1）小题起点较高，三个小题层次不明显，第（3）小题注重了数学思想的渗透，对等腰三角形的各种情况进行分类求解，考查了学生严谨的数学思维能力。广州试题在上海试题的基础上进行自主创新，它所涉及的知识点有：同圆的半径相等，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函数等。第（1）小题比较基础，学生容易解决，第（2）小题只利用