第三讲一元线性回归2

一元线性回归（二）例题 4-1 某城镇 1988-1998年人均可支配收入 X（元， 1980年不变价），人均鲜蛋需求量 Y（公斤），建立模型 Y=a+bX，估计收入对需求的影响。 1。利用 Excel完成 2。利用 stata完成 先画散点图，然后估计方程。Y=10.766+0.005X+u 测试成绩和学生 /教师比关系的 OLS估计值及其分析。 打开数据文件： score.dta reg testscr strtestscr=698.93 - 2.28str + u回归结果的分析 1。截距项和斜率的含义是什么？ 本题的截距表示： 学生教师比为 0（没有学生时）的测试成绩的最高值，因此没有实际意义。可以理解为确定回归线的系数。 斜率：表示弹性 -2.28的斜率表示当每个教师对应的学生人数增加 1个时，学区测试成绩将平均下降 2.28分。 而当每个教师对应的学生人数减少 2个时，测试成绩平均提高： (-2)(-2.28)= 4. 56分， 负的斜率表明每个教师对应的学生人数越多 (较大规模的班 )，则相应的测试成绩越差。2。方程的经济预测能力：得到回归结果后，可以进行简单的预测，只要给定 学生 /教师比（ X） 取值后就能预测全学区的测试成绩了。testscr=698.93 - 2.28str + u如每个教师对应 20个学生的学区，其测试成绩预测值为 698. 93-2.2820=653.30。当然，由于其他决定学区成绩的因素（ u）的影响，预测不会是绝对正确的。预测的准确程度取决于模型的优劣。 3。方程的斜率的大小评估： 观察选取的 420个样本的总体分布（分位数） 一个例子： 假设某个学区处于加利福尼亚学区的中位数，对应的学生 /教师比为 19. 7，现在想减少到 17.7。 一方面： 她的学区学生 /教师比从 50%分位数移到接近 10%分位数。这是一个相当大的变动。 另一方面： 带入方程，测试成绩预计从654.5提高到 659.1，从 50%分位数移到将近 60%分位数。股票的 beta值：证券组合的风险与报酬 （一）证券组合的风险 同时投资于多种证券的方式称为证券的投资组合，简称证券组合或投资组合。证券组合的风险分为可分散风险与不可分散风险。可分散 风险 不可分散 风险别称非系 统 性 风险公司特 别风险系 统 性 风险市 场风险含义某些因素 对单 个 证 券造成 经济损 失的可能性某些因素 给 市 场 上所有证 券都 带 来 经济损 失的可能性特性可通 过证 券持有的多 样化来抵消不能通 过证 券 组 合分散掉13可分散风险可通过证券组合来消减Rm是市场组合的期望收益，一般用 C&P500组合收益， Rf是市场无风险收益，可以理解为各类存款收益。 我们把利用 OLS方法估计出的参数 b0和 b1称为 OLS估计量，用 表示。 用 OLS方法估计出的方程：残差的概念 残差是每个样本的拟合值和实际值之间的差。用 ei或者 表示。 样本回归模型： 样本拟合线： 残差值： 基本原理：1。确定样本个数 n，给出观测值 (Xi， Yi)，i=1,2,3,n 。由于样本容量已定，样本回归模型可写为：其中 称为回归系数 (拟合参数 )， 称为残差 （拟合误差）。普通最小二乘法（普通最小二乘法（ OLS） 2。利用 OLS法寻找残差的平方和最小的直线，估计出 的具体值。 3。此时可得到利用 OLS方法测算出的 Y的拟合值 ，注意， 并不是实际的 Y值，有如下计算公式：因此， 是 Y的估计值或拟合值，而残差的大小决定了模型的优劣。 思考： 与 ui是否是一回事？ 有什么区别和联系？直线上的点的坐标是 ，样本点的坐标是 Yi是从样本点到直线的距离。拟合优度 拟合优度 R2：描述 OLS回归线对样本数据的拟合效果；描述观测值在回归线附近的离散程度；同时描述了样本数据有多大程度可以被回归方程所解释。 回归 R2是指可由 Xi解释 (或预测 )的 Yi样本方差的比例。 OLS方法得到的拟合线一定是所有直线中拟合效果最好的，但由于样本自身的原因，拟合效果有好有坏。 最典型的例子是错误的函数形式这是一个典型的对数函数的例子，用线性方程，模拟效果较差。 拟合优度对于所有样本点的平方和，均有下列结论：记 总体平方和 （ Total Sum of Squares）回归平方和 （ Explained Sum of Squares）残差平方和 （ Residual Sum of Squares ）TSS=ESS+RSS（证明见附录）Y的观测值围绕其均值的 总离差 (total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线 (ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。在给定样本中， TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则 ESS在TSS中占的比重越大，因此拟合优度 ：回归平方和 ESS/Y的总离差 TSS2、拟合优度 R2统计量 称 R2 为 （样本） 拟合优度 /可决系数 /判定系数 （coefficient of determination)。 拟合优度 的 取值范围： 0， 1R2越接近 1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高 。 由于每次向回归方程中增加解释变量，R2必然只增不减。为此，可以通过调整自由度对解释变量过多进行 “惩罚 ”，因此，可以定义 “校正的拟合优度 ” 察看上述例题的拟合优度 注意： 1。拟合优度一定程度上反映了选取变量的对被解释变量的 “解释能力 ”。 2。拟合优度低一般说明方程忽略了某些重要的解释因素。 3。在大样本下，拟合优度一般不会太高。回归标准误差（ SER） 回归标准误差 (standard error of the regression. SER)是回归误差 u的标准差估计量，是用因变量单位度量的观测值在