第二章自动控制系统原理的数学模型分析

第二章 自动控制系统的数学模型第一节 系统的微分方程、传递函数、动态结构图第二节 典型环节第三节 自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取第四节 自动调节器的基本动作规律小结课题 ：第一节 系统的微分方程、传递函数、动态结构图目的、要求：1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法；2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质；3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点：运用微分方程建立数学模型系统微分方程 自动控制 系统中最基本的数学模型 建立微分方程式的一般步骤是 ： 确定系统的输入量和输出量。 根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。 将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。 将该方程整理成标准形式。微分方程建立举例 (1)【 例 2-1】 RC电路 （ 1）确定输入、输出量输入量为电压 ，输出量为电压 。（ 2）根据基尔霍夫定律，列出原始微分方程（ 2-1）（ 2-2）（ 3）消除中间变量(2-3)（ 4）整理为标准形式 ) (2-4)一阶常系数线性微分方程微分方程建立举例 (2)【 例 2-2】 机械位移系统 （ 1）确定输入、输出量设外作用力 为输入量，质量物体的位移 为输出量。（ 2）建立微分方程组根据牛顿第二定律可得 :(2-5) (2-6) (2-7) (2-8) 微分方程建立举例 (2)续（ 3）消除中间变量将式（ 2-6），（ 2-7），（ 2-8）代入（ 2-5），得(2-9)（ 4）将式子标准化 (2-10) 机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例 (3)【 例 2-3】 列写 RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程 （ 1）确定输入、输出量输入量为电压 Ui，输出量为电压 Uo。（ 2）列写原始微分方程组 (2-12)(2-13)微分方程建立举例 (4)例 2-4 求单容水箱液位 H与输入流量 Qi的系统动态方程。 单容水箱（ 1）确定输入、输出量输入量为流入量 Qi，输出量液面高度 H。 （ 2）根据物质守恒定律，列出微分方程（ 3）消除中间变量并将式子标准化处理得 解：其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例 (5)求容器 2的液面高度 H2对容器 1输入流量 Q1的动态方程。 容器 2 （ 1）确定输入、输出量输入量为流入量 Q1，输出量液面高度 H2。（ 2）根据物质守恒定律及流量近似公式，列出微分方程（ 3）消除中间变量并将式子标准化处理得二阶常系数线性微分方程 传递函数 自动控制系统中最常用的数学模型 传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引伸出来的概念。传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即初始条件为零，一般是指输入量在 t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t时的值也均为零。传递函数的一般表达式如果系统的输入量为 ，输出量为 ，并由下列微分方程描述 在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换 并整理得（ 2-25） 、 传递函数的分子、分母多项式求单容水箱系统液位 H1与输入流量Qi动态方程的传递函数 已知动态方程是： 令对上式两边进行拉氏变换并化简得：最后整理得传递函数及方框图如下：求双容水箱系统液位与输入流量动态方程关系的传递函数。 系统的动态方程是： 将 、 代入上式得：两边进行拉氏变换得：整理得： 传递函数的性质（一） 传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系。对于一个确定的系统，则它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。 传递函数是复变量 s的有理分式， s是复数，而分式中的各项系数都是实数，它们是由组成系统的元件的参数构成的。由式（ 2-25）可见，传递函数完全取决于其系数，所以传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为自变量的微分方程，则称为时间域模型）。传递函数的性质（二 ） 传递函数是一种运算函数。由 可得 。 传递函数的分母多项式等于零 ，即为微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次 n即为系统的阶次。通常 nm 。 传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型 (系统和元件 )，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。返回课题第二节 典型环节任何一个复杂的系统，总可以看成一些典型环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系。 目的、要求：1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框图、动态响应。2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节比较环节 1.微分方程 2.传递函数与方框图 方框图如图 a所示。 3.动态响应 当 时（ 2-27） 图 a图 b比例环节的阶跃响应如图 b所示。 比较环节能立即成比例地响应输入量的变化 比较环节应用实例惯性环节1.微分方程T 惯性时间常数 2.传递函数与方框图(2-28) 图 a方框图如图 a所示 。3.动态响应 当 输入为阶跃信号时通过拉氏变换与逆变换求得输出响应为图 b。图 b当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化。惯性环节应用实例a） 电阻、电容电路 b)惯性调节器 c) 弹簧 阻尼系统 积分环节1.微分方程T 积分时间常数 2.传递函数与方框图（ 2-35） 方框图如图 a所示。 3.动态响应 当 输入为阶跃信号时通过拉氏变换与传递函数求得输出响应为图 b。图 a图 b输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为 1/T。积分环节应用实例图 c微分环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应 式中 微分时间常数方框图如图 a所示。 理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数。输出只能反映输入信号的变化率。 近似微分环节应用实例单位阶跃响应曲线如右图所示 比例微分环节 1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应 比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠加。比例微分环节的应用当比例微分环节的输入量为恒值时，其输出量与输入量成正比；当输入信号为变量时，输出量中既含有与输入量成正比的量，也包含反映输入信号变化趋势的信息。 振荡环节 1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应 (2-42) (2-43) 式中 ， 阻尼比0 1时式中 ，(2-44) 4.应用实例例 2-2机械位移系统等。振荡环节的方框图和阶跃响应曲线在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。 延迟环节 1.微分方程2.传递函数与方框图 3.