算术平均数与几何平均数习题精讲

习题精选精讲1例 1 已知 ，求证Rcba, .22cabcba证明： ， ， ， 三式相加，得2 ca22，即)()(2cc .2c说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握例 2 已知 是互不相等的正数，求证：ba、 abccaba6)()()( 222 证明： ， 同理可得： 02ac， cb2 abc2)(2，三个同向不等式相加，得 c6)()()( 22说明：此题中 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地， ， 时，所得不等式仍不取等b、 bac号例 3 求证 )(2222 cbaca 分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式 ，并能由 这一特征，思索如何将)(2cba进行变形，进行创造” ba22证明： ，两边同加 得 即 a22b22)()(ba2)( 同理可得： ， )(12ba )(2cc )(2acc三式相加即得 )(222 bac例 4 若正数 、 满足 ，则 的取值范围是 3ab解： ， ，令 ，得 ，Rba,by032y ，或 （舍去） ， 的取值范围是3y192ya.,9说明：本题的常见错误有二一是没有舍去 ；二是忘了还原，得出 前者和后者的问题根源都是对1ab的理解，前者忽视了 后者错误地将 视为 ab.0ab2yb因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之例 5 （1）求 的最大值 （2）求函数 的最小值，并求出取得最小值时的 值 4162xy 142xx（3）若 ，且 ，求 的最小值0,y2yx习题精选精讲2解：（1） 即 的最大值为4162xy 1363)(222 xx .36y.3当且仅当 时，即 时，取得此最大值122x2x（2） 14422y 34 的最小值为 3，当且仅当 ，即 ， ， 时取得此最小值x)(221xx（3） 即xy2222)(y)(2y 即 的最小值为 2当且仅当 时取得此最小值yx24x说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件例 6 求函数 的最值x321分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如： ，应分别对 两种情况讨0x0,x论，如果忽视 的条件，就会发生如下错误： ，Rx 621321)3(12xy.621maxy解：当 时， ，又 ，当且仅当 ，即 时，函数 有最小值003,x632xx3226x3.62 当 时， ，又 ，.621maxy0,)(当且仅当 ，即 时，函数 最小值 32x)3(x.62.621miny例 7 求函数 的最值分析： 9102y 991222 xy但等号成立时 ，这是矛盾的！于是我们运用函数 在 时单调递增这一性质，求函数8x x的最值解：设 ， 当 时，函数 递增故原函数的最)3(1ty 392xt ty19023ty1小值为 ，无最大值0习题精选精讲3例 8 求函数 的最小值452xy分析：用换元法，设 ，原函数变形为 ，再利用函数 的单调性可得结果或t )2(1ty )2(1ty用函数方程思想求解解：解法一：设 ，故 24xt ).2(1452txy 2121211 )()(ttttyt ，设由 ，得： ，故： 函数 为增函数，从而 02121tt， 01t21yt 5y解法二：设 ，知 ，可得关于 的二次方程 ，由根与系数的关系，得：4x)(tyt 02y21t又 ，故有一个根大于或等于 2，设函数 ，则 ，即 ，故 1)(2yttf )2(f124y25y说明：本题易出现如下错解： 要知道， 无实数解，即445222 xxy 42x，所以原函数的最小值不是 2错误原因是忽视了等号成立的条件2y当 、 为常数，且 为定值， 时， ，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ababab，当 之差最小时，再求原函数的最大（小）值4)(2例 9 求 的最小值,0baa 221ba分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值解：由 ，得 又 得 ，即 ,4 .26)(22 a ,22abab2164故 最小值是 21122 baba .2544b 22ba5本题易出现如下错解 ，故 的最小值是812112 baba 2218错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有 和 ，但在 的条件下，这两个式子不会同时取等号（4a） 排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾31ba时 ，习题精选精讲4例 10 已知： ，求证： Rcba, cbacba分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明证明： .2,2ba即同理： accb, ).(cbacb.cbacba说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式 的变式；(3)2不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性例 11 设 ，且 ， ，求 的最大值Redcba、 8edcba 16222edcba分析：如何将 与 用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理2两边同加 之后得 2 22)(1解：由 ，则有22)(1ba ,)(4)( 222 dcbadcdcba .5160)8(4162ee .51656时 ，当 最 大 值e说明：常有以下错解：， abcdabdcba4)(222 48abcdcba故 两式相除且开方得 cee42)8(,4)16( 51604)(162ee错因是两不等式相除，如 ，相除则有 21,2不等式 是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：22)(1ba或 22ba)(1ba例 12 已知： ，且： ，求证： ，并且求等号成立的条件0yx xy22yx分析：由已知条件 ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有 ，无法利用 ，故猜想先将R， yxxy2习题精选精讲5所求证的式子进行变形，看能否出现 型，再行论证)(1)(yx证明： ,.0, yxyx又 yxyx2)(2 yx2)(等号成立，当且仅当 时.2)(2 )()(.4,)( yxyxyx ,6,12yx.6yx由以上得 即当 时等号成立26,26,6说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式例 13 已知 ，且 ，求 的最大值0yx， 30xyxy分析：由 ，可得， 故 ，令 32)30(2， )30(2xxy xt2利用判别式法可求得 （即 ）的最大值，但因为 有范围 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是txyx不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解解法一：由 ，可得， 302x )30(230x xxy264)(3)(2注意到 可得， 64)(34 164)(64)( x18y当且仅当 ，即 时等号成立，代入 中得 ，故 的最大值为 182x302yx解法二： ， ，Ry,xxy2代入 中得：3030解此不等式得 下面解法见解法一，下略18xy说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷例 14 若 ，且 ，求证： Rcba、 1cba 811cba分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而aca21习题精选精讲6证明： ，又 ， ， ， ，即 acba10b0cabc2abc21同理 ， ， 当且仅当 时，等号成立b2c2811a 3说明：本题巧妙利用 的条件，同时要注意此不等式是关于 的轮换式1a cba、例 15 设 ，求证： Rc、 )(2222 ccb分析：本题的难点在于 不易处理，如能找出 与 之间的关系，问题可得到解决，2cb、 ba注意到： ，baaab )(2)()( 222则容易得到证明证明： ，2222 )()(b，于是 同理： ， 2aba2cbc )(22aca三式相加即得： )(222 acb说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于 的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然cb、后利用同向不等式的可加性例 16 已知： （其中 表示正实数）求证：Rba、 baba1222分析：要证明的这一串不等式非常重要， 称为平方根， 称为算术平均数， 称为几何平均数， 称2babab为调和平均数证明： 041222 baba 22baa ，当且仅当“ ”时等号成立R、 ，等号成立条件是“ ”0)(4122baba 2baba ，等号成立条件是“ ”，)(22习题精选精讲7bababa2)(212 0)()2( 2baba ，等号成立条件是“ ”说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法例 17 设实数 ， ， ， ， ， 满足 ， ， ，求证1ab1c2b2c021a21bc2ca221 )()(ca分析：由条件可得到 ， ， ， 同号为方便，不妨都设为正将求证式子的左边展开后可看出有交叉项 和121c2 21ca无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证12c证明： 同理，由 知 与 同号， 与 同号同 号 2121,0aa221bcac， 1c2ac ， ， ， 同号不妨都设为正c 12)( 1221cb 212cb11b，即 |1221)(b 222)()(ca说明：本题是根据题意分析得 ， ， ， 同号，然后利用均值不等式变形得证换一个角度，由条件的特点我们还会联想1ac到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法实际上，由条件可知 ， ， ， 为同号，不妨设同为正又 ， ， ，12 21bca2c214bca224bca不等式 ， 对任意实数 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件） ，两式相加011cx022cxbax得 ，它对任意实数 恒成立同上可得： )()()( 222 212121 )()(bca例 18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈 4 间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为 36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为 ， ，即求 的最大值注意条件 的利用xyx364yx习题精选精讲8解：设每间羊圈的长、宽分别为 ， ，则有 ，即 设xy364yx182yxxyS,623218yx7,S即上式当且仅当 时取“” yx此时 ,1832.3,29yx羊圈长、宽分别为 m，3m 时面积最大说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽） ，将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件之下求积 的最大值的方法：直接用不等式 ，即可出现积 当然，也可用“减少变1832yxxy yxyx3218xy量”的方法： ，当且仅当2186)(6)2(3)2( xyS时取“=” x182例 19 某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为 1200 元/m 2，房屋侧面的造价为 800 元/m 2，屋顶的造价为 5800 元如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为 12m2，但长和宽不知道，故考虑设宽为 m，则长为 m，再设总造价为 由题意就可以建立函数关系了x1y解：设矩形地面的正面宽为 m，则长为 m；设房屋的总造价为 根据题意，可得：x25802310xxy576580162308)(30xx)(46528元当 ，即 时， 有最小值 34600 元x16y因此，当矩形地面宽为 4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是 34600 元说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立例 20 某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状） ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 1m 长造价 40 元，两侧墙砌砖，每 1m 长造价 45 元，顶部每 1m2造价 20 元计算：习题精选精讲9(1)仓库底面积的最大允许值是多少？ (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系解：设铁栅长为 m，一堵砖墙长为 m，则有 .xyxyS由题意得 (*).3204520x应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,20193Sxy6S即： .)(,01,01S从而： .S因此 的最大允许值是 ，取得此最大值的条件是 ，而 ，由此求得 ，即铁栅的长应是2myx90410x15xm15说明：本题也可将 代入（*）式，导出关于 的二次方程，利用判别式法求解xy例 21 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）ks km/hc由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 的平方成正比，且比例系数为 ；固定部分为 元km/hvba（1）把全程运输成本 元表示为速度 的函数，并指出这个函数的定义域；y（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是 1997 年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 ，全程运输成本为hvs故所求函数为 ，定义域为 )(2bvasbvsay )(bay)0(cv，（2）由于 都为正数，故有 ，即 、 svs2)( absas2当且仅当 ，即 时上式中等号成立若 时，则 时，全程运输成本 最小；bvaacbabvy当 ，易证 ，函数 单调递减，即 时， cc0)()vsfyc)(minbcas习题精选精讲10综上可知，为使全程运输成本 最小，在 时，行驶速度应为 ；在 时，行驶速度应为 ycbabavccv基本不等式 (当且仅当 a=b 时，等号成立)的应用与解析几何知识的衔接ba22（当且仅当 a=b 时，等号成立）的应用，本文再就这一问题结合解析几何（必修 2）进行论述，供专家ba22及同行们参考。不当之处，敬请批评指正。应用基本不等式 时，应注意以下两个问题：（1） “一正二定三等” 。一正，即 a,b 两个数为正数；abba22二定，即两个正数的乘积为定值；三等，即等号成立的等价条件是“a=b” 。 （2）规律是：积定和最小，和定积最大。题型（一）求直线的方程例题过点 P（1，2）的直线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，（1）当 的面积最小时，求直线 l 的方程，并求出最小值； （2）当 最小时，求直线 l 的方程，并求出AOB OBA最小值； （3）当 最小时，求直线 l 的方程，并求出最小值。 解（1）由题意知直线 l 的斜率 k0，b0)的直线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，（1）当 的面积最小时，求直线 l 的方程，并求出最小值； AOB（2）当 最小时，求直线 l 的方程，并求出最小值； （3）当 最小时，求直线 l 的方程，并求出最小值。 P题型（二）求夹角问题例题已知 A（0，a）,B(0,b)(atStt 3232 1)()1)( xxy当且仅当 即 时取等号，此时 。若所含因子仅幂次不同，则不需增加参数的个数。x3,1x7maxy例 2求 的最大值。)0)(12 3212212 )()()()()()1 tttttty 当且仅当321212 3()()t 0,)()( 2121 tt即 时取等号，此时 。类似地可求得函数 的最,321 t93maxy )2(cosin2,21i)k例 3求函数 的最小值。),0cos3s44y解：设 ，0,21 )()cos3(in2i( 212413 xx则 )(cssin14236xy )(cos3in21x当且仅当 2331 ,o,x即 时取等号，此时可求得 。依照上例还可拓广为求某些5sin