行列式的计算方法小结

幻灯片 1幻灯片 21、定义法：适用于 0比较多的行列式2、利用性质化三角形行列式3、 按行（列）展开4、 其他方法：析因子法箭形行列式行（列）和相等的行列式递推公式法加边法（升级法）拆项法数学归纳法幻灯片 3（一）析因子法 21359xD例：计算 解：由行列式 定义知为 的 4 次多项式又，当 时，1，2 行相同，有 ， 0x为 D 的根当 时，3，4 行相同，有 ,2为 D 的根故 有 4 个一次因式: 1,2,xD幻灯片 4 ()(),ax设令 则 0,32159().即， ()2()Dxx幻灯片 5（二）箭形行列式 012,0,13.nniabcan 解：把所有的第 列 的 倍加到(,)i ic第 1列，得： 201ninbDaa幻灯片 6可转为箭形行列式的行列式：12),01,23.inaan 12),.inxa （把第 i 行分别减去第 1行， 即可转为箭形行列式）幻灯片 7（三）行（列）和相等的行列式 )abD 12(1)nbaca 解：1()baan10()2,3i brba 1()na幻灯片 8 23142)12nD 314()22nn 解12310()nrn幻灯片 9 11()2nn1 1()0,3i nr 1211()0nnnc (1)2()(1)12nn幻灯片 10（四）升级法（加边法） 1212,0nn nabaDb 1210nnab 解：1)幻灯片 11 2110(2,3)ni nar b 110(,2)nii nacbb 121().niabb幻灯片 12（五）递推公式法 00.1naDab 12c()nnD展 展开解 21()abba 21()nnD幻灯片 13 21,而 21();nnnabab2.1()nabD由以上两式解得 （先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2 阶，1 阶）行列式的值求出 的值）幻灯片 14（六）拆项法（主对角线上、下元素相同） 121)n naxaDx 11220nnnaxa 解： 1210nxDa 幻灯片 15 1211nnnD1212,nnnDxaxD 33 继续下去，可得 112121nnna 4343xxx 121212( ) n121210 ()nixDxax ,当 时 幻灯片 16当 时也可以用加边法做： (,)i 10nnax 1nax 10ninnaaxD 121()nixax幻灯片 17（七） 数学归纳法例、证明： 1212()nniDaa 证：当 时， ，结论成立11()假设 时结论成立，即， k121()kiaa幻灯片 18对 ，将 按最后一列拆开，nkkD121k kaDa 1122 10kka 幻灯片 191210kaaD 121kka 21()kiaa 112()kiaa所以 时结论成立，故原命题得证n幻灯片 20（八） 范德蒙行列式 1221nnxD 例、计算行列式解：考察 阶范德蒙行列式122112()nnnxxf 幻灯片 21 121()()()ijjnxxx显然 就是行列式 中元素 的余子式 ， .1nM1x()fD即 ,1,nA ,（ 为代数余子式）,n又由 的表达式及根与系数的关系知，()fx中 的系数为： 121()().nijjix,njjiAx即， 121()()nijjD幻灯片 22练习 1、计算 122120,00nn nnaa 2112100nnnaaD 解幻灯片 23 21112,3ni nnar 12112 200nnnna幻灯片 241221 200(3,4)ni nac 12(3,4)ijca 1200inia幻灯片 25 1(2)12niinaa212,1()()nn inija幻灯片 269504nD 练习 2、计算 i1125049c0,n nD 展 开解：即有 2(),nD于是有 幻灯片 27 21321544(5)nn(6),同理有 213)nnDD2215(45(65n1154nnD即 幻灯片 28nabca 练习 3、计算 0ncbcbDaa 解 11()nnbccDa 幻灯片 291100()nnbbacacD 11()nb0nabccD 又幻灯片 30 11()ncabD c展-() ，得)()nnncbab /Db展当 时1 ()nncbDab展当 时幻灯片 31练习 4、证明： os102coscs12n 证： 时， . 结论成立1D假设 时，结论成立 k当 时， 按第 行展开得 n11cos022cs()1coskk 幻灯片 32 1kD由归纳假设 2cos()k2coscsoinskki(1)于是 时结论亦成立，原命题得证n幻灯片 33 221nnnxD 练习 5、计算解：考察 阶范德蒙行列式122112()nnnxxg 121()()()nijjxxx幻灯