级数的收敛性

3 级数的收敛性主要知识点：级数及其敛散性概念；正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法。交错级数的 Leibunitz 判别法，Leibunitz 型级数余项的性质。一般项级数收敛性的 Abel 、Dilichlet 判别法。1、 设 ，试判断 的敛散性。12sinlm()na1na解： ，由此即知级数收敛。132sin224n:2、 设 的收敛性。l()(0),npa讨 论 na解： ，所以ln2l(1)l1,()()pnn tet，由此即知22 1llnl () ()lnlnpnpppn nnae e :101时 级 数 收 敛 ， 时 级 数 发 散 。3、 若正项级数 。nnaabn nae收 敛 ， 且 ， 则 收 敛解： ，所以 。l()l()n nnbe a:nb收 敛4、 设 ，讨论 的敛散性。110,sinnxx1pnx解：易知 （参见1.1） ， ，因此 时 ，3n:2pn与 同 阶 2pnb收 敛时 发散。2pnb5、 讨论级数 的敛散性。12()(0)npn解：11(),02()nnn n nppabb设 则 ： 时 条 件 收 敛 ，并且2npb时 绝 对 收 敛 。 111()()()()(1)(2nnnpnnp ppca n。 可见：11122 2()npppon02n n nnccpaa当 时 绝 对 收 敛 ， 时 发 散 ； 从 而 当 时 条 件收 敛 ,当 时 绝 对 收 敛 。 16, 1nnn kpaSaS、 设 发 散 ， 。 求 证 ： 级 数 当 时 发 散 ，1p当 时 发 散 。解：先讨论 11()mmkkknnnaSS的 情 形 。，由柯西准则 发散。1mnS n(1)nnp pnaaSS当 时 ， 所 以 发 散 。 11112221k knk kSnkpppppSSaadxdxdx 当 时7、设 是 上连续的周期函数，周期为 1，并且()x,)0()，。11 20(),()(,2)n nfCafxdna 。 证 明 ： 收 敛10 12 21 102()()(), knnk knnnt tftfftdtkMftdtftnGaa 证 明 ： 。故 收 敛 。8、判断级数 11()()!neen 与 的 敛 散 性 。00111! ()2nnkkknknu k解 ：= ，由比较法知第一个级数收敛。112()2()2(1)knkn11 20()()ln1()(),lim();)xxx xfxeffx设 则。故012xnu与 同 阶 ， 从 而 第 二 个 级 数 发 散 。19, 00nn npaapup、 设 。 证 明 ： 时 收 敛 ， 时nu发 散 。 111 1110()0 pnn nnp pn nn naapuapuw证 明 ： 设 。 时时 ， 比 较 与 的 关 系 ， 即 与1(),0(),10,p ppnn ntxxauwau的 关 系 。 对 在 应 用 中 值 定 理 得故 。 时 由 柯 西 准 则 可 证 。 ()(1)20(),nfxCfxf、 设 。 求 证 ： ()limnfce()()(1)1 ()nnkkfxfxffx证 ： ， 由 条 件 可 知 极 限。()()(1)1lim()nkkffff存 在 ， 并 且 右 边 的 级 数 一 致 收 敛，并() ()(1)(1)()1()