重庆邮电大学矩阵分析试题及答案

第一套试题一（10 分） 、设 是数域 F 上的线性空间 的线性变换， ， ， 分别为 的三个互不相同的特征值V1x23， ， 的特征向量。123（1）证明： ， ， 是线性无关的；1x23（2）证明： + + 不是 的特征向量。二（10 分） 、求 矩阵2()(2)A的 Smith 标准形。三（10 分） 、求矩阵 的 Jordan 标准形. 120634四（12 分） 、设有正规矩阵 ，试求酉矩阵 ，使 为对角阵。 01iAiUHA五（10 分） 、设 。1i验证： (1);HNAR32.C六（12 分） 、验证矩阵 为正规矩阵，并求 的谱分解。1023iAiA七（14 分） 、设 。计算i12（1） 的谱半径；A（2） ， ， ；12（3）设 ，证明： ，其中 是 的任何一种范数。nACAA八（12 分） 、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。（1） ， （2）1237kk 1286kk九（10 分） 、在以下题目中任选一个。（1） 设有 Hermite 矩阵 试证： 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵 使.AQ.HA（2） 试证：矩阵 相似于矩阵 ，其中 为非零常数, 为任意常数.102m0mBnnm（3） 设 为一个 阶矩阵且满足 ，证明： 相似于一个对角矩阵。An2560AEA第一套试题答案一（10 分） 、证明：（1）设 + + =0， 1kx23用 作用式两端，有 + + =0 12kx3-，有 1231()()0k再用 作用式两端，有 22313()0xkx -，有 。2313()k由于 互不相等， ，因此 ，将其代入，有 ，利用，有 。故 ，1, 0xk2k10k1x， 是线性无关的。2x3（2）用反证法。假设 + + 是 的属于特征值 的特征向量，于是有1x23123()()x即 123123()xx()()0由于 ， ， 线性无关，因此 ，这与 互不相等矛盾。所以， + + 不是1x23123123,1x23的特征向量。二（10 分） 、解: 231231232()();();()();()()()ADDdd的 行 列 式 因 子 分 别 为 ，不 变 因 子 分 别 为 ，于 是 的 Smith标 准 形 为 .三（10 分） 、解: 12634EA210(1)， A矩 阵 的 初 等 因 子 为 : -, -。0:1J故 约 当 标 准 形 为四（12 分） 、解：令 120,EA得 特 征 值 1232， ， ，解齐次方程组 0,x;Ti1得 基 础 解 系解齐次方程组 2得 基 础 解 系解齐次方程组 2,EAx;Tii3得 基 础 解 系1312由 于 ， ， 已 两 两 正 交 ， 将 ， ， 单 位 化 得201623TTTpippii=， =， =1,(2) .3HUpUA123令 分 ， 则五（10 分） 、解： ； 又1 1(1),0,()TAxoiNAspan解 齐 次 方 程 组 得 基 础 解 系 ， ， ； 显然2323 231, ,H HRAspanspan oi这 里,0,ijij当 时 ； .NAR故 有3 33(2)dimdimidim,QHHNCARC是 的 子 空 间且故 。六（12 分） 、解：由于 ，所以 是正规矩阵。H由 得 的特征值为 21302()131iEAiA。123,属于特征值 的正交单位特征向量为 ；属于 的单位12121(0,)(,0)i31特征向量为 。31(,0)i因此 的正交投影矩阵为A； 12201HiGi23102HiGi所以 的谱分解为 A12七（14 分） 、解： 的特征多项式为 ，则 特征值为 ， 。A42)(f A51512（1） 的谱半径为 。51A（2）容易计算 的 1范数为；231的 范数为A；A因为，156iiH则 的特征多项式为AH，67)(2g所以 的特征为 ， ，故 的 2范数为H16)(1AH12AH。 4（3）证明：设 的特征值是 ，对应的特征向量为 ，则 ， 。A0两边取范数，得，A从范数的相容性，得，因为 ，则 ，这样0。A由于上式对任意的特征值都成立，故 。 )(八（12 分） 、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。解：（1）设 ，则 的特征值为 ， ， 317AAi31i312从而 的谱半径为 。2)(因为幂级数 的收敛半径为 ， 12kkx1R则 ，从而 是发散的。 RA)(1237kk（2） ，则 的特征值为 ， ，8A3152从而 的谱半径为 。A5)(因为幂级数 的收敛半径为 ， 16kkx6R则 ，故 是绝对收敛的。RA)(128kk九（10 分） 、在以下题目中任选一个。（4） 证：必要性： 0, ,0HnHHAQxCxAQx设 ， 则 对 ,有这 里 可 逆 ； 故 正 定 。充分性：因为 是 Hermite 矩阵，所以 是正规矩阵，因此存在酉矩阵 使U又 正定，所以 都大于 0；因此11,OLH nnUAA其 中 ， ， 是 的 特 征 值 ； 1Ln， ，11 1,OHHnn nUQU令则 .HAQ（2）证: , ,102mE0mEBn显然 的行列式因子为: ， A 3123()1,()DD的行列式因子为: ， EB m于是 与 具有相同的行列式因子, 从而 EABAB与 相 似 。（3）证：设 是 的任意一个特征值， 是 的属于特征值 的特征向量，即 ，那么由xAx，可得 ，于是 的特征值为 2 和 3. 2(56)0Ax2560注意到 ,所以 .另一方面，2(3)EE()(3)rankAErankn()(2)3)rankrankArank所以， 。(2(3设 ，则 。于是 的基础解系有 个解向量