高中数学圆锥曲线的“内部”作用_第1页
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圆锥曲线的“内部”作用我们知道，下列不等式： 、 、 表示的区21xy21(0)xyab2ypx域分别是圆的内部、椭圆的内部、抛物线的内部。有关圆锥曲线的问题，我们常常是从定义和性质出发来考虑的，至于圆锥曲线的内部区域往往不被重视，其实圆锥曲线的内部在数学中有许多重要的作用。一、能解决一类直线和圆锥曲线的位置关系例 1：直线 ，与椭圆 恒有公共点，求 的取值范:10()lykxR215xymm围。分析：本题的常规解法是用直线的方程与椭圆的方程联立，整理成关于 的一元二次x方程，利用判别式 ，但如果利用椭圆的内部，可使问题的解决更简洁明了。因为直线 恒过定点 ，所以直线 和椭圆有公共点的充要条:10()lykxR(0,1)l件是点 在椭圆上或内部。(0,1)故 ，又由题设可知 且 。故5mm5,)(5,.二、能解决一类对称问题例 2：已知抛物线 上有关于直线 对称的相异两点，求 的取2(1)yx:lyaxa值范围。分析：本题的解法有多种，但都比较繁琐，唯有用抛物线的内部为最简单。设 、 是抛物线上关于直线 对称的两点。则有1(,)Axy2(,)Bl211222211, 1, .(),axyxayyx所以线段 AB 的中点坐标为 ，因为点 在抛物线内1(,)2a1(,)2a部，所以有，故21()a20.4a解之得 的取值范围是a(2,0).三、能解决一类最值问题例 3：如果实数对 表示的点在椭圆 上或其内部，求 的最大值(,)xy2169xyxy和最小值。分析：本题并不是很难解决的问题，用切线法或三角代换法能迅速求解。下面给出一种利用椭圆内部的解法。设 ，所以实数对 可写成 ，因其表示的点在椭圆上或椭圆内部，xyb(,)xy(,)xb则有 22()1169故 ，即 在 上有2253640xb22531640xb4,x解。利用代数知识可求得 5.故 maxmin(),()yy四、能解决一类含绝对值的不等式例 4：解不等式138.x分析：在复平面上，不等式 表示中心在 ，以 与 为焦138z(2,0)(1,)3,0点，长轴长为 8
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