2017年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1设全集 U=R， A=x|x 6 0， B=x|y=x+1） ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A x| 3 x 1 B x| 3 x 0 C x| 1 x 3 D x|x 1 2计算 =（ ） A 2i B 0 C 2i D 2 3若向量 =（ 1， 2）， =（ 4， 5），且 （ + ） =0，则实 数 的值为（ ） A 3 B C 3 D 4已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面命题 p：若 =m，m n，则 n ；命题 q：若 m ， m， =n，则 m n那么下列命题中的真命题是（ ） A p q B p q C p q D p q 5在利用最小二乘法求回归方程 时，用到了如表中的 5 组数据，则表格 a 中的值为（ ） x 10 20 30 40 50 y 62 a 75 81 89 A 68 B 70 C 75 D 72 6某几何体的三视图如 图所示，图中四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是（ ） A B C D 7在 ， D 为 上的一点， D=5， ， ） A 9 B 8 C 7 D 6 8抛物线 p 0）的焦点为圆 x2+6x=0 的圆心，过圆心且斜率为 2的直线 l 与抛物线相交于 M， N 两点，则 |（ ） A 30 B 25 C 20 D 15 9某电视台曾在某时间段连续播放 5 个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留 其中的 2 个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（ ） A 60 种 B 120 种 C 144 种 D 300 种 10已知函数 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，且在 时取得最大值 2，若 ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 11双曲线 的左、右焦点分别为 x 轴的垂线交双曲线于 A， B 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = （ a 0， a 1）的图象上关于直线 x=1对称的点有且仅有一对，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， ） C ， D ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 展开式中的所有二项式系数和为 512，则该展开式中的常数项为 14运行程序框图，若输出的 S 的值为 ，则判断框内的整数 a 为 15若实数 x， y 满足不等式组 ，则 的取值范围是为 16设 f（ x）是函数 f（ x）在定义域 R 上的导 函数，若 f（ 0） =1 且 f（ x）2f（ x） =0，则不等式 f（ x） 4 的解集为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17（ 12 分）设等差数列 前 n 项和 足 5，且 2 成公比大于 1 的等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 18（ 12 分）为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校 20 个班级进行了 “汉字与英语书法大赛 ”如图，四边形 梯形， 平面 0， （ 1）线段 是否存在一点 E，使平面 平面 存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由 （ 2）若 ，线段 有一点 F，且 直线 平面 成角的正弦值 20（ 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 顶点为 A，点 在椭圆 C 上，过点 A 与 直的直线交 x 轴负半轴于点 B，且 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在过点 Q（ 4， 0）的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，使得 36|=35|若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 21（ 12 分）设函数 f（ x） = （ 1）当 b=1 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）当 a=1， b=0 时，函数 g（ x） =f（ x） k 为常数，若函数 g（ x）有两个相异零点 明： 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 选修 4数方程与极坐标系 22（ 10 分）在直角坐标系 ，圆的参 数方程为 （ 为参数），直线 参数方程为 （ t 为参数） （ 1）若直线 O 圆相交于 A， B，求弦长 | （ 2）以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 极坐标方程为 ，圆 O 和圆 交点为 P， Q，求弦在直线的直角坐标方程 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 1|，不等式 f（ x+5） 3m（ m 0）的解集为 7， 1 （ 1）求 m 的值； （ 2）已知 a 0， b 0，且 2a2+m，求 2a 的最大值 2017 年河南省濮阳 市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1设全集 U=R， A=x|x 6 0， B=x|y=x+1） ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A x| 3 x 1 B x| 3 x 0 C x| 1 x 3 D x|x 1 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 阴影部分表示的集合为 A B，解出 A， B，再求交集 【解答】 解：阴影部分表示的集 合为 A B，而 A=x|x 6 0=x| 2 x 3， B=x|y=x+1） =x|x 1， 故 A B=x| 1 x 3， 故选 C 【点评】 本题考查了求 表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出 2计算 =（ ） A 2i B 0 C 2i D 2 【考点】 虚数单位 i 及其性质；复数代数形式的乘除运算 【分析】 由于 = = =i， = = i 即可得出 【解答】 解： = = =i， = = i =（ 504i+（ i） 4504（ i） =i i=0 故选： B 【点评】 本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3若向量 =（ 1， 2）， =（ 4， 5），且 （ + ） =0，则实数 的值为（ ） A 3 B C 3 D 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据平面向量的坐标运算法则与数量积运算，列出方程即可求出实数 的值 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 4， 5）， 所以 = + = =（ 3， 3）， + =（ +4， 2+5）， 又且 （ + ） =0， 所以 3（ +4） +3（ 2+5） =0， 解得 = 3 故选： C 【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目 4已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面命题 p：若 =m，m n，则 n ；命题 q：若 m ， m， =n，则 m n那么下列命题中的真命题是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 判断命题 p 与 q 的真假，命题的发的真假， 然后推出结果即可 【解答】 解：垂直平面的内的一条直线，不能确定直线与平面垂直，所以命题 题 q 满足直线与平面平行的性质定理，所以命题 q 是真命题；所以 p 是真命题；可得 p q 是真命题； 故选： C 【点评】 本题考查复合命题的真假的判断，空间直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力 5在利用最小二乘法求回归方程 时，用到了如表中的 5 组数据，则表格 a 中的值为（ ） x 10 20 30 40 50 y 62 a 75 81 89 A 68 B 70 C 75 D 72 【考点】 线性回归方程 【分析】 由题意回归直线方程 ，过样本点的中心点，即可得 a 的值 【解答】 解：由题意可得 = （ 10+20+30+40+50） =30， = （ 62+a+75+81+89）， 因为回归直线方程 ，过样本点的中心点， 所以 （ a+307） =30+得 a=68 故选 A 【点评】 本题考查线性回归方程，利用回归直线过样本点的中心点是解决问题的关键，属基础题 6某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一圆锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、圆锥的表面积 【解答】 解：由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一圆锥得到的， 该圆锥的底为正方形的内切圆，高为 1， 该几何体的体积为 6 22 + 1 =24+（ ） 故选 B 【点评】 本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的表面积计算，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式 7在 ， D 为 上的一点， D=5， ， ） A 9 B 8 C 7 D 6 【考点】 正弦定理 【分析】 设 B=，则 ，在 ，由正弦定理可求 ，由正弦定理得 = ，联立可求 值，即可得解值 【解答】 解：设 B=，则 ， 在 ，由 ，所以， 在 ，由 = ，可得： = ， 所以， 16，可得： ， 所以： =6 故选： D 【点评】 本题主要考查 了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题 8抛物线 p 0）的焦点为圆 x2+6x=0 的圆心，过圆心且斜率为 2的直线 l 与抛物线相交于 M， N 两点，则 |（ ） A 30 B 25 C 20 D 15 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 求出抛物线方程，直线 l 的方程为： y=x 1，与抛物线方程联立化为：y+1=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出 【解答】 解：圆 x2+6x=0 的圆心（ 3， 0），焦点 F（ 3， 0），抛物线 2x， 设 M（ N（ 直线 l 的方程为： y=2x 6， 联立 ，化为： 9x+9=0， x1+， |x1+x2+p=9+6=15， 故选： D 【点评】 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9某电视台曾在某时间段连续播放 5 个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的 2 个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也 不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（ ） A 60 种 B 120 种 C 144 种 D 300 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 要在该时间段只保留其中的 2 个商业广告，有 0 种方法，增播一个商业广告，利用插空法有 3 种方法，再在 2 个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有 2 种方法，利用乘法原理，可得结论 【解答】 解：由题意，要在该时间段只保留其中的 2 个商业广告，有 0 种方法，增播一个商业广告，利用插空法有 3 种方法，再在 2 个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有 2 种方法 根据乘法原理， 共有 20 3 2=120 种方法 故选： B 【点评】 本题考查乘法原理，考查插空法的运用，正确分步是关键 10已知函数 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，且在 时取得最大值 2，若 ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由已知可求周期，利用周期公式可求 ，由 x= 时， f（ x）取得最大值，结合范围 0， ，可求 ，求得函数 f（ x）的解析式，由 ，可得 + ）的值，可求范围 + ，利用同角三角函数基本关系式可求 + ）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： 若 f（ x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ， 三角函数的周期 T=2，即 T= =2，即 =1， 则 f（ x） =x+） +1， 当 x= 时， f（ x）取得最大值， 即： +） =1， 即： += +2k Z， 即： = +2k Z， 0， ， = ， 则函数 f（ x）的解析式为： f（ x） =x+ ） +1 f（ ） =+ ） +1= ，可得： + ） = ， ，可得： + ， + ） = = =2+ ） + ） =2 （ ） = 故选： D 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数化简求值，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题 11双曲线 的左、右焦点分别为 x 轴的垂线交双曲线于 A， B 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的 简单性质 【分析】 直接利用双曲线的通径与 ，得到 a， b， c 的关系，运用离心率公式，求出双曲线的离心率的范围 【解答】 解：由题意可知，双曲线的通径为： ， 因为过焦点 垂直于 x 轴的弦为 ， 所以 =， e= 1， 所以 ， ，由解得 e （ 1， ） 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力 12已知函数 f（ x） = （ a 0， a 1）的图象上关于直线 x=1对称的点有且仅有一对，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， ） C ， D ， ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 若函数 f（ x） = （ a 0， a 1）的图象上关于直线x=1 对称的点有且仅有一对，则函数 y= y=2|x 5| 2 在 3， 7上有且只有一个交点，解得实数 a 的取值范围 【解答】 解： 函数 f（ x） = （ a 0， a 1）的图象上 关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对， 函数 y= y=2|x 5| 2 在 3， 7上有且只有一个交点， 当对数函数的图象过（ 5， 2）点时， 由 2，解得 a= ； 当对数函数的图象过（ 3， 2）点时， 由 ，解得 a= ； 当对数函数的图象过（ 7， 2）点时， 由 ，解得 a= 故 a ， ） ， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，难度中档 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 展开式中的所有二项式系数和为 512，则该展开式中的常数项为 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用展开式的所有二项式 系数的和，然后求出 n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可 【解答】 解：展开式中所有二项式系数和为 512，即 2n=512，则 n=9， =（ ） 令 =0，则 r=3，所以该展开式中的常数项为 故答案为： 【点评】 本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力 14运行程序框图，若输出的 S 的值为 ，则判断框内的整数 a 为 10 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，可知输出结果是首项为 ，公比为 的等比数列的前k 项和，由输出的 S 的值为 1 ，可求判断框中的整数 a 的值 【解答】 解： =1 ， 由程序框图可知，输出结果是首项为 ，公比为 的等比数列的前 k 项和， 若输出的 S 的值为 1 ， 则判断框中的整数 a 为 10 故答案为： 10 【点评】 本题主要考查了算法和程序框图的应用，着重考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题 15若实数 x， y 满足不等式组 ，则 的取值范围是为 ，3） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组 对应的平 面区域如图： =1+ ，设 k= ，则 k 的几何意义为区域内的点到定点 D（ 1， 1）的斜率， 由图象知 斜率最小， 斜率最大，如果 A 在可行域则 k 的最大为： =2，最小为： = ， 即 k 2， 则 k+1 3， 故 的取值范围是 ， 3）， 故答案为： ， 3） 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键 16设 f（ x）是函数 f（ x）在定义域 R 上的导函数，若 f（ 0） =1 且 f（ x）2f（ x） =0，则不等式 f（ x） 4 的解集为 （ 1， 0） （ 1， 2） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 根据题意，不妨设 f（ x） =x R，则 f（ x）在 R 上是单调增函数，把不等式 f（ x） 4 化为 x） 而求出不等式的解集 【解答】 解：根据题意，不妨设 f（ x） =x R， 则 f（ x） =2足 f（ 0） =，且 f（ x） 2f（ x） =0； 所以 f（ x）在 R 上是单调增函数； 又 4=f（ 所以不等式 f（ x） 4 等价于 x） 即 ， 解得 ， 即 1 x 0 或 1 x 2； 所以该不等式的解集为（ 1， 0） （ 1， 2） 故答案为：（ 1， 0） （ 1， 2） 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17（ 12 分）（ 2017濮阳一模）设等差数列 前 n 项和 足 5，且2 成公比大于 1 的等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列与等比数列的综合 【分析】 （ 1）利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出 用 2a6， 成公比大于 1 的等比数列，求出公差，然后求解数列的通项公式 （ 2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】 解：（ 1）设等差数列 首项为 差为 d， 5，所以 ，2 成公比大于 1 的等比数列， 所以 ），即：（ d） 2=2（ d）（ d+1），所以 d=1 或 d=（舍去）， 所以 a1=2d=3 2=1 所以 an=n， 数列 通项公式为： an=n； （ 2）由（ 1）可知：设 ， =n（ ） n， +2 （ ） 2+3 （ ） 3+ +n（ ） n ； 2 可得： （ ） 2+2 （ ） 3+3 （ ） 4+ +（ n 1）（ ） n+n（ ） n+1 ， 得： +（ ） 2+（ ） 3+ +（ ） n n（ ） n+1 n（ ） n+1= =1（ ） n n（ ） n+1 【点评】 本题考查 数列求和，数列通项公式的应用，考查计算能力 18（ 12 分）（ 2017濮阳一模）为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校 20 个班级进行了 “汉字与英语书法大赛 ”（ 2017濮阳一模）如图，四边形 梯形， 平面 0， （ 1）线段 是否存在一点 E，使平面 平面 存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由 （ 2）若 ，线段 有一点 F，且 直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与 平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连结 可得到 C，而 E 又是 点，从而得到 由 平面 可得到 而得出 平面 据面面垂直的判定定理即可得出平面 平面 （ 2）建立如图所示的坐标系，求出平面 法向量，即可求直线 平面成角的正弦值 【解答】 解：（ 1） =1 时，平面 平面 证明：连结 0， ， ， C=2a， E 为 点， 又 平面 面 ； 平面 面 平面 平面 （ 2）建立如图所示的坐标系，则 D（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， A（ ， 0，0）， B（ ， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， F（ 0， ， ）， =（ ， ， ）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， =（ ， 1， 0）， =（ 0， 2， ）， ，取 =（ 1， ， 2） 直线 平面 成角的正弦值 =| |= 【点评】 本题考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017濮阳一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 顶点为 A，点 在椭圆 C 上，过点 A 与 直的直线交 x 轴负半轴于点 B，且 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在过点 Q（ 4， 0）的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，使得 36|=35|若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【 分析】 （ 1）设出 B 的坐标，根据 =0，以及 中点，求出 a=2c，得到关于 a， b， c 的方程，求出椭圆的方程即可； （ 2）设直线 m 的范围为 y=k（ x 4），联立方程组得到（ 3+432412=0，求出 k 的范围，设 M（ N （ 得到关于 k 的方程，解出即可 【解答】 解：（ 1）设 B（ 0），由 c， 0）， A（ 0， b）， 得 =（ c， b）， =（ b）， =0， ， ， 2 + =0， 中点， +c= 2c， c2= a=2c， 由 ，解得 ， 椭圆的方程是 + =1； （ 2）由题意得直线 m 的斜率存在， 可设直线 m 的范围为 y=k（ x 4）， 由 ，消去 y，整理得（ 3+432412=0， 由 =（ 322 4（ 3+4 6412） 0， 解得： k ， 设 M（ N （ 则 x1+， ， |= ， | ， 又 | =（ ） 4（ x1+16=（ ） ， （ ） = ， 解得： k= ，经检验成立， 直线方程是 y= （ x 4）即 x+4y 4 =0 或 x 4y 4 =0 【点评】 本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆位置关系的问题，考查分析理解与计算能力 21（ 12 分）（ 2017濮阳一模）设函数 f（ x） = （ 1）当 b=1 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）当 a=1， b=0 时，函数 g（ x） =f（ x） k 为常数，若函数 g（ x）有两个相异零点 明： 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （ 2）求出 =k，问题转化为证明 ，即证明 ，设 t= ，则 t 1，设 h（ t） =，（ t 1），根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1） b=1 时， f（ x） =义域是（ 0， + ）， f（ x） = （ x 0）， a 0 时， a 20， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）递减； a 0 时， f（ x） = ，（ x 0）， x （ 0， ）时， f（ x） 0， x （ ， + ）时， f（ x） 0， 故 f（ x）在（ ， + ）递减，在（ 0， ）递增； 证明：（ 2） a=1， b=0 时， g（ x） =f（ x） kx= 由 g（ x） =0，得： ， ， k（ x1+ k（ =k， 要证明 需证明 2， 即证明 k（ x1+ 2，即证明 k ， 即证明 ， 即证 明 ， 设 t= ，则 t 1， 设 h（ t） =，（ t 1）， 则 h（ t） = 0， 函数 h（ t）在（ 1， + ）递增， h（ 1） =0， h（ t） h（ 1） =0， ， 【点评】 本题考查函数的单调性、最值问题，