2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|3x+2 0， B=x|2x 3 0，则 A B=（ ） A B C D 2已知 ，则 值是（ ） A B C D 3设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不 充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 4已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x，则 f（ 2）=（ ） A B 4 C D 4 5我国古代数学著作孙子算经中有如下的问题： “今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为 a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ） A 121 B 81 C 74 D 49 6从区间（ 0， 1）中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于 1 的概率是（ ） A B C D 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 25 B 50 C 75 D 100 8设抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A 为 C 上一点，若 |3，则直线 倾斜角为（ ） A B C 或 D 或 9已知函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2k ， 2k+ ）， k Z B（ 2， 2）， k Z C（ 4k ， 4k+ ）， k Z D（ 4， 4）， k Z 10已知双曲线 E ，其一渐近线被圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=9 所截得的弦长等于 4，则 E 的离心率为（ ） A B C 或 D 或 11已知正方体 面 过直线 平面 平面m，平面 过直线 平面 平面 n，则 m， n 所成角的余弦值为（ ） A 0 B C D 12设函数 f（ x）是定义（ 0， 2）在上的函数 f（ x）的导函数， f（ x） =f（ 2 x），当 0 x 时，若 f（ x） f（ x） 0， a= f（ ）， b=0， c= f（ ），则（ ） A a b c B b c a C c b a D c a b 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13设复数 z 满足 zi=2+3i，则 z= 14若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 15 内角 A， B， C 的对边分别为 ，若 a=2，则 积的最大值为 16在直角梯形 ， A=90， 积为 1，若 = ， = 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 前 n 项和 ，其中 k 为常数， 3 （ 1）求 k 的值及数列 通项公式； （ 2）若 ，求数列 前 n 项和 18为了响应我市 “创建宜居港城，建设美丽莆田 ”，某环 保部门开展以 “关爱木兰溪，保护母亲河 ”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成 10 段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表： 南岸 77 92 84 86 74 76 81 71 85 87 北岸 72 87 78 83 83 85 75 89 90 95 （ 1）记评分在 80 以上（包括 80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率； （ 2）根据表中的数据完成茎叶图： （ 3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况 ，哪边保护更好？ 19如图，在四棱锥 S ，四边形为 形， E 为 中点， B， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）若 三棱锥 C 体积 20已知点 P（ 0， 2），点 A， B 分别为椭圆 E： + =1（ a b 0）的左右顶点，直线 E 于点 Q， 等腰直角三角形，且 = （ 1）求 E 的方程； （ 2）设过点的动直线 l 与 E 相交于 M， N 两点，当坐标原点 O 位于 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围 21已知函数 f（ x） =23x+1， g（ x） = （ 1）设函数 ，当 k 0 时，讨论 h（ x）零点的个数； （ 2）若过点 P（ a， 4）恰有三条直线与曲线 y=f（ x）相切，求 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，圆 C 的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=2，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （ 1）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的普通方程； （ 2）设点 P 为圆 C 上的任一点，求点 P 到直线 l 距离的取值范围 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 4|+|x 2| （ 1）求不等式 f（ x） 2 的解集； （ 2）设 f（ x）的最小值为 M，若 2x+a M 的解集包含 0， 1，求 a 的取值范围 2017 年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|3x+2 0， B=x|2x 3 0，则 A B=（ ） A B C D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 1）（ x 2） 0， 解得： 1 x 2，即 A=1， 2， 由 B 中不等式解得： x ，即 B=（ ， + ）， 则 A B=（ ， 2， 故选： C 2已知 ，则 值是（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由已知利用诱导公式可求 值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解 【解答】 解： ， ， 1=2 （ ） 2 1= 故选： B 3设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可 【解答】 解： 到： 1=0，解得： a= 1 或 a=1， 所以应是充分不必要条件 故选： A 4已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x，则 f（ 2）=（ ） A B 4 C D 4 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 依题意首先把 x 0 时，函数的解析式求出再把 x= 2 代入函数式得出答案 【解答】 解：设 x 0，因为函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x） = 2（ x） 当 x 0 时，函数的解析式为 f（ x） = 2 x f（ 2） = 2（ 2） = 4 故选 B 5我国古代数学著作孙子算经中有如下的问题： “今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为 a，如图是解决该问题 的程序框图，则输出的结果为（ ） A 121 B 81 C 74 D 49 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S， a 的值，当 a=40 时，不满足条件 a 32，退出循环，输出 S 的值为 81，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=1， S=0， n=1 满足条件 a 32，执行循环体， S=1， n=2， a=8 满足条件 a 32，执行循环体， S=9， n=3， a=16 满足条件 a 32，执行循环体， S=25， n=4， a=24 满足条件 a 32，执行循环体， S=49， n=5， a=32 满足条件 a 32，执行循环体， S=81， n=6， a=40 不满足条件 a 32，退出循环，输出 S 的值为 81 故选： B 6从区间（ 0， 1）中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于 1 的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：设两个直角边长为 a， b， 则由条件可知 ， 则斜边长不大于 1 的事件为， a2+1， 则由几何概型的概率可知所求的概率 P= = ， 故选 B 7如图， 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 25 B 50 C 75 D 100 【考点】 球的体积和表面积；由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为： 5， 4， 3 的长方体的外接球 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥， 其外接球相当于一个长，宽，高分别为： 5， 4， 3 的长方体的外接球， 故球 O 的半径 R 满足： 42+42+52=50， 故球 O 的表面积 S=50， 故选： B 8设抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A 为 C 上一点，若 |3，则直线 倾斜角为（ ） A B C 或 D 或 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 先设出 A 的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y然后求解直线的斜率，得到直线 倾斜角 【解答】 解：设该 A 坐标为（ x， y），抛物线 C： x 的焦点为 F（ ， 0）， 根据抛物线定义可知 x+ =3，解得 x= ，代入抛物线方程求得 y= ， 故 A 坐标为：（ ， ）， 斜率为： = ， 则直线 倾斜角为： 或 故选： C 9已知函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2k ， 2k+ ）， k Z B（ 2， 2）， k Z C（ 4k ， 4k+ ）， k Z D（ 4， 4）， k Z 【考点】 正弦函数 的单调性 【分析】 由题意可得 + =42，求得 的值，再根据对称中心求得 的值，可得函数 f（ x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解：函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ， + =42，即 12+ =16，求得 = 再根据 +=k Z，可得 = ， f（ x） = x ） 令 2 x 2，求得 4 x 4， 故 f（ x）的单调递增区间为（ 4， 4）， k Z， 故选： D 10已知双曲线 E ，其一渐近线被圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=9 所截得的弦长等于 4，则 E 的离心率为（ ） A B C 或 D 或 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为 1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：由圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=9 可得圆心（ 1， 3），半径为 3， 双曲线 E ，的一条渐近线方程为 ， 渐近线被圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=9 所截得的弦长等于 4，圆心到直线的距离为： 由弦长公式可得 2= ，可得 ，解得 ， 即 c= a 或 c= a， 即 e= = 或 e= ， 故选： D 11已知正方体 面 过直线 平面 平面m，平面 过直线 平面 平面 n，则 m， n 所成角的余弦值为（ ） A 0 B C D 【考点】 异面直线及 其所成的角 【分析】 如图所示， 平面 面 过直线 平面 得平面 即为平面 可得 平面 m 为 理可得：平面 为平面 又 得 m， n 所成角为 据 可得出 【解答】 解：如图所示， 平面 面 过直线 平面 平面 即为平面 平面 m 为 平面 直线 平面 行， 而平面 过直线 平面 平面 为平面 平面 1D=n， 又 m， n 所成角为 由 正三角形，则 故选： D 12设函数 f（ x）是定义（ 0， 2）在上的函数 f（ x）的导函数， f（ x） =f（ 2 x），当 0 x 时，若 f（ x） f（ x） 0， a= f（ ）， b=0， c= f（ ），则（ ） A a b c B b c a C c b a D c a b 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出函数的对称轴，令 g（ x） =f（ x） 据函数的单调性判断函数值的大小即可 【解答】 解：由 f（ x） =f（ 2 x），得函数 f（ x）的图象关于直线 x= 对称， 当 0 x 时，若 f（ x） f（ x） 0， 令 g（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） f（ x） 0， 当 0 x 时， g（ x）在（ 0， ）递增，在（ ， 2）递减， 故 g（ ） g（ ） g（ ） =g（ ）， 即 a b c， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13设复数 z 满足 zi=2+3i，则 z= 3 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 zi=2+3i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 【解答】 解：由 zi=2+3i， 得 = 故答案为： 3 2i 14若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解 【解答】 解：由约束 条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ， ） 的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率， 则 的最大值为 故答案为： 3 15 内角 A， B， C 的对边分别为 ，若 a=2，则 积的最大值为 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知化简可得： b2+a2=余弦定理可求 ，结合范围 A （ 0， ），可求 A= ，由余弦定理，基本不等式可求 4，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解： ，可得： b2+a2= = = ， A （ 0， ）， A= ， a=2， 由余弦定理可得： 4=b2+ 4=b2+2bc=： 4，当且仅当 b=c 等号成立， S = ，当且仅当 b=c 等号成立，则 积的最大值为 故答案为： 16在直角梯形 ， A=90， 积为 1，若 = ， = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面直角坐标系，设出 D，求解相关的坐标，利用向量的数 量积求解 D 的坐标，然后求解即可 【解答】 解：如图，建立平面直角坐标系， 设 D（ 0， a）， 积为 1，可得 B（ ， 0），则 C（ ， 2a）， = ， 则 E（ . ）， 可得：（ ， a）（ ， ） =0，解得 ， =（ 0， a）， =（ ， a）， = 给答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 前 n 项和 ，其中 k 为常数， 3 （ 1）求 k 的值及数列 通项公式； （ 2） 若 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1） ， n 2 时， n 1 n=6 时， 3，解得 k进而得出 （ 2） = = = ，利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1） ， n 2 时， n 1=n2+（ n 1） 2+k（ n 1） =2n 1+k n=6 时， 1+k=13，解得 k=2 n 2 时， n 1+2=2n+1 当 n=1 时， 1=1+2=3，上式也成立 n+1 （ 2） = = = ， 数列 前 n 项和 + =1 = 18为了响应我市 “创建宜居港城，建设美丽莆田 ”，某环保部门开展以 “关爱木兰溪，保护母亲河 ”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成 10 段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表： 南岸 77 92 84 86 74 76 81 71 85 87 北岸 72 87 78 83 83 85 75 89 90 95 （ 1）记评分在 80 以上（包括 80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率； （ 2） 根据表中的数据完成茎叶图： （ 3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？ 【考点】 极差、方差与标准差；茎叶图 【分析】 （ 1）利用列举法求出从 10 段中任取一段的基本事件有 10 个，用 A 表示 “在同一段中两岸环保评分均为优良 ”的事件，利用列法求出 A 包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率 （ 2）根据表中数据，能完成茎叶图 （ 3）分别求出南岸 10 段的分值数据的中位数、平均数和北岸 10 段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好 【解答】 解：（ 1）从 10 段中任取一段的基本事件有 10 个，分别为： （ 77， 72），（ 92， 87），（ 84， 78），（ 86， 83），（ 74， 83）， （ 76， 85），（ 81， 75），（ 71， 89），（ 85， 90），（ 87， 95）， 这些基本事件是等可能的， 用 A 表示 “在同一段中两岸环保评分均为优良 ”的事件， 则 A 包含的基本事件为： （ 92， 87），（ 86， 83），（ 85， 90），（ 87， 95），共 4 个， P（ A） = （ 2）根据表中数据，完成下列茎叶图： （ 3）南岸 10 段的分值数据的中位数为： = 南岸 10 段分值数据的平均数为： = 北岸 10 段分值数据的中位数为： ， 北岸 10 段分值数据的平均数： = = 由 ，可以看出北岸保护更好 19如图，在四棱锥 S ，四边形为 形， E 为 中点， B， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）若 三棱锥 C 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连接 ，由题意可得 O 为 中点，又 E 为 三角形中位线定理可得 由线面平行的判定可得 平面 （ 2）过 E 作 足为 H，由线面垂直的判定可得 平面 到 平面 ，取 点 M，连接 得 进一步可得 再求出三角形 面积利用等体积法求得三棱锥 C 体积 【解答】 （ 1）证明：连接 ， 四边形 矩形，则 O 为 中点， 在 ， E 为 中点， 又 平面 面 平面 （ 2）解：过 E 作 足为 H， ， 平面 面 ， 平面 在 ，取 点 M，连接 E 三棱锥 C 体积为 20已知点 P（ 0， 2），点 A， B 分别为椭圆 E： + =1（ a b 0）的左右顶点，直线 E 于点 Q， 等腰直角三角形，且 = （ 1）求 E 的方程； （ 2）设过点的动直线 l 与 E 相交于 M， N 两点，当坐标原点 O 位于 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由向量共线定理求得 Q 点坐标，由 a=2，将 Q 代入椭圆方程，即可求得 b，求得椭圆方程； （ 2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及 0，向量数量积的坐标运算 0，即可求得 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由题意题意 等腰直角三角形 ， a=2， B（ 2， 0）， 设 Q（ 由 ， 则 ， 代入椭圆方程，解得 ， 椭圆方程为 ； （ 2）由题意可知，直线 l 的斜率存在，方程为 y=2， M（ N（ x2， 则 ，整理得：（ 1+4162=0， 由直线 l 与 E 有两个不同的交点，则 0， 即（ 16k） 2 4 12 （ 1+4 0，解得： ， 由韦达定理可知： x1+， ， 由坐标原点 O 位于 直径的圆外， 则 0，即 0， 则 2）（ 2） =（ 1+2k （ x1+4 =（ 1+ 2k +4 0， 解得： 4， 综上可知： 4，解得： k 2 或 2 k ， 直线 l 斜率的取值范围（ 2， ） （ ， 2） 21已知函数 f（ x） =23x+1， g（ x） = （ 1）设函数 ，当 k 0 时，讨论 h（ x）零点的个数； （ 2）若过点 P（ a， 4）恰有三条直线与曲线 y=f（ x）相切，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的 存在性及根的个数判断 【分析】 （ 1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论 h（ x）零点的个数； （ 2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ 2x+1）（ x 1） 2=0， x= 或 1， x= 是 h（ x）的零点； g（ x） =k ， k 0， g（ x） 0， g（ x）在 1， + ）上单调递减， g（ x）的最大值为 g（ 1）=k+1 k 1， g（ 1） 0， g（ x）在 1， + ）上无零点； k= 1， g（ 1） =0， g（ x）在 1， + ）上有 1 个零点； 1 k 0， g（ 1） 0， g（ k） =k+k 0， g（ x）在 1， + ）上有 1 个零点； 综上所述， k 1 时， h（ x）有 1 个零点； 1 k 0 时， h（ x）有两个零点； （ 2）设切点（ t， f（ t）， f（ x） =66x， 切线斜率 f（ t） =66t， 切线方程为 y f（ t） =（ 66t）（ x t）， 切线过 P（ a， 4）， 4 f（ t） =（ 66t）（ a t）， 4365=0 由题意，方程 有 3 个不同的解 令 H（ t） =4365，则 H（ t） =126t 12a=0 t= 或 a a= 时， H（ t） 0， H（ t）在定义域内单调递增， H（ t）不可能有两个零点，方程 不可能有两个解，不满足题意； a 时，在（ ），（ a， + ）上， H（ t） 0，函数单调递增，在（ ，a）上， H（ t） 0，函数单调递减， H（ t）的极大值为 H（ ），极小值为 H（ a）； a 时，在（ ， a），（ ， + ）上， H（ t） 0，函数单调递增，在（ a， ）上， H（ t） 0，函数单调递减， H（ t）的极