2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=N*，集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4， 6，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A 2 B 4， 6 C 1， 3， 5 D 2， 4， 6 2已知 i 是虚数单位，复数 z 满足（ i 1） z=i，则 z 的虚部是（ ） A B C D 3若 ，则 2） =（ ） A B C D 4在区间 上任选两个数 x 和 y，则 y 概率为（ ） A B C D 5将函数 图象上的点 向右平移 m（ m 0）个单位长度得到点 P，若 P位于函数 y=图象上，则（ ） A ， m 的最小值为 B ， m 的最小值为 C ， m 的最小值为 D ， m 的最小值为 6执行如图所示的程序框图，若输入 m=4， t=3，则输出 y=（ ） A 183 B 62 C 61 D 184 7在 的展开式中，所有项的二项式系数之和为 4096，则其 常数项为（ ） A 110 B 220 C 220 D 110 8已知 M 是抛物线 C： p 0）上一点， F 是抛物线 C 的焦点，若 |p，K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点，则 ） A 45 B 30 C 15 D 60 9函数 f（ x） =|x|+ （其中 a R）的图象不可能是（ ） A B C D 10已知 P 为矩形 在平面内一点， ， ， ， ，则 =（ ） A 5 B 5 或 0 C 0 D 5 11某几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积为（ ） A B C 1 D 2 12已知函数 f（ x） =（ 2x 1） 方程 （ t R）的根的个数为（ ） A 3 B 2 C 5 D 4 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐进线与直线 x y+3=0 平行，则此双曲线的离心率为 14若实数 x， y 满足 则 的取值范围是 15孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？ ”其 意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米 ”（古制 1 丈 =10 尺， 1 斛=方尺，圆周率 =3），则该圆柱形容器能放米 斛 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a b， a c ， ，若边 一点 D 满足 0，则 面积为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 前 n 项和为 满足 （ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 2n 1） 数列 前 n 项和 18某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年 200 户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照 0， 100），100， 200）， 200， 300）， 300， 400）， 400， 500）， 500， 600）， 600， 700），700 ， 800）， 800， 900分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （ ）求直方图中 m 的值并估计居民月均用电量的中位数； （ ）从样本里月均用电量不低于 700 度的用户中随机抽取 4 户，用 X 表示月均用电量不低于 800 度的用户数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 19在三棱柱 ， B，侧面 边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 ，且 ， ， （ ）证明：平面 平面 （ ）若 直线 平面 成角的正弦值 20已知圆 O： x2+ 过椭圆 C： （ a b 0）的短轴端点， P， Q 分别是圆 O 与椭圆 C 上任意两点， 且线段 度的最大值为 3 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点（ 0， t）作圆 O 的一条切线交椭圆 C 于 M， N 两点，求 面积的最大值 21已知函数 f（ x） =2x+点 处的切线方程为 （ ）求 a， b 的值，并讨论 f（ x）在 上的增减性； （ ）若 f（ =f（ 且 0 ，求证： （参考公式： ） 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =2 （ ）判断直线 l 与圆 C 的交点个数； （ ）若圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求线段 长度 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+2| |x 2|+m（ m R） （ ）若 m=1，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ ）若方程 f（ x） =x 有三个实根，求实数 m 的取值范围 2017 年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=N*，集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4， 6，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A 2 B 4， 6 C 1， 3， 5 D 2， 4， 6 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ B，根据集合的运算求解即可 【解答】 解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（ B， （ B=4， 6 故选 B 2已知 i 是虚数单位，复数 z 满足（ i 1） z=i，则 z 的虚部是（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： （ i 1） z=i， ， z 的虚部是 故选： D 3若 ，则 2） =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式和二面角公式化简即可 【解答】 解：由 ，可得： 2） = （ 1 2=21= 故选 D 4在区间 上任选两个数 x 和 y，则 y 概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可 【解答】 解：在区间 上任选两个数 x 和 y，区域的面积为 ， 满足 y 区域的面积为 =（ =1， 所求概率为 故选 C 5将函数 图象上的点 向右平移 m（ m 0）个单位长度得到点 P，若 P位于函数 y=图象上，则（ ） A ， m 的最小值为 B ， m 的最小值为 C ， m 的最小值为 D ， m 的最小值为 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由题意利用 y=x+）的图象变换规律，诱导公式，可得 t=2 + ） = ，且 t=+m） = 得 ，可得 m 的最小值 【解答】 解：将函数 图象上的点 向右平移 m（ m 0）个单位长度得到点 P， 若点 P位于函数 y=图象上， t=2 + ） = ，且 t=+m） = ， 2m 的最小值为 ， m 的最小值为 ， 故选： D 6执行如图所示的程序框图，若输入 m=4， t=3，则输出 y=（ ） A 183 B 62 C 61 D 184 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 m=4， t=3， y=1， i=3 满足条件 i 0，执行循环体， y=6， i=2 满足条件 i 0，执行循环体， y=20， i=1 满足条件 i 0，执行循环体， y=61， i=0 满足条件 i 0，执行循环体， y=183， i= 1 不满足条件 i 0，退出循环，输出 y 的值为 183 故选： A 7在 的展开式中，所有项的二项式系数之和为 4096，则其常数项为（ ） A 110 B 220 C 220 D 110 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式中所有项的二项式系数之和为 2n 求出 n，再根据展开式的通项公式求出常数项的值 【解答】 解：在 的展开式中，所有项的二项式系数之和为 2n=4096， 则 n=12； 所以 的展开式中， 通项公式为 = =（ 1） r ， 令 4 r=0， 解得 r=3， 所以其常数项为（ 1） 3 = 220 故选： B 8已知 M 是抛物线 C： p 0）上一点， F 是抛物线 C 的焦点，若 |p，K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点，则 ） A 45 B 30 C 15 D 60 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设点 M（ ， p）， K（ ， 0），则直线 斜率 k=1，即可求得 5 【解答 】 解：由题意， |p，则设点 M（ ， p）， K（ ， 0）， ， 5， 故选 A 9函数 f（ x） =|x|+ （其中 a R）的图象不可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 通过 a 的取值，判断对应的函数的图象，即可推出结果 【解答】 解：当 a=0 时，函数 f（ x） =|x|+ =|x|，函数的图象可以是 B 当 a=1 时，函数 f（ x） =|x|+ =|x|+ ，函数的图象可以类似 A； 当 a= 1 时，函数 f（ x） =|x|+ =|x| ， x 0 时， |x| =0 只有一个实数根 x=1，函数的图象可以是 D； 所以函数的图象不可能是 C 故选： C 10已知 P 为矩形 在平面内一点， ， ， ， ，则 =（ ） A 5 B 5 或 0 C 0 D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据矩形的性质和勾股定理可判断 ，继而可得 ，问题得以解决 【解答】 解： P 为矩形 在平面内一点， ， ， ， ， ， ， ， =0， 故选： D 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 1 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 2 的正方体一部分，画出直观图，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图知几何体是： 三棱锥 P 长方体一部分，长、宽、高分别为 2、 2、 1， 直观图如图所示： A、 C 分别是正方体的棱长的中点， 所以几何体的体积 V= = 故选 B 12已知函数 f（ x） =（ 2x 1） 则方程 （ t R）的根的个数为（ ） A 3 B 2 C 5 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出函数 f（ x）的大致图象，分析关于 f（ x）这一整体的二次方程根的情况，依据根的情况分类讨论 【解答】 解： f（ x） =（ 2x 1）（ x+2） 且 f（ 2） = ， f（ ） = ， f（ x）的大致图象如图， 令 t=f（ x）， 设方程 的两根为 则 =f（ 2） f（ ）， 若 ， ，有三根； 若 0 有三根，此时 无根，也有三根， 当 有 1 根，此时 0 有两根，也有三根， 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐进线与直线 x y+3=0 平行，则此双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其渐近线方程为 y= x，结合题意分析可得 =1，又由双曲线的几何性质可得 c= = c，由双曲线的离心率计算公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为： ， 其焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为 y= x， 又由其一条渐进线与直线 x y+3=0 平行，则有 =1， c= = a， 则该双曲线的离心率 e= = ； 故答案为： 14若实数 x， y 满足 则 的取值范围是 ， 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 = 的几何意义，即可行域内的动点与定点 P（ ， 0）连线的斜率求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域， B（ 0， 2）， 联立 ，解得 A（ 1， 2）， = ，其几何意义为可行域内的动点与定点 P（ ， 0）连线的斜率 ， 的取值范围是 ， 4 故 答案为： ， 4 15孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？ ”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米 ”（古制 1 丈 =10 尺， 1 斛=方尺，圆周率 =3），则该圆柱形容器能放米 2700 斛 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的体积，除以 答案 【解答】 解：设圆柱的底面半径为 r，则 2r=54， r=9， 故米堆的体积为 92 18=4374 立方尺， 1 斛米的体积约为 方尺， 4374 2700 斛， 故答案为 2700 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a b， a c ， ，若边 一点 D 满足 0，则 面积为 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可求 ，进而可求 A， 正弦定理可得 b= 2= 1= =c，可求 ， c=1，即可利用三角形面积公式计算得解 【解答】 解： 外接圆半径 R 为 1， ， 由正弦定理 ， 可得： ， 边 一点 D 满足 且 0， A=120， 0， a= ， a= ， 如图，由正弦定理可得： ，可得： b= 2= 1= =c， 等腰三角形，底角是 30， ，可得： c=1， S = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 证明过程或演算步骤 .） 17已知数列 前 n 项和为 满足 （ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 2n 1） 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）当 n=1 时， =2，解得 n 2 时， ， =21+1，两式相减得 1=2用等比数列的通项公式即可得出 （ ）由（ ）得 ，对 n 分类讨论：当 n 为偶数时， 1+，可得 n 为奇 数时， n+1 为偶数， n+1 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， =2，解得 1 当 n 2 时， ， 1=21+1，两式相减得 1=2简得 1， 所以数列 首项为 1，公比为 1 的等比数列， 可得 （ ）由（ ）得 ， 当 n 为偶数时， 1+， ； 当 n 为奇数时， n+1 为偶数， n+1 =（ n+1）（ 2n+1） = n 所以数列 前 n 项和 18某市为了制定合 理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年 200 户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照 0， 100），100， 200）， 200， 300）， 300， 400）， 400， 500）， 500， 600）， 600， 700），700 ， 800）， 800， 900分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （ ）求直方图中 m 的值并估计居民月均用电量的中位数； （ ）从样本里月均用电量不低于 700 度的用户中随机抽取 4 户，用 X 表示月均用电量不低于 800 度的用户数，求随机变量 X 的分布列及 数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）利用小矩形的面积之和为 1 求解， （ ） 200 户居民月均用电量在 700， 800）度的户数是 8，月均用电量在 800，900度的户数是 4 故随机变量 X 的取值为 0， 1， 2， 3， 4，求出相应的概率即可 【解答】 解：（ ） 1 100 （ 2m 100， m= 设中位数是 x 度，前 5 组的频率之和为 而前 4 组的频率之和为 所以 400 x 500， ， 故 x=408，即居民月均用电量的中位数为 408 度 （ ） 200 户居民月均用电量在 700， 800）度的户数是 8，月均用电量在 800，900度的户数是 4 故随机变量 X 的取值为 0， 1， 2， 3， 4，且 ， ， ， ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故 19在三棱柱 ， B，侧面 边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 ，且 ， ， （ ）证明：平面 平面 （ ）若 直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）取 中点 D，连结 算 用勾股定理的逆定理得出 三线合一得 而 平面 而平面 平面 （ C 为原点建立空间直角坐标系，求出 和平面 法向量 ，则直线平面 成角的正弦值等于 | | 【解答】 证明：（ I）取 中点 D，连结 C， D 是 中点， 侧面 边长为 2 的正方形， ， ， = ， = ， = ， 又 ， 面 面 平面 面 又 面 面 相交直线， 平面 平面 平面 （ 平面 平面 三棱柱 直三棱柱， 平面 ， C= 以 C 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（ ， 0， 0）， C（ 0， 0， 0）， 0， 0， 2）， E（ ， 0， ）， F（ ， ，2） =（ ， 0， 2） ， =（ ， 0， ）， =（ ， ， 2） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 z=4，得 =（ ， 9 ， 4） =10， | |=6 ， | |= = = 直线 平面 成角的正弦值为 20已知圆 O： x2+ 过椭圆 C： （ a b 0）的短轴端点， P， Q 分别是圆 O 与椭圆 C 上任意两点，且线段 度的最大值为 3 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点（ 0， t）作圆 O 的一条切线交椭圆 C 于 M， N 两点，求 面积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由圆 O 过椭圆 C 的短轴端点 b=1，线段 度的最大值为 3， a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程； （ ）设直线 方程，由点到直线的距离公式，求得 k2=1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨 ，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得 面积的最大值 【解答】 解：（ ） 圆 O 过椭圆 C 的短轴端点， b=1， 又 线段 度的最大值为 3， a+1=3，即 a=2， 椭圆 C 的标准方程为 （ ）由题意可设切线 方程为 y=kx+t，即 y+t=0，则 ，得 k2=1 联立得方程组 ，消去 y 整理得（ ） 4=0 其中 =（ 22 4（ ）（ 4） = 1664=48 0， 设 M（ N（ 则 ， ， 则 将 代入 得 ， ， 而 ，等号成立当且仅当 ，即 综上可知：（ S 21已知函数 f（ x） =2x+点 处的切线方程为 （ ）求 a， b 的值，并讨论 f（ x）在 上的增减性； （ ）若 f（ =f（ 且 0 ，求证： （参考公式： ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求导数，利用函数 f（ x） =2x+点 处的切线方程为 ，建立方程，求 a， b 的值，利用导数的正负讨论 f（ x）在上的增减性； （ ）令 ，得 ，得，证明 0，故 f（ 0，即可得出结论 【解答】 （ ）解：由题意知 f（ x） =2+2 解得 故 ， 当 时， f（ x）为减函数，且 ， f（ x） 0， f（ x）为增函数 （ ）证明：由 f（ =f（ 得 ， 所以 ， 两边同除以 ， 所以 ， 令 ，得 ， 得 因为 ， 所以， 因为 ， 又 ，易知 ，所以 ， 又 （ 0， ），所以 0，故 f（ 0，得 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）以坐标原点为极点，