广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

广东省茂名市 2017 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x 2 0， N=y|y=2x，则 M N=（ ） A（ 0， 2 B（ 0， 2） C 0， 2 D 2， + ） 2设 i 为虚数单位，复数（ 2 i） z=1+i，则 z 的共轭复数 在复平面中对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3如图，函数 f（ x） =2x+）（ A 0， | ）的图象过点（ 0， ），则 f（ x）的图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 4设命题 p：若定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则 x R， f（ x） f（ x）命题 q： f（ x） =x|x|在（ ， 0）上是减函数，在（ 0， + ）上是增函数则下列判断错误的是（ ） A p 为假 B q 为真 C p q 为真 D p q 为假 5我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤， 斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） A 6 斤 B 9 斤 C D 12 斤 6已知定义域为 R 的偶函数 f（ x）在（ ， 0上是减函数，且 f（ 1） =2，则不等式 f（ 2 的解集为（ ） A（ 2， + ） B C D 7执行如图的程序框图，若输出的结果是 ， 则输入的 a 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 8一个几何体的三视图如图所示，其表面积为 6+ ，则该几何体的体积为（ ） A 4 B 2 C D 3 9学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A 6 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 10过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 两两夹角都为60，若球半径为 R，则弦 长度为（ ） A B C R D 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 c， 0）作圆 x2+y2=切线，切点为 M，延长 抛物线 4点 P，其中 O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知 f（ x） =|又 g（ x） =x） x）（ t R），若满足 g（ x） = 1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上 13如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为 14已知 ，则二项式 展开式中的常数项是 15若圆 x2+x+4=0 关于直线 x y=0 对称，动点 P（ a， b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则 的取值范围是 16已知数列 各项均不为零的等差数列， 其前 n 项和，且 （ n N*）若不等式 对任意 n N*恒成立，则实数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 7 至 21 题为必做题， 22、 23 题为选做题 明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）已知函 f（ x） =2x ） （ ）求函数 f（ x）的最小正周期、最大值及取得最大值时 x 的集合； （ ）设 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 ， b=1， ，且 a b，求角 B 和角 C 18（ 12 分）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为 x， y， z，并对它们进行量化： 0 表示不合格， 1 表示临界合格， 2 表示合格，再用综合指标 =x+y+z 的值评定这种农作 物的长势等级，若 4，则长势为一级；若 2 3，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取 10 块种植地，得到如表中结果： 种植地编号 2 4 x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 1， 1） （ 2， 2， 2） （ 0， 0， 1） （ 1， 2， 1） 种植地编号 7 9 x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 1， 1， 1） （ 1， 2， 2） （ 1， 2， 1） （ 1， 1， 1） （ ）在这 10 块该农作物的种植地中任取两块地，求这两 块地的空气湿度的指标 z 相同的概率； （ ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 B，记随机变量 X=A B，求 19（ 12 分）如图 1，在边长为 的正方形 ， E、 O 分别为 矩形 起使得 20，如图 2 所示，点 G 在 ，M、 N 分别为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 G B 的余弦值 20（ 12 分）设 x， y R，向量 分别为直角坐标平面内 x， y 轴正方向上的单位向量，若向量 ， ，且 （ ）求点 M（ x， y）的轨迹 C 的方程； （ ）设椭圆 ， P 为曲线 C 上一点，过点 P 作曲线 C 的切线 y=kx+ 于 A、 B 两点，试证： 面积为定值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =x+2 （ ）求函数 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）令 g（ x） = +函数 y=g（ x）在（ e， + ）内有极值，求实数 a 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，对任意 t （ 1， + ）， s （ 0， 1），求证 ： 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数）在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 （ ）写出曲线 普通方程； （ ）过曲线 左焦点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 A， B 两点，求 | 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 f（ x） =|2x a|+|2x+3|， g（ x） =|x 1|+2 （ ）若 a=1，解不等式 f（ x） 6； （ ）若对任意 R，都有 R，使得 f（ =g（ 立，求实数 a 的取值范围 2017 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x 2 0， N=y|y=2x，则 M N=（ ） A（ 0， 2 B（ 0， 2） C 0， 2 D 2， + ） 【考点】 交集及其运算 【 分析】 由一元二次不等式的解法、指数函数的值域求出集合 M、 N，由交集的运算求出答案 【解答】 解：依题意得， M=x|x 2 0=x| 1 x 2= 1， 2， 且 N=y|y=2x=y|y 0=（ 0， + ）， M N=（ 0， 2， 故选： A 【点评】 本题考查交集及其运算，一元二次不等式的解法，以及指数函数的值域，属于基础题 2设 i 为虚数单位，复数（ 2 i） z=1+i，则 z 的共轭复数 在复平面中对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出 【解答】 解：复数（ 2 i） z=1+i， （ 2+i）（ 2 i） z=（ 2+i）（ 1+i）， z= 则 z 的共轭复数 = i 在复平面中对应的点 在第四象限 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3如图，函数 f（ x） =2x+）（ A 0， | ）的图象过点（ 0， ），则 f（ x）的图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数图象可知 A=2，由图象过点（ 0， ），可得 ，由 | ，可解得 ，由 2x+ =k Z 可解得 f（ x）的图象的对称中心是：（ ，0）， k Z，对比选项即可得解 【解答】 解：由函数图象可知： A=2，由于图象过点（ 0， ）， 可得： 2，即 ，由于 | ， 解得： = ， 即有： f（ x） =22x+ ） 由 2x+ =k Z 可解得： x= ， k Z， 故 f（ x）的图 象的对称中心是：（ ， 0）， k Z 当 k=0 时， f（ x）的图象的对称中心是：（ ， 0）， 故选： B 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题 4设命题 p：若定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则 x R， f（ x） f（ x）命题 q： f（ x） =x|x|在（ ， 0）上是减函数，在（ 0， + ）上是增函数则下列判断错误的是（ ） A p 为假 B q 为真 C p q 为真 D p q 为假 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解：函数 f（ x）不是偶函数，仍然可 x，使 f（ x） =f（ x），故 p 为假； f（ x） =x|x|= 在 R 上都是增函数， q 为假； 故 p q 为假， 故选： C 【点评】 本题考查了复合命题的真假，判断函数的单调性是一道基础题 5我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次 每一尺各重多少斤？ ”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） A 6 斤 B 9 斤 C D 12 斤 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项 ，则 ，由此利用等差数列性质能求出结果 【解答】 解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项 ，则 ， 由等差数列性质得 a2+a4=a1+， 所以第二尺与第四尺的重量之和为 6 斤 故选： A 【点评】 本题考查等差数列在生产 生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 6已知定义域为 R 的偶函数 f（ x）在（ ， 0上是减函数，且 f（ 1） =2，则不等式 f（ 2 的解集为（ ） A（ 2， + ） B C D 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得 f（ 2| 1；化简可得 1 或 1，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】 解： f（ x）是 R 的偶函数，在（ ， 0上是减函数，所以 f（ x）在 0，+ ）上是增函数， 所以 f（ 2=f（ 1） f（ | f（ 1） | 1； 即 1 或 1； 解可得 x 2 或 故选： B 【点评】 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于 x 的方程 7执行如图的程序框图，若输出的结果是 ，则输入的 a 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 算法的功能是求 S= + + 的值，根据输出的 S 值，确定跳出循环的 n 值，从而得判 断框内的条件 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求 S= + + 的值， S= =1 = n=5， 跳出循环的 n 值为 5， 判断框的条件为 n 5即 a=5 故选： C 【点评】 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键 8一个几何体的三视图如图所示，其表面积为 6+ ，则该几何体的体积为（ ） A 4 B 2 C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球 表面积为 6+ = +2r 2r+2得 r再利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球 表面积为 6+ = +2r 2r+2得 r=1 该几何体的体积 V= r+2r+ =3 故选： D 【点评】 本题考查了圆柱、圆球、三棱锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每 节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A 6 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 先从 4 个中任选 2 个看作整体，然后做 3 个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论 【解答】 解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4科中任选 2 科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共 种方法，故总的方法种数为 =36 6=30 故选： C 【点评】 本题考查 排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题 10过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 两两夹角都为60，若球半径为 R，则弦 长度为（ ） A B C R D 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 由题意画出图形，可知 A 正四面体，设 AB=a，结合球心为正四面体的中心通过求解直角三角形得答案 【解答】 解：由条件可知 A 正四面体，如图： A、 B、 C、 D 为球上四点，则球心 O 在正四面体中心，设 AB=a， 则过点 B、 C、 D 的截面圆 半径 ， 正四面体 A 高 ，则截面 球心的距离， ，解得 故选： A 【点评】 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，是中档题 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 c， 0）作圆 x2+y2=切线，切点为 M，延长 抛物线 4点 P，其中 O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质 【分析】 说明 M 是 中点设抛物线的焦点为 （ c， 0），也是双曲线的焦点画出图形，连接 明 中位线通过 得 | ，设 P（ x， y），推出 c x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 后求解离心率即可 【解答】 解：如图 9， ， M 是 中点 设抛物线的焦点为 （ c， 0），也是双曲线的焦点 连接 O、 M 分别是 中点， 中位线 OM=a， |2 a 是可得 | ，设 P（ x， y），则 c x=2a， 于是有 x=c 2a， 4c（ c 2 a），过点 x 轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理得 4c（ c 2a） +4 （ 变形可得 a2=边同除以 e 1=0，所以 e= ，负值已经舍去 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 12已知 f（ x） =|又 g（ x） =x） x）（ t R），若满足 g（ x） = 1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断 【分析】 令 y= y=（ 1+x） 出极值点，判断函数的单调性，作出 y=用图象变换得 f（ x） =|象，令 f（ x） =m，则关于 m 方程 h（ m）=0 两根分别在 ，满足 g（ x） = 1 的 x 有 4 个，列出不等式求解即可 【解答】 解：令 y= y=（ 1+x） y=0，得 x= 1， 当 x （ ， 1）时， y 0，函数 y 单调递减， 当 x （ 1， + ）时， y 0，函 数 y 单调递增作出 y=象， 利用图象变换得 f（ x） =|象（如图 10）， 令 f（ x） =m，则关于 m 方程 h（ m） =0 两根分别在 时（如图 11）， 满足 g（ x） = 1 的 x 有 4 个，由 ， 解得 故选： B 【点评】 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用 二 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上 13如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图求出 x=此能估计工人生产能力的平均数 【解答】 解：由频率分布直方图得 （ x） 10=1， 解得 x= 估计工人生产能力的平均数为： =115 10+125 10+135 10+145 10= 故答案为： 【点评】 本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用 14已知 ，则二项式 展开式中的常数项是 240 【考点】 二项式定理的应用；定积分 【分析】 利用定积分求出 a，写出展开式的通项公式，令 x 的指数为 0，即可得出结论 【解答】 解： =2，则二项式 = 展开式的通项公式为 ， 令 ，求得 r=4，所以二项式 展开式中的常数项是 24=240 故答案为： 240 【点评】 本题考查定积分知识的运用，考 查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题 15若圆 x2+x+4=0 关于直线 x y=0 对称，动点 P（ a， b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则 的取值范围是 （ ， 2 2， + ） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由已知列式求得 m 值，代入约束条件，作出可行域，结合 的几何意义，即区域 点 P（ a， b）与点 Q（ 1， 2）连线的斜率求解 【解答】 解： 圆 x2+x+4=0 关于直线 x y=0 对称， 圆心 在直在线 x y=0 上，则 ， 约束条件 表示的平面 区域如图： 表示区域 点 P（ a， b）与点 Q（ 1， 2）连线的斜率 ， ， 的取值范围是（ ， 2 2， + ） 故答案为：（ ， 2 2， + ） 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题 16已知数列 各项均不为零的等差数列， 其前 n 项和，且 （ n N*）若不等式 对任意 n N*恒成立，则实数 的取值范围是 3， 0 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 利用已知条件，结合等差数列的性质， ，得到 n1， n N*，然后 当 n 为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解 3， 当 n 为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解 0，然后推出实数 的取值范围 【解答】 解： ， n 1 ， n N* 当 n 为奇数时， ， 是关于 n（ n N*）的增函数 所以 n=1 时 f（ n）最小值为 f（ 1） =2 2+3=3，这时 3， 3， 当 n 为偶数时， 恒成立， n 为偶数时， 是增函数，当 n=2 时， g（ n）最小值为 g（ 2） =4+1 5=0， 这时 0 综上 、 实数 的取值范围是 3， 0 故答案为： 3， 0 【点评】 本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 7 至 21 题为必做题， 22、 23 题为选做题 明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2017茂名一模）已知函 f（ x） =2x ） （ ）求函数 f（ x）的最小正周期、最大值及取得最大值时 x 的集合； （ ）设 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 ， b=1， ，且 a b，求角 B 和角 C 【考点】 余弦定理；两角和与差的正弦函数 【分析】 （ I）根据两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值化简解析式，由三角函数的周期公式函数 f（ x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出最大值及取得最大值时 x 的集合； （ （ ）化简 ，由 B 的范围和特殊角的三角函数值求出 B，由条件和正弦定理列出方程求出 C 的范围和特殊角的三角函数值求出 C，并结合条件验证边角关系 【解答】 解：（ ）由题意得， f（ x） = 1 分） = （ 2 分） 函数 f（ x）的最小正周期为 （ 3 分） 当 ，即 时， f（ x）取最大值为 ， （ 4 分） 这时 x 的集合为 （ ）由（ I）知， ， ， （ 6 分） 0 B ， （ 7 分） ， （ 8 分） ， 由正弦定理得 ，则 ， （ 9 分） C 为三角形的内角， （ 10 分） ； （ 11 分） ， 由 a b 得 A B，则 舍去， （ 12 分） 【点评】 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，注意内角 的范围和边角关系 18（ 12 分）（ 2017茂名一模）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为 x， y，z，并对它们进行量化： 0 表示不合格， 1 表示临界合格， 2 表示合格，再用综合指标 =x+y+z 的值评定这种农作物的长势等级，若 4，则长势为一级；若 2 3，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取 10 块种植地，得到如表中结果： 种植地编号 2 4 x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 1， 1） （ 2， 2， 2） （ 0， 0， 1） （ 1， 2， 1） 种植地编 7 9 （ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 1， 1， 1） （ 1， 2， 2） （ 1， 2， 1） （ 1， 1， 1） （ ）在这 10 块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标 z 相同的概率； （ ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 B，记随机变量 X=A B，求 【考点】 离散型随机变量的期望与 方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由表可知：空气湿度指标为 1 的有 气湿度指标为 2 的有 出这 10 块种植地中任取两块地，基本事件总数 n，这两块地的空气温度的指标 z 相同包含的基本事件个数，然后求解概率 （ ）随机变量 X=A B 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4， 5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可 【解答】 解：（ ）由表可知：空气湿度指标为 1 的有 1 分） 空气湿度指标为 2 的有 （ 2 分） 在这 10 块种植地中任取两块地，基本事件总数 n= （ 3 分） 这 两 块 地 的 空 气 温 度 的 指 标 z 相 同 包 含 的 基 本 事 件 个 数 这两地的空气温度的指标 z 相同的概率 （ 6 分） （ ）由题意得 10 块种植地的综合指标如下表： 编号 2 4 6 8 10 综合指标 4 4 6 1 4 4 3 5 4 3 其中长势等级是一级（ 4）有 7 个， 长势等级不是一级（ 4）的有 3 个， （ 7 分） 随机变量 X=A B 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4， 5， （ 8 分） w=4 的有 5 块地， w=3 的有 2 块地，这时有 X=4 3=1 所以 ， （ 9 分） 同理 ， ，（ 10 分） X 的分布列为： X 1 2 3 4 5 P （ 11 分） （ 12 分） 【点评】 本题考查离散性随机变量的分布列的求法，概率的求法，考查转化思想以及计算能力 19（ 12 分）（ 2017茂名一模）如图 1，在边长为 的正方形 ， E、O 分别为 中点，沿 矩形 起使得 20，如图 2 所示，点 G 在 ， M、 N 分别为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 G B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）法一：取 点 F，连结 明 后证明平面 二：延长 于点 Q，连结 明 M 为 点，推出 后证明 平面 （ ）法一：证明 出 平面 明 后推出 明 二面角 G B 的平面角， ，求解即可 法二：建立空间直角坐标系 O 出面 一个法向量，平面 法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 （ ）证明：法一如图 13 取 点 F，连结 则中位线 又 （ 1 分） 所以 M，所以四边形 平行四边形，所以 （ 2分） 又 面 面 以 平面 （ 4 分） 法二：如 图 14，延长 于点 Q，连结 因为 E，所以 ， M 为 点， （ 1 分） 所以中位线 （ 2 分） 又 面 以 平面 （ 4 分） （ ）解：法一如图 14，因为 C= ， 20， 所以 ， 又 以 ， ， 0， （ 6 分） 又 ， 平面 7 分） 又 ，所以 平面 （ 8 分） 又 M 为 点，所以 E= ，所以 ， 所以 平面 二面角 G B 的平面角 （ 9分） 所以 ， ， ， （ 11 分）， 二面角 G B 的余弦值为 （ 12 分） 法二：如图 15， C= ， 20， ， 又 ， ， 0， （ 6 分） 又 ， 平面 7 分） 又 ，所以 平面 8 分） 建立如图所示的空间直角坐标系 O M（ ， G（ 0， 1， 0），E（ ， ， （ 9 分） 而 是平面 一个法向量， （ 11 分） 设平面 法向量为 ， 则 ， 令 z=1，则 ， 面 一个法向量为 ， （ 10 分） 所以 所以，二面角 G B 的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应 用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20（ 12 分）（ 2017茂名一模）设 x， y R，向量 分别为直角坐标平面内x， y 轴正方向上的单位向量，若向量 ， ，且 （ ）求点 M（ x， y）的轨迹 C 的方程； （ ）设椭圆 ， P 为曲线 C 上一点，过点 P 作曲线 C 的切线 y=kx+ 于 A、 B 两点，试证： 面积为定值 【考点】 圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）通过 ，得到 ，说明点 M（ x， y）到两个定点 ， 0）， ， 0）的距 离之和为 4，推出点M 的轨迹 C 是以 焦点的椭圆，然后求解即可 （ ）设 A（ B（ 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，消去 x 可得（ 1+416=0 显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可 【解答】 （ ）解： ， ，且 ， 点 M（ x， y）到两个定点 ， 0）， ， 0）的距离之和为 4（ 2分） 点 M 的轨迹 C 是以 焦点的椭圆， 设所求椭圆的标准方程为 ， a=2 b2=（ 3 分） 其方程为 （ 4 分） （ ）证明：设 A（ B（ 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，消去 x 可得（ 1+416=0 显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内， 0，由韦达定理可得： ， 所以 （ 6 分） 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为（ 0， m）， 所以 面积 （ 7 分） = （ 8 分） 设 将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程，可得（ 1+44=0（ 10 分） 由 =0，可得 +4 t=1， （ 11 分） 又因为 ， 故 为定值 （ 12 分） 【点评】 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力 21（ 12 分）（ 2017茂名一模）已知函数 f（ x） =x+2 （ ）求函数 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）令 g（ x） = +函数 y=g（ x）在（ e， + ）内有极值，求实数 a 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，对任意 t （ 1， + ）， s （ 0， 1），求证： 【考点】 利 用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程 （ ）化简 g（ x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数 h（ x） = a+2） x+1，要使 y=g（ x）在（ e， + ）上有极值，转化为 h（ x） = a+2）x+1=0 有两个不同的实根 用判别式推出 a 的范围，判断两个根的范围，然后求解 a 的范围 （ ）转化已知条件为 t （ 1， + ），都有 g（ t） g（ 通过 函数的单调性以及最值，推出=，构造函数 ，利用导数以及单调性求解即可 【解答】 （ ）解： f（ 1） =13 1+2 1=2 （ 1 分） （ 2 分） 函数 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为： y 2=3（ x 1），即 3x y 1=0 （ 3 分） （ ）解： 定义域为（ 0， 1） （ 1， + ） （ 4 分） 设 h（ x） = a+2） x+1，要使 y=g（ x）在（ e， + ）上有极值， 则 h（ x） = a+2） x+1=0 有两个不同的实根 =（ a+2） 2 4 0 a 0 或 a 4 而且一根在区间（ e， + ）上，不妨设 e，又因为 x1， ， 又 h（ 0） =1， 联立 可得： （ 6 分） （ ）证明：由（ ）知，当 x （