2017年哈尔滨市高考第一次模拟考试数学试卷含答案

2017 年哈尔滨市第一次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 2 2 0 A x x x ，集合21 | 1，则 （ ） A ( 1,2) B ( , 1 ) (1, ) C ( 1,1) D ( 1, 0) (0,1) 2在复平面内，复数 21 （ i 是虚数单位）对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在等差数列 436，则数列 项之和5 ） A 108 B 90 C 72 D 24 4如果执行下面的程序框图，那么输出的结果 s 为（ ） A 8 B 48 C 384 D 3840 5若实数 ,29 ，则 3z x y 的最大值等于（ ） A 0 B 92C 12 D 27 6已知函数 ( ) 3 s i n c o sf x x x（ 0 ）， ()y f x 的图象与直线 2y 的两个相邻交点的距离等 于 ，则 () ） A 5 , 1 2 1 2， B 5 1 1 , 1 2 1 2， C 2 , 63， D , 36， 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A 23B 3 C 23 D 43 8下列结论中正确的个数是（ ） “3x ”是“ 1 )22x ”的充分不必要条件 若 ，则 22am ； 命题“ ， x ”的否定是“ ， x ”； 函数 ( ) c o sf x x x在 0, ) 内有且仅有两个零点 A 1 B 2 C 3 D 4 9 已知非零向量 a ， b 满足 2a b a b ， 1a ，则 与 的夹角为（ ） A6B3C 23D 5610将 , , , ,A B C D E 五名学生分到四个不同的班级，每班至少一名学生，则 , ） A 35B 25C 15D 11011若 所在平面与矩形 在平面互相垂直， 2P A P D A B ，060，若点 , , , ,P A B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（ ） A 253B 283C 28 2127 D 25 2127 12已知椭圆 221（ 0 ），右焦点 ( ,0)点 ( , )椭圆上存在一点 M O A O F O A ，且 O M O F （ ），则该椭圆的离心率为（ ） A 22B 32C 33D 23第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13在等比数列 41, 8，则7a 14 62()开式中的常数项为 15进位制是人们为 了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的 89 转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用 2 连续去除 89 得商，然后取余数，具体计算方法如下： 8 9 2 4 4 14 4 2 2 2 02 2 2 1 1 01 1 2 5 15 2 2 12 2 1 01 2 0 1 把以上各步所得余数从下到上排列，得到( 2 )8 9 1 0 1 1 0 0 1这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为 k 进制数的方法，称为“除 k 取余法”，那么用“除 k 取余法”把 89 化为七进制数为 16当 12a时，关于 x 的不等式 ( ) 2 0a x e a 的解集中有且只有两个整数值，则实数 a 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 17 在 中， ,对边，其外接圆半径为 1，( 2 ) c o s c o s 0c a B b C （ 1）求角 B 的大小； （ 2）求 周长的取值范围 18 某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在 300,500为合格品，使用寿命超过 500 小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出了该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）： （ 1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优质品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命； （ 2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取 4 次，若以上述频率作为概率，记随机变量 X 为抽出的优质品的个数，列出 X 的 分布列，并求出其数学期望 19 已知四边形 直角梯形， /C ， C ， 24B， 3，F 为 点， /B ， 于点 E ，沿 四边形 起，连接,C （ 1）求证： /面 （ 2）若平面 平面 （ I）求二面角 B 的平面角的大小； （ 段 是否存在点 P ，使 平面 若存在，求出 不存在，请说明理由 20 已知抛物线 2: 2 ( 0 )E x p y p，其焦点为 F ，过 F 且斜率为 1 的直线被抛物线截得的弦长为 8 （ 1）求抛物线 E 的方程； （ 2）设 A 为 E 上一动点（异于原点）， E 在点 A 处的切线交 x 轴于点 P ，原点 O 关于直线对称点为点 B ，直线 y 轴交于点 C ，求 面积的最大值 21 已知函数 ( ) , ( ) l nf x a x g x x， () （ 1）若函数 ()y f x 与 ()y g x 的图象在 (0, ) 上有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围； （ 2）若在 1, ) 上不等式 ( 1) ( )xf x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）证明：对于 1, )x 时，任意 0t ，不等式 22 l n t 恒成立 考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的参数方程为212212 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 6 （ 1）若 l 的参数方程中的 2t 时，得到 M 点，求 M 的极坐标和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 (1,1)P ， l 和曲线 C 交于 , 11B 23 选修 4等式选讲 已知函数 ( ) 2 | 1 |f x x x （ 1）求不等式 ( ) 5的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 2( ) 2f x m m的解集为 R ，求实数 m 的取值范围 2017 年哈尔滨市第一次高考模拟考试试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 64 14 60 15 (7)15516 232 , )43、解答题 17解： （ 1） ( 2 ) c o s c o s 0c a B b C ， ( s i n 2 s i n ) c o s s i n c o s 0C A B B C 2 s i n c o s s i n ( ) s i B C A ， 1c o s ,23 （ 2）由 外接圆半径为 1，可知 3b ， 又 2 2 2 2 c o sa c b a c B ， 22( ) 3 3 3 ( ) 32c a c 3 2 3 周长的范围是 (2 3, 3 3 18解：（ 1） 合 格， 优 （ 2） X 可取值为 0， 1， 2， 3， 4 X 0 1 2 3 4 p 0 6561 0 2916 0 0486 0 0036 0 0001 800 0 19解： （ 1）证明：连结 O ，则 O 为 点，设 G 为 点，连结 ,G ，则/F ，且 1=2F 由已知 /F 且 12F /G 且 =G ，所以四边形 平行四边形 /G ，即 /G 平面 平面 所以 /面 （ 2）由已知 边长为 2 的正方形， F ， 因为平面 平面 又 F ， ,F 两垂直 以 E 为原点， ,F 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 2 )E A B F D C （ I）可求平面 向量为1 (1,0,1)n ， 平面 向量为2 (1, 1, 2)n ， 3， 所以二面角 B 的平面角的大小为 56（ 设线段 是否存在点 P ，使 平面 设 （ 01）， 则 ( 2 , 2 , 2 )A P A C ， ( 2 2 , 2 2 , 2 )F P F A A P 平面 则2/FP n，可求 2 0,13 所以线段 存在点 P ，使 平面 且 23 20解： （ 1） 2 4 （ 2）设 2( , )4 E 在点 A 处的切线方程为 224， ( ,0)2 22242( , )44 直线 方程是 2 4 14， (0,1)C 22142O B t ，当且仅当 2t 时，取得等号 所以 面积的最大值为 12 21解： （ 1）设函数 ( ) ( ) ( ) l nF x f x g x a x x 1()F x a x， 0a 时， ()成立 0a 时， ( ) 0， 1 ( ) 0， 10 所以函数 ()要 11( ) 1 l n 0 ， 10 又因为 (1) 0， 1( ) 0 ， 所以 ()0, ) 有两个零点， ()y f x ， ()y g x 有两个交点， 所以 10 （ 2）设函数 2( ) ( ) l nG x a x x x ，且 (1) 0G 2 1 2 1( ) 2 a x a xG x a x 当 0a 时，有 ( 2 ) 2 l n 2 0 ，不成立， 当 0a 时，（ i） 1a 时， ( 2 1 ) 1() a x ，当 1x 时， ( ) 0 所以 ()0, ) 上是单调增函数，所以 ( ) (1) 0G x G （ 01a时，设 2( ) 2 1h x a x a x ， ( ) 1 0 所以存在0x，使得0(1, ) ( ) 0， ( ) 0， ( ) (1) 0G x G不成立 综上所述 1a （ 3）不等 式变形为 22( ) ( ) l n ( ) l nx t x t x t x x x 设函数 2( ) l nH x x x x ，由第（ 2）问可知当 1a 时函数 ()以原不等式成立 22（ 1）点 M 的直角坐标为 (0,2)M 点 M 的极坐标为 (2, )2M 曲线 C 的直角坐标方程为 2260x x y （ 2）联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程得： 2 3 2 4 0 则12123240 1 2 1 21 2 1 2 1 21 1 1 1 3 44t t t P