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文档简介

第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考 1 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义 : 2 在定义中应注意 : 3 例 1 解 4 例 3 解 5 6 2.可导与连续 : 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 , 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 . 7 3.求导法则 : 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致 , 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样 , 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来 , 且证明方法也是相同的 . 求导公式与法则 : 8 9 4.微分的概念 : 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致 . 定义 10 特别地 , 11 二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 12 2. 奇点的定义 根据定义可知 : 函数在 区域内解析 与在 区域内可导 是 等价 的 . 但是 ,函数在 一点处解析 与在 一点处可导 是 不等 价 的概念 . 即函数在一点处可导 , 不一定在该点 处解析 . 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多 . 13 例 4 解 由本节例 1和例 3知 : 14 15 16 例 5 解 17 定理 以上定理的证明 , 可利用求导法则 . 18 根据定理可知 : (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的 . 19 三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念 ; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法 . 注意 : 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样 , 它们的一些求 导公式与求导法则也一样 , 然而复变函数极限 存在要求与 z 趋于零的方式无关 , 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多 .
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